\documentclass[a4paper,10pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{amsmath,tabularx,eurofont,multicol} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{picins} \input christ5.tex \input mesures1.tex \columnseprule0.25pt \begin{document} \small \begin{center}{\bf\Large Correction du Brevet Blanc n°2} \end{center} \begin{multicols}{2} \section*{Activités Numériques}\label{num} \exo{1} \begin{enumerate} \item{\em On donne $$A=\left(-4+3\times\frac{2}{7}\right)\div\frac{3}{14}\kern2cm B=\frac{4-(2-5)^2}{4+5}$$ \par Calculer les nombres $A$ et $B$. Ecrire les étapes et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles.} $$\Eqalign{ A&=\left(-4+3\times\frac{2}{7}\right)\div\frac{3}{14}\kern1.5cm&B&=\frac{4-(2-5)^2}{4+5}\cr A&=\left(-4+\frac{6}{7}\right)\div\frac{3}{14}&B&=\frac{4-(-3)^2}{9}\cr A&=\left(\frac{-28}{7}+\frac{6}{7}\right)\div\frac{3}{14}&B&=\frac{4-9}{9}\cr A&=\frac{-22}{7}\div\frac{3}{14}&B&=-\frac{5}{9}\cr A&=\frac{-22}{7}\times\frac{14}{3}\cr A&=\frac{-22\times2\times7}{7\times3}\cr A&=-\frac{44}{3}\cr }$$ \item{\em On donne $$C=5\sqrt{20}+\sqrt{45}\kern2cm D=5\sqrt{20}\times\sqrt{45}\times\sqrt5$$ \par Calculer les nombres $C$ et $D$ en donnant les résultats sous la forme $a\sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des entiers et $b$ le plus petit possible.} $$\Eqalign{ C&=5\sqrt{20}+\sqrt{45}\kern2cm&D&=5\sqrt{20}\times\sqrt{45}\times\sqrt5\cr C&=5\sqrt{4\times5}-\sqrt{9\times5}&D&=5\sqrt{900}\times\sqrt5\cr C&=5\times\sqrt4\times\sqrt5-\sqrt9\times\sqrt5&D&=5\times30\times\sqrt5\cr C&=5\times2\times\sqrt5-3\sqrt5&D&=150\sqrt5\cr C&=10\sqrt5-3\sqrt5\cr C&=7\sqrt5\cr }$$ \item{\em Calculer $E^2$ sachant que $E=4-\sqrt5$.} $$\Eqalign{ E^2&=\left(4-\sqrt5\right)^2\cr E^2&=4^2-2\times4\times\sqrt5+\left(\sqrt5\right)^2\cr E^2&=16-8\sqrt5+5\cr E^2&=21-8\sqrt5\cr }$$ \end{enumerate} \exo{2} \begin{enumerate} \item{\em On donne $F=(4x-3)^2-(x+3)(3-9x)$.} \begin{enumerate} \item{\em Développer et réduire $(4x-3)^2$.} $$\Eqalign{ (4x-3)^2&=(4x)^2-2\times4x\times3+3^2\cr (4x-3)^2&=16x^2-24x+9\cr }$$ \item{\em Montrer que $F=(5x)^2$.} $$\Eqalign{ F&=(4x-3)^2-(x+3)(3-9x)\cr F&=16x^2-24x+9-\left(3x-9x^2+9-27x\right)\cr F&=16x^2-24x+9-3x+9x^2-9+27x\cr F&=25x^2\cr F&=(5x)^2\cr }$$ \item{\em Trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles $F=125$.} \par On a $$\Eqalign{ F&=(5x)^2\cr (5x)^2&=125\cr }$$ \par Comme 125 est strictement positif, l'équation admet deux solutions $$\Eqalign{ 5x&=\sqrt{125}\kern1cm&5x&=-\sqrt{125}\cr 5x&=\sqrt{25\times5}&5x&=-\sqrt{25\times5}\cr 5x&=5\sqrt5&5x&=-5\sqrt5\cr x&=\sqrt5&x&=-\sqrt5\cr }$$ \par Donc les solutions de l'équation $F=125$ sont $x=\sqrt5$ et $x=-\sqrt5$. \end{enumerate} \item{\em On donne $C=(3x-2)^2-25$.} \begin{enumerate} \item{\em Développer et réduire $C$.} $$\Eqalign{ C&=(3x-2)^2-25\cr C&=(3x)^2-2\times3x\times2+2^2-25\cr C&=9x^2-12x+4-25\cr C&=9x^2-12x-21\cr }$$ \item{\em Factoriser $C$.} $$\Eqalign{ C&=(3x-2)^2-25\cr C&=(3x-2)^2-5^2\cr C&=(3x-2-5)\times(3x-2+5)\cr C&=(3x-7)\times(3x+3)\cr C&=(3x-7)\times3\times(x+1)\cr C&=3(3x-7)(x+1)\cr }$$ \item{\em Résoudre l'équation $(3x-7)(x+1)=0$.