\documentclass[twocolumn]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[greek,frenchb]{babel} \selectlanguage{frenchb} \usepackage{amsmath,tabularx,multicol,slashbox,picins} \usepackage[LGR,T1]{fontenc} \usepackage[dvips]{graphicx} \input christ5.tex \input mespaysessai.tex \columnseprule0.25pt \pagestyle{empty} \begin{document} \hrule \vspace{2mm} {\bf Devoir Surveillé de Mathématiques n°1\hfill301DS1a} \vspace{2mm} \hrule \par \exo{1} \begin{enumerate} \item On donne $A=\dfrac{7}{6}+\dfrac{11}{3}\times\dfrac{5}{4}$. \par Calcule $A$ et donne le résultat sous la forme d'une fraction la plus simple possible. \item Soit $B=\dfrac{3\times10^5\times2\times10^{-2}}{8\times10^4}$. \par Donne l'écriture décimale puis l'écriture scientifique de $B$. \end{enumerate} \exo{2} Soit l'expression $C=(3x-1)^2-4x(3x-1)$. \begin{enumerate} \item Développe et réduis $C$. \item Calcule $C$ pour $x=0$ et $x=\dfrac{1}{3}$. \end{enumerate} \exo{3} \par\begin{minipage}{6cm} \includegraphics{301dstous.1} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{7cm} Sur la figure ci-contre : \begin{itemize} \item les droites $(AR)$ et $(CT)$ sont parallèles; \item les points $E,\,L,\,R,\,T$ sont alignés; \item les points $C,\,A,\,L,\,B$ sont alignés; \item on donne $LC=6\,cm$, $LT=9\,cm$,\par $LA=4,8\,cm$, $LB=2\,cm$, $LE=3\,cm$. \end{itemize} \par Calcule la longueur $LR$. \end{minipage} \exo{4} {\em On complètera la figure au fur et à mesure de l'exercice}. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Construis un demi-cercle de centre $O$ et de diamètre $[AB]$ avec $AB=6\,cm$. \par Place sur ce cercle un point $C$ tel que $BC=3,6\,cm$. \item Quelle est la nature du triangle $ACB$ ? Justifie la réponse. \item Démontre que la longueur $AC$ est égale à $4,8\,cm$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Construis, à l'extérieur du demi-cercle, le triangle $ACM$ tel que $CM=6,4\,cm$ et\par $MA=8\,cm$. \item Démontre que le triangle $ACM$ est rectangle. \item Calcule la valeur arrondie au degré près de la mesure de l'angle $\widehat{CAM}$. \item Soit $S$ le point du segment $[MA]$ tel que $AS=2\,cm$. La perpendiculaire à la droite $(AC)$ passant par $S$ coupe la droite $(AC)$ en $R$. \par Calcule la longueur $RS$. \item La hauteur issue de $C$ coupe le segment $[MA]$ en $K$. \par Montre que $LK=3,84\,cm$. \end{enumerate} \end{enumerate} \hrule \vspace{2mm} {\bf Devoir Surveillé de Mathématiques n°2\hfill301DS2a} \vspace{2mm} \hrule \par {\small \exo{1} \par\begin{minipage}{6cm} \includegraphics{301dstous.2} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{7.5cm} La figure ci-contre représente le trapèze rectangle $OABC$ avec $OA=6\,cm$, $AB=3\,cm$ et $OC=12\,cm$. \begin{enumerate} \item Reproduis la figure en vraie grandeur. \item Sur le segment $[OC]$, on place le point $E$ tel que $CE=3\,cm$, et par $E$, on trace la parallèle à la droite $(OA)$ qui coupe la diagonale $[AC]$ en $M$. \par Calcule la longueur $ME$. \item Par $M$, on trace la parallèle à la droite $(AB)$ qui coupe la droite $(BC)$ en $F$. \begin{enumerate} \item Démontre que $\dfrac{CF}{CB}=\dfrac{CM}{CA}$. \item Déduis-en le parallélisme des droites $(OB)$ et $(EF)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{minipage} \exo{2}\begin{enumerate} \item Construis un triangle $RST$ rectangle en $S$ tel que $RS=4,5\,cm$ et $RT=7,5\,cm$. On laissera les traits de construction. \item Calcule la longueur $ST$. \item Le cercle de centre $R$ et de rayon $RS$ coupe le segment $[RT]$ en $K$. La parallèle à la droite $(RS)$ passant par $K$ coupe le segment $[TS]$ en $L$. \par Calcule la longueur $KL$. \item Calcule l'angle $\widehat{LTK}$. \end{enumerate} \exo{3}\begin{enumerate} \item Ecris $A$ sous forme fractionnaire la plus simple $A=\dfrac{2}{3}-\dfrac{5}{3}\times\left(1-\dfrac{1}{5}\right)$. \item Calcule l'expression $F=3\times10^{-4}\times7\times10^6\times1,25$ en indiquant les étapes. On donnera les écritures décimale et scientifique du résultat. \item Résous l'inéquation : $3-4x>2x-1$. Représente l'ensemble des solutions sur une droite graduée. \end{enumerate} \exo{4} Au cinéma Rex, le prix d'un billet est de 42 francs (6,4\textgreek{\euro}) pour un adulte et 34 francs (5,18\textgreek{\euro}) pour un étudiant. 