index.tex

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\usepackage{eurofont}
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\input mesures1.tex
\usepackage[frenchb]{babel}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{center}
\Large\bf Brevet Blanc Supplémentaire
\end{center}
\par\underline{\large\bf Partie Numérique}
\par\exo{1}
\begin{enumerate}
\item Sachant que $A=2\sqrt5+4$ et $B=2\sqrt5-4$, calculer la valeur
  exacte de $A+B$ et de $A\times B$.
\item On donne $C=\sqrt{147}-2\sqrt{75}+\sqrt{12}$.\par Écrire $C$ sous la forme $a\sqrt b$, où $a$ est un entier relatif et où $b$ est un entier naturel le plus petit possible.
\end{enumerate}
\par\exo{2}
On donne $E=(2x+3)^2-x(2x+3)$
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $E$.
\item Factoriser $E$.
\item Calculer $E$ pour $x=-\dfrac{2}{3}$. On donnera le résultat sous la forme d'une fraction la plus simple possible.
\item Résoudre l'équation suivante $(2x+3)(x+3)=0$.
\end{enumerate}
\par\exo{3}
Madame Schmitt vend son appartement $91\,000$ \euro. Elle utilise cette somme de la façon suivante :
\begin{itemize}
        \item elle donne les $\dfrac{2}{7}$ de cette somme à sa fille ;
        \item elle s'achète une voiture ;
        \item elle place le reste à 4,5\% d'intérêt par an.
\end{itemize}
\par Au bout d'un an, elle perçoit $2\,250$ \euro d'intérêts.
\begin{enumerate}
        \item Combien d'argent a-t-elle donné à sa fille ?
        \item Quelle somme a-t-elle placée ?
        \item Quel était le prix de la voiture ?
\end{enumerate}
\par\underline{\bf Exercice 4}
\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant, d'inconnues $x$ et $y$:
$$\left\{\begin{tabular}{l}
$x+y=35$\\
$8x+7y=260$\\
\end{tabular}
\right.
$$
\item Si $x$ désigne le prix d'un article, exprimer en fonction de $x$
  le prix de cet article après une baisse de 20\%.
\item Pour l'achat d'un livre et d'un stylo, la dépense est de 35
  francs. Après une réduction de 20\% sur le prix du livre et de 30\%
  sur le prix du stylo, la dépense n'est que de 26 francs.\par
  Calculer le prix d'un livre et celui d'un stylo avant la réduction.
\end{enumerate}
\par\underline{\large\bf Partie Géométrique}
\par\exo{1}
Dans cet exercice, l'unité de mesure choisie est le centimètre.
\par On considère un rectangle $ABCD$ tel que $AB=8$ et $BC=5$.
Sur le segment $[CD]$ est placé le point $M$ tel que $CM=6$.
\begin{enumerate}
        \item Construire la figure sur votre copie.
        \item Déterminer $\tan\widehat{MBC}$ et en déduire la mesure de l'angle $\widehat{MBC}$
 arrondie au degré près.
        \item On note $N$ le point d'intersection des droites $(BM)$ et $(AD)$.
Placer ce point sur la figure. En précisant les énoncés utilisés :
        \begin{enumerate}
                \item Calculer la valeur exacte de $BM$.
                \item Calculer la valeur exacte de $DN$.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\par\exo{2}
Un flacon a la forme d'une pyramide régulière $SABCD$. Sa base est un
carré dont les diagonales mesurent $12\,cm$. Sa hauteur $[SH]$ mesure
aussi $12\,cm$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Représenter en vraie grandeur le triangle $SAC$.
\item Calculer la valeur exacte de $SA$.
\item Calculer la mesure, arrondie au degré, de l'angle $\widehat{SAC}$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer l'aire de la base $ABCD$ de la pyramide.
\item En déduire le volume de la pyramide $SABCD$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\par\underline{\large\bf Problème}
Le plan est muni d'un repère $(O,\,I,\,J)$ orthonormal. L'unité de
longueur est le centimètre.
\par{\em La figure est à faire sur papier millimétré.}
\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $(\Delta)$ d'équation $y=2x-3$.
\item La droite $(\Delta)$ coupe l'axe des ordonnées en $E$.\par Calculer les coordonnées de $E$.
\item Placer les points $A(-4;7)$ et $B(8;1)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du vecteur $\vecteur{AB}$.
\item Montrer qu'une équation de la droite $(AB)$ est
  $y=-\dfrac{1}{2}x+5$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Soit $S$ le point d'intersection des droites $(AB)$ et
  $(\Delta)$, et $K$ le milieu du segment $[EB]$.
\par Montre que les coordonnées du point $S$ sont
$\left(\dfrac{16}{5},\dfrac{17}{5}\right)$.
\item Démontre que le triangle $ESB$ est rectangle.
\item Prouver que $K$ est le centre du cercle circonscrit au triangle
  $SEB$.
\item Démontrer que les coordonnées du point $K$ sont $K(4;-1)$.
\item Tracer le cercle circonscrit au triangle $SEB$.
\item Calculer son rayon (donner la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-1}$ près).
\end{enumerate}
\item Construire le point $T$ symétrique de $S$ par rapport à $K$. Quelle est la nature du quadrilatère $SBTE$ ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{document}
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