index.tex

\documentclass[10pt,a4paper]{leaflet}
 
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[frenchb]{babel}
 
\usepackage[dvipsnames,usenames]{color}
\definecolor{LIGHTGRAY}{gray}{.9}
 
\usepackage{pst-all}
 
\usepackage{manfnt}
 
\usepackage{graphicx}
 
\usepackage{fondcolore}
 
\usepackage{calc}
 
\usepackage{amsmath}
 
\renewcommand*\foldmarklength{5mm}
 
\AddToBackground*{1}{% Background of a large page
  \put(\LenToUnit{.5\paperwidth},\LenToUnit{.5\paperheight}){%
    \makebox(0,0)[c]{%
      \resizebox{.9\paperwidth}{!}{\rotatebox{35.26}{%
        \textsf{\textbf{\textcolor{LIGHTGRAY}{Collège Paul Eluard -- Beuvrages}}}}}}}}
 
\newsavebox\zouliboite
 
\newenvironment{Solu}
   {
     \begin{lrbox}{\zouliboite}
       \begin{minipage}{\linewidth-2\fboxsep-2\fboxrule}
         \hbox to5cm{\hrulefill}\par
         {\bf{\em Solution de l'exercice}}\par
   }
   {
     \par\hbox to5cm{\hrulefill}
       \end{minipage}%
     \end{lrbox}
     \par\noindent % c'est plus sûr
     %\fbox{
\rotatebox{180}{\usebox{\zouliboite}}%}
   }
 
\definecolor{fond1}{rgb}{1,1,0.8}%jaune clair
 
\newenvironment{Question}%
{\par\begin{cminipage}[fond1]
{\bf Questions {\em classiques}}\par}%
{\end{cminipage}\par\vspace{2mm}}%
 
\author{Aide mémoire : Numérique}
\title{Brevet des Collèges}
\date{}
 
\CutLine*{1}
\CutLine*{6}
 
\input{christ5.tex}
 
\pagestyle{empty}
 
\begin{document}
\maketitle
\thispagestyle{empty}
\section{Calcul littéral}
\rnode{A}{}\hfill\rnode{B}{}
\[\Eqalign{
k(a+b)&=ka+kb\cr
\cr
(a+b)(c+d)&=ac+ad+bc+bd\cr
}\]
 
\[\Eqalign{
(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\cr
(a-b)^2&=a^2-2ab+b^2\cr
(a-b)(a+b)&=a^2-b^2\cr
}\]
\rnode{C}{}\hfill\rnode{D}{}
\ncline[linecolor=gray,nodesep=1cm]{->}{A}{B}
\naput{\small développement}
\ncline[linecolor=gray,nodesep=1cm]{->}{D}{C}
\naput{\small factorisation}
\par\vspace{5mm}\par
\begin{Question}
  \begin{myenumerate}
    \item Développer $A=(2x+1)^2-(3x-2)(2x+1)$.
    \item Factoriser la même expression.
    \item Calculer $A$ pour $x=-1$.
  \end{myenumerate}
  \begin{Solu}
    \begin{Myenumerate}
      \item $A=-2x^2+5x+3$
      \item $A=(2x+1)(-x+3)$
      \item $A=-4$
    \end{Myenumerate}
  \end{Solu}
\end{Question}
 
\section{Racines Carrées}
Dans les formules suivantes, tous les nombres $a$ et $b$ sont {\em positifs}.
\[\Eqalign{
\sqrt{a}^2&=a\kern0.1\linewidth&\sqrt{a^2}&=a\cr
}\]
\[\Eqalign{
\sqrt{a\times b}&=\sqrt{a}\times\sqrt{b}%\cr
%\cr
&\sqrt{\frac ab}&=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}\cr
}\]
\[\textdbend\sqrt{a+b}\not=\sqrt a+\sqrt b\]
\begin{Question}
  \begin{myenumerate}
    \item Donne la valeur exacte de $\left(\sqrt2-\sqrt5\right)^2$.
    \item \'Ecris sous la forme $a\sqrt b$, où $b$ est un entier le plus petit possible, l'expression $C=2\sqrt{27}-3\sqrt{48}$.
  \end{myenumerate}
  \begin{Solu}
    \begin{Myenumerate}
      \item $7-2\sqrt{10}$
      \item $C=-6\sqrt3$
    \end{Myenumerate}
  \end{Solu}
\end{Question}
\section{Fractions}
Si $b\not=0$ alors
\[\frac ab+\frac cb=\frac{a+c}b\]
\begin{minipage}{0.1\linewidth}
  \textdbend
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.85\linewidth}
  Si les fractions n'ont pas le même dénominateur, alors on les écrit avec le même dénominateur avant de les additionner.
\end{minipage}
\par\vspace{2mm}\par
Si $b\not=0$ et $d\not=0$ alors
\[\frac ab\times\frac cd=\frac{a\times c}{b\times d}\]
Si $b\not=0$, $c\not=0$ et $d\not=0$ alors
\[\frac ab\div\frac cd=\frac ab\times\frac dc\]
\begin{Question}
Calcule
\[A=\frac13+\frac23\times\frac45\kern1cm B=\left(\frac47-\frac53\right)\div\frac5{42}\]
  \begin{Solu}
\[A=\dfrac{13}{15}\kern1cm B=-\dfrac{46}5\]
  \end{Solu}
\end{Question}
\section{Puissances de 10}
\[\Eqalign{
10^a\times10^b&=10^{a+b}\kern0.1\linewidth\frac{10^a}{10^b}&=10^{a-b}\cr
\cr
\left(10^a\right)^b&=10^{a\times b}\cr
}\]
{\em L'écriture scientifique} d'un nombre décimal est la seule écriture de ce nombre sous la forme $a\times 10^p$ où la partie entière de $a$ est compris entre 1 et 9 (inclus).
\begin{Question}
  Donne l'écriture décimale et scientifique de
\[C=\frac{7\times10^{-12}\times4\times10^5}{2\times10^{-4}}\]
\begin{Solu}
  \[\underbrace{C=0,014}_{\mbox{écriture décimale}}\kern0.05\linewidth \underbrace{C=1,4\times10^{-2}}_{\mbox{écriture scientifique}}\]
\end{Solu}
\end{Question}
\section{Fonctions}
\begin{description}
\item[Fonction linéaire] \[f:x\mapsto ax\] où $a$ est un nombre {\em fixe}.
\item[Fonction affine] \[g:x\mapsto ax+b\] où $a$ et $b$ sont des nombres {\em fixes}.
\end{description}
 