11 personnes assistent à la projection et paient 430 francs (65,55\textgreek{\euro}). \par Combien y a-t-il d'étudiants à cette séance ? \exo{5} On donne $E=(4x-1)(x+5)-(4x-1)^2$ \begin{enumerate} \item Développe et réduis l'expression $E$. \item Calcule la valeur de $E$ pour $x=\dfrac{1}{4}$ et pour $x=0$. \end{enumerate} } \vfill \vskip10cm \hrule \vspace{2mm} {\bf Devoir Surveillé de Mathématiques n°3\hfill301DS3a} \vspace{2mm} \hrule \par\exo{1} \begin{enumerate} \item Calculer $A$ et $B$, en donnant les résultats sous la forme de fractions les plus simples possibles : $$A=9\times\frac{3}{2}-10\kern2cm B=\left(\frac{3}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{3}\right)\times\left(-\frac{5}{2}\right)$$ \item On considère l'expression $C=(2x-5)^2-(2x-5)(3x-7)$. \begin{enumerate} \item Développer et réduire $C$. \item Factoriser l'expression $C$. \item Calculer les valeurs de l'expression $C$ pour $x=\dfrac{5}{2}$ et pour $x=0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \exo{2} On considère l'inéquation $4x+7>2-3x$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Le nombre $0$ est-il solution de cette inéquation ? Justifier la réponse. \item Le nombre $(-1)$ est-il solution de cette inéquation ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \item Résoudre l'inéquation $4x+7>2-3x$ et représenter ses solutions sur une droite graduée. \end{enumerate} \exo{3} \par\begin{minipage}{6cm} \includegraphics{301dstous.3} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{7cm} $[AN]$ et $[BM]$ sont deux segments qui se coupent en $O$ comme sur la figure ci-contre et qui vérifient $AN=6\,cm$, $OA=1,5\,cm$, $BO=2,5\,cm$, $BM=10\,cm$. \par{\em Attention, cette figure n'a pas été réalisée en vraie grandeur.} \par Montrer que les droites $(AB)$ et $(MN)$ sont parallèles; vous justifierez votre réponse en citant avec précision le théorème que vous utilisez. \end{minipage} \exo{4} \par\begin{minipage}{6cm} \includegraphics{301dstous.4} \end{minipage} \begin{minipage}{7cm} Sur le dessin ci-contre, la sphère a pour centre $O$. Un plan coupe cette sphère selon un cercle $({\cal C})$ de centre $H$ et de rayon $4,5\,cm$. \begin{enumerate} \item Sachant que $HO=2,2\,cm$, dessiner le triangle rectangle $OHA$ en vraie grandeur. \item Calculer le rayon de la sphère à $1\,mm$ près. \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{HOA}$. On donnera une valeur arrondie à 1 degré près. \end{enumerate} \end{minipage} \exo{5} On considère trois récipients notés ${\cal S}_1$, ${\cal S}_2$ et ${\cal S}_3$. \par Le premier, ${\cal S}_1$, est une sphère de rayon $5\,cm$. \par Le second, ${\cal S}_2$, est un cylindre dont la base a un rayon égal à $5\,cm$ et dont la hauteur mesure $7\,cm$. \par Le troisième, ${\cal S}_3$, est un cône de révolution dont la base a un rayon égal à $5\,cm$ et dont la hauteur mesure $15\,cm$. \begin{enumerate} \item Quel récipient possède le plus grand volume ? le plus petit volume ? Justifier votre réponse. \item Quelle est la hauteur $h$ du cylindre ${\cal S}_4$, dont la base a pour rayon $5\,cm$ sachant que ${\cal S}_4$ possède un volume double de celui de ${\cal S}_1$? \end{enumerate} \vfill \pagebreak \hrule \vspace{2mm} {\bf Devoir Surveillé de Mathématiques n°4\hfill301DS4a} \vspace{2mm} \hrule \par {\small \exo{1} Soit les nombres $$A=\frac{7}{12}\times\frac{2}{7}-\left(\frac{5}{3}-1\right)^2\kern1cm B=\frac{3\times10^2\times7\times10^6}{12\times\left(10^3\right)^3}\kern1cm