\documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{amsmath,fancybox,tabularx,fancyhdr,eurofont} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{picins} \input christ5.tex \input mesures1.tex \headheight15pt \cfoot{Page \thepage/\pageref{dernierepage}} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \footrulewidth0.4pt \pagestyle{fancy} \begin{document} \vfill \begin{center} \shadowbox{\Large\bf\sc{Brevet Blanc n°2}} \end{center} \vfill \par{\bf Classe de 3\ieme}\hfill{\bf Le 31 Janvier 2002}\par \hrulefill\par {\em\bf L'emploi des calculatrices est autorisé (circulaire n°86-228 du 28 juillet 1986 publiée au B.O. n°34 du 2 octobre 1986). \par En plus des points prévus pour chacune des trois parties de l'épreuve, la présentation, la rédaction et l'orthographe seront évaluées sur 4 points. \par Le sujet est composé de \pageref{dernierepage} feuilles numérotées \thepage{}/\pageref{dernierepage}, \pageref{num}/\pageref{dernierepage}, \pageref{geo}/\pageref{dernierepage} et \pageref{dernierepage}/\pageref{dernierepage}.} \par\hrulefill\par\vfill \pagebreak \section*{Activités Numériques}\label{num} \exo{1} \begin{enumerate} \item On donne $$A=\left(-4+3\times\frac{2}{7}\right)\div\frac{3}{14}\kern2cm B=\frac{4-(2-5)^2}{4+5}$$ \par Calculer les nombres $A$ et $B$. Ecrire les étapes et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles. \item On donne $$C=5\sqrt{20}+\sqrt{45}\kern2cm D=5\sqrt{20}\times\sqrt{45}\times\sqrt5$$ \par Calculer les nombres $C$ et $D$ en donnant les résultats sous la forme $a\sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des entiers et $b$ le plus petit possible. \item Calculer $E^2$ sachant que $E=4-\sqrt5$. \end{enumerate} \exo{2} \begin{enumerate} \item On donne $F=(4x-3)^2-(x+3)(3-9x)$. \begin{enumerate} \item Développer et réduire $(4x-3)^2$. \item Montrer que $F=(5x)^2$. \item Trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles $F=125$. \end{enumerate} \item On donne $C=(3x-2)^2-25$. \begin{enumerate} \item Développer et réduire $C$. \item Factoriser $C$. \item Résoudre l'équation $(3x-7)(x+1)=0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \exo{3} Pour équiper une salle de réunion, M. Dupont achète des chaises et des tabourets. Chaque chaise coûte 30\euro\, et chaque tabouret 20\euro. Il paie au total 1\,030\euro. \par Il a acheté 6 chaises de plus que de tabourets. \par Quel est le nombre de chaises et le nombre de tabourets achetés par M.Dupont ? \pagebreak \section*{Activités Géométriques}\label{geo} \exo{1}\par Le parallélèpipède rectangle de la figure ci-dessous a été coupé par un plan parallèle à l'arête $[BC]$. \par On donne $EF=25\,cm$, $HK=20\,cm$, $KE=15\,cm$. $$\includegraphics{0102bb2fig.0}$$ \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de la section plane $EFGH$ ? \item Calculer $HE$. \item Que peut-on déduire des questions précédentes pour le quadrilatère $EFGH$ ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \exo{2} Soit $ABCD$ un quadrilatère tel que $\widehat{ABC}=90$°, $AD=10\,cm$, $CD=8\,cm$, $AB=3,6\,cm$ et $BC=4,8\,cm$. \begin{enumerate} \item Réaliser une figure en grandeur réelle. \item Calculer la longueur $AC$ et montrer que le triangle $ACD$ est rectangle. \item Calculer une valeur arrondie au degré de l'angle $\widehat{BAC}$. \item Montrer que le triangle $ABC$ est une réduction du triangle $ACD$ dont on précisera le coefficient de réduction. \end{enumerate} \par\parpic[r]{\includegraphics{0102bb2fig.1}} \begin{minipage}{12cm} \exo{3} Une boîte est formée d'un cylindre de hauteur $8\,cm$, surmonté d'une demi-sphère de rayon $3\,cm$. \begin{enumerate} \item Calculer le volume $\cal V$ de la boîte en $cm^3$. On donnera la valeur exacte et une valeur approchée au $mm^3$. \item Cette boîte est agrandie avec un coefficient $k=2$. \par Calculer le volume ${\cal V}'$ de la boîte agrandie en $cm^3$. On donnera la valeur exacte et une valeur approchée au $mm^3$. \end{enumerate} \end{minipage} \pagebreak \section*{Problème} \paragraph{Première Partie} $EFG$ est un triangle isocèle en $E$ tel que $FG=5\,cm$ et $EG=6\,cm$. \par Le cerlce $({\cal C})$ de centre $O$ et de diamètre $[EG]$ coupe le segment $[FG]$ en $K$. \begin{enumerate} \item Réaliser la figure en vraie grandeur sur la feuille blanche fournie. \item \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle $EKG$ ? Justifier la réponse. \item Démontrer que $K$ est le milieu du segment $[FG]$. \item Calculer la valeur exacte de la longueur $EK$. Donner une valeur approchée à $1\,mm$ près. \end{enumerate} \item Soit $S$ le symétrique du point $K$ par rapport au point $O$. \begin{enumerate} \item Placer le point $S$ sur la figure. \item Démontrer que le quadrilatère $ESGK$ est un rectangle. \end{enumerate} \end{enumerate} \paragraph{Deuxième Partie} Compléter la figure en placant un point $P$, distinct du point $O$, sur le segment $[EG]$. Tracer la parallèle à la droite $(FG)$ passant par $P$ : elle coupe la droite $(EF)$ en $R$. \par On nomme $x$ la longueur du segment $[EP]$ exprimée en centimètres. \begin{enumerate} \item Préciser, sans aucune justification, la nature du triangle $EPR$. \item Démontrer que $$PR=\frac{5}{6}x$$ \item Exprimer, en fonction de $x$, le périmètre du triangle $EPR$. \item Démontrer que le périmètre ${\cal P}$ du trapèze $RPGF$ est $${\cal P}=\frac{-7x}{6}+17$$ \item Peut-on trouver une position du point $P$ sur le segment $[EG]$ pour laquelle le triangle $EPR$ et le trapèze $RPGF$ aient le même périmètre ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \label{dernierepage} \end{document}