Dans les deux cas, $f(x)$ et $g(x)$ sont les images respectives de la variable $x$ par les fonctions $f$ et $g$.
 
Ces fonctions sont représentées graphiquement par des droites.
\par
\[\includegraphics{triptiquerevisionnum.1}\]
\begin{Question}
  Soit les fonctions
\[f:x\mapsto-4x-8\kern0.1\linewidth g:x\mapsto\frac23x\]
  \begin{myenumerate}
    \item Calcule l'image de 1 par la fonction $f$ et de $-2$ par la fonction $g$.
    \item Représente graphiquement ces deux fonctions.
  \end{myenumerate}
  \begin{Solu}
    \begin{Myenumerate}
      \item $f(1)=-12$ et $g(-2)=-\dfrac43$.
      \item Voir graphique ci-dessus.
    \end{Myenumerate}
  \end{Solu}
\end{Question}
\section{Arithmétique}
On calcule le $\pgcd$ avec l'algorithme d'Euclide.
\begin{center}
\begin{tabular}{cccl}
$a$&$b$&$r$&car\ldots\\
\hline
135&78&57&$135=78\times1+57$\\
78&57&21&$78=57\times1+21$\\
57&21&15&$57=21\times2+15$\\
21&15&6&$21=15\times1+6$\\
15&6&3&$15=6\times2+3$\\
6&3&0&$6=3\times2+0$\\
\end{tabular}
\end{center}
\par Le $\pgcd(135;78)$ est 3. ({\em C'est le dernier reste non nul.})
\par Si le $\pgcd$ de deux nombres est égal à 1 alors on dit que les nombres sont {\em premiers entre eux}.
\par Une fraction est {\em irréductible} si le $\pgcd$ des deux nombres qui la compose est égal à 1.
\begin{Question}
  \begin{myenumerate}
    \item Calcule le $\pgcd$ de 3\,145  et 289.
    \item La fraction $\dfrac{289}{3\,145}$ est-elle irréductible ? Donne sa forme la plus simple.
  \end{myenumerate}
  \begin{Solu}
    \begin{Myenumerate}
      \item $\pgcd(3\,145;289)=17$
      \item Non et $\dfrac{289}{3\,145}=\dfrac{17\times17}{185\times17}=\dfrac{17}{185}$.
    \end{Myenumerate}
  \end{Solu}
\end{Question}
\section{Les systèmes}
\[\left\{
  \begin{array}{l}
    2x+3y=12\\
    3x+2y=10,5\\
  \end{array}
\right.\]
est un système de deux équations du 1\ier\ degré à deux inconnues.
\par Pour résoudre ce système, c'est à dire trouver le couple $(x;y)$ qui vérifie les égalités données par les deux équations; il faut transformer, par multiplication, les équations afin d'avoir le même nombre d'inconnue $x$ (ou $y$) dans chacune des équations.
\[\left\{
  \begin{array}{l}
    2x+3y=12\rnode{A}{}\\
    3x+2y=10,5\rnode{B}{}\\
  \end{array}
\right.\kern1.5cm
\left\{
  \begin{array}{l}
    \rnode{C}{}6x+9y=36\\
    \rnode{D}{}6x+4y=21\\
  \end{array}
\right.
\]
\ncline[nodesep=1cm]{->}{A}{C}
\naput{$\times3$}
\ncline[nodesepA=0.6cm,nodesepB=1cm]{->}{B}{D}
\nbput{$\times2$}
On effectue ensuite une soustraction membre à membre des deux équations.
\begin{Question}
Résous le système suivant :
  \[\left\{\begin{array}{l}
4x+2y=14\\
3x-5y=30\\
\end{array}
\right.
\]
\begin{Solu}
  \[x=5\mbox{ et }y=-3\]
\end{Solu}
\end{Question}
\end{document}