C=2\sqrt{80}+2\sqrt{125}-7\sqrt{45}$$ \begin{enumerate} \item Ecris $A$ sous la forme d'une fraction la plus simple possible. \item Donne l'écriture décimale et l'écriture scientifique de $B$. \item Ecris $C$ sous la forme $a\sqrt b$ où $a$ est un entier relatif et $b$ un entier le plus petit possible. \end{enumerate} \exo{2} Soit l'expression $F=(3x-8)(x+1)-9x^2+64$. \begin{enumerate} \item Développe et réduis l'expression $F$. \item Factorise l'expression $9x^2-64$. \item Factorise l'expression $F$. \item Résous l'équation $(=0$. \end{enumerate} \exo{3}\par \begin{minipage}{5cm} \includegraphics[scale=0.85]{301dstous.5} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{8cm} On considère une pyramide de hauteur $SB=7\,cm$ et dont la base est un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=3\,cm$ et $AC=4\,cm$. \begin{enumerate} \item Construis un patron de cette pyramide. \item Calcule le volume de cette pyramide. \item On coupe la pyramide par un plan parallèle à la base : on obtient les points $B'$ sur l'arête $[SB]$, $A'$ sur $[SA]$ et $C'$ sur $[SC]$ tels que $\dfrac{SB'}{SB}=\dfrac{3}{7}$. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle $A'B'C'$ ? Justifie. \item Calcule le volume de la pyramide $SA'B'C'$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au $mm^3$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{minipage} \exo{4} On considère un cercle de diamètre $[AB]$. Soit $C$ un point de ce cercle et $D$ le symétrique de $A$ par rapport à $C$. La parallèle à la droite $(BC)$ passant par le point $D$ coupe la droite $(AB)$ en $E$. \begin{enumerate} \item Réalise une figure. \item Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? \item Démontre que $B$ est le milieu du segment $[AE]$. \item Quelle est le centre du cercle circonscrit au triangle $ADE$ ? \item Exprime l'aire ${\cal A}'$ du disque de diamètre $[AE]$ en fonction de l'aire $\cal A$ du disque de diamètre $[AB]$. \end{enumerate} } \pagebreak \hrule \vspace{2mm} {\bf Devoir Surveillé de Mathématiques n°5\hfill301DS5a} \vspace{2mm} \hrule \par \exo{1} On donne $C=\sqrt{18}\times\sqrt6$ et $D=5\sqrt{12}+6\sqrt3-\sqrt{300}$ \par Ecris $C$ et $D$ sous la forme $a\sqrt3$, où $a$ est un entier. \exo{2} On donne l'expression $E=4x^2-9+(2x+3)(x-1)$. \begin{enumerate} \item Factorise $4x^2-9$. Utilise alors ce résultat pour factoriser l'expression $E$. \item Développe et réduis l'expression $E$. \item Résous l'équation $(2x+3)(3x-4)=0$. \end{enumerate} \exo{3} \begin{enumerate} \item Résous l'inéquation $3x-2\geq x-4$. \item Représente graphiquement, sur une droite graduée, les solutions de cette inéquation (hachure la partie qui ne convient pas). \end{enumerate} \par\begin{minipage}{6cm} \includegraphics[scale=0.9]{301dstous.6} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{7cm} \exo{4} On considère la figure ci-contre. $ABCDEFGH$ est un cube de $5\,cm$ d'arête.\par Le point $I$ est le milieu du segment $[EH]$.\par Le point $J$ est le milieu du segment $[FG]$. \par Trace en vraie grandeur : \begin{enumerate} \item Le triangle $GJC$. \item Le quadrilatère $CDIJ$. \end{enumerate} \end{minipage} \par \begin{minipage}{6cm} \includegraphics[scale=0.9]{301dstous.7} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{7cm} \exo{5} Le cône de révolution ci-contre de sommet $S$ a une hauteur $SO$ de $9\,cm$ et un rayon de base $OA$ de $5\,cm$. \begin{enumerate} \item Calcule le volume ${\cal V}_1$ de ce cône. On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie à $1\,cm^3$ près. \item Soit $M$ le point du segment $[SO]$ tel que $SM=3\,cm$.\par On coupe le cône par un plan parallèle à la base passant par $M$. \par Calcule le volume ${\cal V}_2$ du petit cône de sommet $S$ ainsi obtenu. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au $cm^3$ près. \end{enumerate} \end{minipage} \par \begin{minipage}{6cm} \includegraphics[scale=0.9]{301dstous.8} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{7.5cm} \exo{6} $ABCDEFGH$ est un pavé droit à base carrée. On donne $AD=3\,cm$ et $CG=4\,cm$. \begin{enumerate} \item Calcule le volume en $cm^3$ de la pyramide de base $ABCD$ et de hauteur $CG$. \item Calcule la longueur $DG$. \item On admet que le triangle $ADG$ est rectangle en $D$. \begin{enumerate} \item Calcule la valeur exacte de la longueur $AG$, puis donne la valeur arrondie au millimètre. \item Calcule la mesure, arrondie au degré, de l'angle $\widehat{AGD}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{minipage} \vfill \pagebreak \hrule \vspace{2mm} {\bf Devoir Surveillé de Mathématiques n°6\hfill301DS6a} \vspace{2mm} \hrule \par {\small \exo{1} Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires. Il veut faire des paquets de sorte que : \begin{itemize} \item tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges; \item tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires; \item toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Quel est le nombre maximal de paquets qu'il pourra réaliser ? \item Combien y aura-t-il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ? \end{enumerate} \exo{2} On donne l'expression $A=(2x+1)^2-(x-5)(2x+1)$. \begin{enumerate} \item Développe et réduis l'expression $A$. \item Factorise l'expression $A$. \item Résous l'équation $(2x+1)(x+6)=0$. \end{enumerate} \exo{3}\par \begin{minipage}{6cm} \includegraphics[scale=0.75]{301dstous.9} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{7.5cm} {\em L'unité de longueur est le centimètre}. \par Calcule la valeur exacte de l'aire du carré $ABCD$ et de l'aire du rectangle $AEFD$ ci-dessous sachant que $AB=\sqrt{13}-1$ et $BE=2$. \end{minipage} \exo{4} {\em Pour chaque question, on indiquera les différentes étapes du calcul}. \begin{enumerate} \item Calcule $A$ et donne le résultat sous la forme d'une fraction irréductible : $A=\dfrac{7}{15}-\dfrac{2}{15}\times\dfrac{25}{14}$. \item Ecris $B$ sous la forme $a\sqrt{b}$, où $a$ et $b$ sont deux nombres entiers et $b$ aussi petit que possible : $B=\sqrt{175}+3\sqrt{28}-\sqrt{112}$. \item Donne l'écriture décimale et scientifique de $C=\dfrac{4,9\times10^{-3}\times1,2\times10^{13}}{14\times10^2\times3\times10^5}$. \end{enumerate} \pagebreak \exo{5} \par\begin{minipage}{6cm} \includegraphics[scale=0.75]{301dstous.10} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{7.5cm} Soit un triangle $ABC$ tel que $AB=6\,cm$, $AC=9\,cm$ et $BC=\sqrt{117}\,cm$. \par {\em Sur le dessin ci-contre, les dimensions ne sont pas respectées}. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? \item Le point $E$ est le point du segment $[AC]$ tel que $AE=4\,cm$. La médiatrice du segment $[EC]$ coupe le segment $[EC]$ en $H$, le segment $[BC]$ en $J$ et la droite $(BE)$ en $M$. \begin{enumerate} \item Prouve que: \begin{itemize} \item les droites $(JH)$ et $(AB)$ sont parallèles; \item le segment $[HC]$ mesure $2,5\,cm$. \end{itemize} \item Calcule la valeur exacte de la longueur $JH$. \item Calcule la longueur $HM$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{minipage} \exo{6} \par\begin{minipage}{6cm} \includegraphics[scale=0.75]{301dstous.11} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{7.5cm} Dans le triangle $ABC$ de hauteur $[AH]$ représenté ci-contre, on donne : $$AC=4\,cm\kern1cm BH=1,5\,cm\kern1cm \widehat{ACB}=30°$$ \begin{enumerate} \item Calcule la valeur exacte de la longueur $AH$. \item Déduis-en la valeur arrondie à un degré près de la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$. \end{enumerate} \end{minipage} \exo{7} {\em Dans cet exercice, l'unité de mesure est le centimètre.