\documentclass[a4paper,11pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{amsmath,fancybox,fancyhdr,multicol} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{picins} \input christ5.tex \input mesures1.tex \headheight15pt \cfoot{Page \thepage/\pageref{dernierepage}} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \footrulewidth0.4pt \pagestyle{fancy} \begin{document} \vfill \begin{center} \shadowbox{\Large\bf\sc{Brevet Blanc n°3}} \end{center} \vfill \par{\bf Classe de 3\ieme}\hfill{\bf Le 7 Mai 2002}\par \hrulefill\par {\em\bf L'emploi des calculatrices est autorisé (circulaire n°86-228 du 28 juillet 1986 publiée au B.O. n°34 du 2 octobre 1986). \par En plus des points prévus pour chacune des trois parties de l'épreuve, la présentation, la rédaction et l'orthographe seront évaluées sur 4 points. \par Le sujet est composé de \pageref{dernierepage} feuilles numérotées \thepage{}/\pageref{dernierepage}, \pageref{num}/\pageref{dernierepage}, \pageref{geo}/\pageref{dernierepage} et \pageref{dernierepage}/\pageref{dernierepage}.} \par\hrulefill\par\vfill \pagebreak \section*{Activités Numériques}\label{num} \exo{1} \begin{enumerate} \item Ecrire chacun des nombres $A$ et $B$ sous la forme d'une fraction irréductible : $$\Eqalign{ A&=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\times\frac{4}{7}-\frac{5}{4}\kern1cm B&=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\times\left(\frac{4}{7}-\frac{5}{4}\right)\cr }$$ \item Ecrire chacun des nombres $C$ et $D$ sous la forme $a+b\sqrt6$, où $a$ et $b$ désignent deux nombres entiers : $$\Eqalign{ C&=\left(\sqrt6+1\right)^2-\left(\sqrt6-1\right)^2\kern1cm D&=\left(\sqrt6+1\right)\times\left(\sqrt6-1\right)\cr }$$ \end{enumerate} \exo{2} Soit l'expression $E=(-3x+5)(x+7)+(x+7)^2$. \begin{enumerate} \item Développer et réduire $E$. \item Ecrire $E$ sous la forme d'un produit de facteurs du premier degré. \item Calculer la valeur de $E$ pour $x=1$ et $x=-2$. \item Résoudre l'équation $E=0$. \end{enumerate} \exo{3} Pour aller de Alphaville à Bétaville, il existe deux routes possibles : \begin{itemize} \item[$\bullet$] le trajet (1) d'une longueur $d$; un automobiliste l'empruntant à la vitesse $V_1$ mettra le temps $t$ pour l'effectuer; \item[$\bullet$] le trajet (2) d'une distance supérieure de $10\%$ au précédent; un automobiliste l'empruntant à la vitesse $V_2$ mettra un temps inférieur de $10\%$ au temps précédent pour l'effectuer. \end{itemize} \par Sachant que $V_1+V_2$ est égal à 200 kilomètres par heure, calculer $V_1$ et $V_2$. \pagebreak \section*{Activités Géométriques}\label{geo} \vskip5mm {\bf Pour les figures des exercices ci-dessous, on utilisera \underline{exclusivement} la feuille blanche fournie.} \vskip5mm \exo{1} Soit un triangle $ABC$. \begin{enumerate} \item Construire les points $D$ et $E$ tels que $\vecteur{BE}=\vecteur{AB}=\vecteur{DA}$. \item Construire le point $I$ tel que $\vecteur{CI}=\vecteur{CA}+\vecteur{CB}$. \item Démontrer que \begin{enumerate} \item $\vecteur{DA}+\vecteur{BE}=\vecteur{DB}$. \item $\vecteur{CA}+\vecteur{DA}+\vecteur{BE}=\vecteur{CE}$. \item $\vecteur{CD}+\vecteur{BE}=\vecteur{CA}$. \item $\vecteur{BI}=\vecteur{CA}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \exo{2} {\bf Pour cet exercice, on prendra la feuille blanche dans le sens de la longueur (mode paysage) et on commencera la figure du côté \underline{droit} de la feuille.} \par {\em Dans cet exercice, l'unité de longueur est le centimètre.} \par Soit $ABCD$ un trapèze $ABCD$ rectangle en $A$ et $D$ tel que $AB=5$, $AD=6$, $CD=10$. \par Soit $M$ un point quelconque du segment $[AD]$. On pose $AM=x$. \par La droite $(BM)$ coupe la droite $(CD)$ en $N$. \begin{enumerate} \item Exprimer la longueur $DN$ en fonction de $x$. \item On cherche à trouver une position particulière du point $M$, que l'on appellera $M_1$ (on obtiendra alors le point $N_1$), pour que le point $D$ soit le milieu du segment $[CN_1]$. Connaissant alors la mesure du segment $[DN_1]$, conclure en calculant la valeur de $x$ correspondante. Placer le point $M_1$ ainsi déterminé. \item Donner alors une mesure à un degré près par défaut de l'angle $\widehat{CN_1B}$. \end{enumerate} \pagebreak \section*{Problème} {\em Dans ce problème, les longueurs sont mesurées en centimètres et les aires en centimètres carrés.} \begin{enumerate} \item Soit un rectangle $ABCD$ tel que $AB=8$ et $AD=6$, et $M$ un point quelconque du segment $[BD]$. La perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par $M$ coupe la droite $(AB)$ en $N$. Construire la figure. \item Calculer la longueur $BD$. \item Pour la suite de ce problème, on pose $BM=x$. \begin{enumerate} \item Exprimer les longueurs $MN$ et $AN$ en fonction de $x$. \item\label{3c} En déduire l'aire ${\cal A}(x)$ du trapèze $ADMN$. \end{enumerate} \item En utilisant le résultat obtenu à la question \ref{3c}, calculer: \begin{enumerate} \item ${\cal A}(1)$. \item ${\cal A}(4)$. \item ${\cal A}(10)$. Ce résultat peut-il être obtenu directement, sans utiliser l'expression ${\cal A}(x)$ ? Pourquoi ? \end{enumerate} \item On donne ci-dessous la représentation graphique de $\cal A$ dans un repère du plan. \par ${\cal A}(x)$ est l'image de $x$ et se lit en ordonnée comme indiqué sur le graphique. \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement, en laissant apparaître les traits construits pour la lecture, pour quelle(s) valeur(s) de $x$ l'aire du trapèze $ADMN$ mesure : \begin{itemize} \item[$\bullet$] $18\,cm^2$ \item[$\bullet$] $4,5\,cm^2$ \end{itemize} \item Déterminer graphiquement la mesure de l'aire du trapèze $ADMN$ lorsque $x$ mesure $2\,cm$, puis lorsque $x$ mesure $5\,cm$. \end{enumerate} $$\includegraphics{0102bb3.1}$$ \item Déterminer par le calcul la valeur de $x$ pour laquelle les aires du trapèze $ADMN$ et du triangle $BNM$ sont égales. \par Faire une figure en plaçant les points $M$ et $N$ correspondants. \end{enumerate} \label{dernierepage} \end{document}