} \par Soit $O$ un point quelconque du plan. \begin{enumerate} \item Trace le cercle $({\cal C})$ de centre $O$ et de rayon $r=6$, et un diamètre $[BC]$ de ce cercle. Soit $A$ un point de ce cercle tel que $AB=2$. \par Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? \item Soit $E$ le point du segment $[AB]$ tel que $AE=\dfrac{2}{3}AB$, et $F$ le point du segment $[CF]$ tel que $CF=\dfrac{1}{3}CA$. \par Démontre que les droites $(EF)$ et $(BC)$ sont parallèles. \item {\bf(Facultatif)} Calcule la longueur $EF$. \item {\bf(Facultatif)} Soit $D$ le symétrique du point $A$ par rapport au point $O$. Quelle est la nature du quadrilatère $ACDB$ ? \end{enumerate} } \vfill\pagebreak \hrule \vspace{2mm} {\bf Devoir Surveillé de Mathématiques n°7\hfill301DS7a} \vspace{2mm} \hrule \par \exo{1} On considère les nombres $$\Eqalign{ E&=\frac{3}{5}-\frac{1}{5}\times\left(\frac{5}{2}+2\right)\kern5mm&F&=\frac{3\times10^2\times1,2\times10^{-5}}{15\times10^2}\kern5mm&G&=\sqrt{63}-2\sqrt{28}+\sqrt{700}\cr }$$ \begin{enumerate} \item Calcule $E$ et donne le résultat sous la forme d'une fraction irréductible. \item Donne l'écriture scientifique du nombre $F$. \item Ecris l'expression $G$ sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $a$ et $b$ deux nombres entiers, $b$ le plus petit possible. \end{enumerate} \exo{2} \begin{enumerate} \item Donne l'égalité traduisant la division euclidienne de $1\,512$ par 21. \item Rends irréductible la fraction $\dfrac{720}{1\,512}$. \end{enumerate} \exo{3} On considère l'expression $T=(2x-1)^2-(2x-1)(x+5)$. \begin{enumerate} \item Prouve que l'expression $T$ peut s'écrire $T=2x^2-13x+6$. \item En utilisant l'expression de la question précédente, calcule $T$ pour $x=\dfrac{1}{3}$ et $x=\sqrt2+1$. \par On donnera les résultats sous la forme la plus simple. \item Factorise l'expression $T$, puis détermine les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression $T$ est égale à 0. \end{enumerate} \exo{4} \begin{enumerate} \item Trace le triangle $ABC$ tel que $BC=4\,cm$; $AB=3\,cm$ et $AC=2\,cm$ (on appelle cette figure ${\cal F}_1$). \item Construis l'image de ${\cal F}_1$ par la symétrie d'axe $(AB)$ (on l'appelle ${\cal F}_2$). \item Construis l'image de ${\cal F}_1$ par la symétrie de centre $B$ (on l'appelle ${\cal F}_3$). \item Construis l'image de ${\cal F}_1$ par la translation de vecteur $\vecteur{BC}$ (on l'appelle ${\cal F}_4$). \end{enumerate} \exo{5} Une lampe a la forme d'une boule de centre $O$ et de rayon $30\,cm$. Le segment $[AB]$ est un diamètre et le segment $[SO]$ est un rayon (voir figure ci-dessous). \par\begin{minipage}{6cm} $$\includegraphics[scale=0.75]{301dstous.12}$$ \end{minipage} \begin{minipage}{7.5cm} \underline{\em Rappel :} \par Volume d'une boule : ${\cal V}=\dfrac{4}{3}\pi R^3$ \par($R$ : rayon de la boule) \begin{enumerate} \item Calcule le volume de la boule. Donne la valeur exacte et la valeur arrondie au $cm^3$. \item On donne $SB=30\sqrt{2}$. Montre que la droite $(SO)$ est perpendiculaire à la droite $(AB)$. \end{enumerate} \end{minipage} \exo{6} \par\begin{minipage}{6cm} $$\includegraphics[scale=0.75]{301dstous.13}$$ \end{minipage} \begin{minipage}{7.5cm} \em L'unité de longueur est le mètre. \par Le dessin n'est pas à l'échelle. \end{minipage} \begin{enumerate} \item Roméo ($R$) veut rejoindre Juliette ($J$) à sa fenêtre. Pour cela, il place une échelle $[JR]$. Le mur et le sol sont perpendiculaires. \par On donne $HR=3$ et $JH=4$. \begin{enumerate} \item Calcule la longueur $JR$. \item Calcule $\cos\widehat{HJR}$ puis la valeur de l'angle $\widehat{HJR}$ arrondie au degré. \end{enumerate} \item L'échelle glisse. \par On donne $JR=5$ et $\widehat{HJR}=40°$. \begin{enumerate} \item Calcule la longueur $HR$ (donne la valeur arrondie au dixième). \item Ecris l'expression de $\tan\widehat{HJR}$ puis calcule la longueur $JH$ (donne la valeur arrondie au dixième). \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}