} \par C'est une équation-produit donc $$\Eqalign{ 3x-7&=0\kern1cm\mbox{ou}\kern1cm&x+1&=0\cr 3x&=7&x&=-1\cr x&=\frac{7}{3}\cr }$$ \par Les solutions de l'équation $(3x-7)(x+1)=0$ sont $x=\dfrac{7}{3}$ et $x=-1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \exo{3}{\em Pour équiper une salle de réunion, M. Dupont achète des chaises et des tabourets. Chaque chaise coûte 30\euro\, et chaque tabouret 20\euro. Il paie au total 1\,030\euro. \par Il a acheté 6 chaises de plus que de tabourets. \par Quel est le nombre de chaises et le nombre de tabourets achetés par M.Dupont ?} \par Soit $x$ le nombre de tabourets : par conséquent, $x+6$ est le nombre de chaises. On obtient alors $$\Eqalign{ \underbrace{20\times x}_{\mbox{prix des tabourets}}+\underbrace{30\times(x+6)}_{\mbox{prix des chaises}}&=\underbrace{1\,030}_{\mbox{prix total}}\cr 20x+30x+180&=1\,030\cr 50x+180&=1\,030\cr 50x&=1\,030-180\cr 50x&=850\cr x&=\frac{850}{50}\cr x&=17\cr }$$ \par Le nombre de tabourets est de 17 et le nombre de chaises est de 17+6 c'est-à-dire 23. \end{multicols} \pagebreak \begin{multicols}{2} \section*{Activités Géométriques}\label{geo} \exo{1}{\em Le parallélèpipède rectangle de la figure ci-dessous a été coupé par un plan parallèle à l'arête $[BC]$. \par On donne $EF=25\,cm$, $HK=20\,cm$, $KE=15\,cm$.} $$\includegraphics[scale=0.8]{0102bb2fig.0}$$ \begin{enumerate} \item{\em Quelle est la nature de la section plane $EFGH$ ?} \par D'après l'énoncé, la section est obtenue par la coupe du parallélèpipède rectangle par un plan parallèle à l'arête $[BC]$. Donc la section plane $EFGH$ est un rectangle. \item{\em Calculer $HE$.} \par Dans le triangle $EHK$, rectangle en $K$, le théorème de Pythagore permet d'écrire $$\Eqalign{ EH^2&=EK^2+KH^2\cr EH^2&=15^2+20^2\cr EH^2&=225+400\cr EH^2&=625\cr EH&=\sqrt{625}\cr EH&=25\,cm\cr }$$ \par La longueur $HE$ mesure $25\,cm$. \item{\em Que peut-on déduire des questions précédentes pour le quadrilatère $EFGH$ ? Justifier la réponse.} \par D'après la question 1, on sait que $EFGH$ est un rectangle. D'après la question 2, on sait que $EH=25\,cm$ donc $EH=EF$. \par On obtient donc un rectangle possèdant deux côtés consécutifs de même longueur : $EFGH$ est un carré. \end{enumerate} \exo{2}{\em $ABCD$ un quadrilatère tel que $\widehat{ABC}=90$°, $AD=10\,cm$, $CD=8\,cm$, $AB=3,6\,cm$ et $BC=4,8\,cm$.} \begin{enumerate} \item{\em Réaliser une figure en grandeur réelle.} \item{\em Calculer la longueur $AC$ et montrer que le triangle $ACD$ est rectangle.} \par Dans le triangle $ABC$, rectangle en $B$, le théorème de Pythagore permet d'écrire : $$\Eqalign{ AC^2&=AB^2+BC^2\cr AC^2&=3,6^2+4,8^2\cr AC^2&=12,96+23,04\cr AC^2&=36\cr AC&=\sqrt{36}\cr AC&=6\,cm\cr }$$ \par Dans le triangle $ACD$, $[AD]$ est le plus grand côté. $$\left. \begin{tabular}{l} $AD^2=10^2=\underline{100}$\\ $AC^2+CD^2=6^2+8^2=\underline{100}$\\ \end{tabular} \right\}AD^2=AC^2+CD^2 $$ \par Comme $AD^2=AC^2+CD^2$, alors le triangle $ACD$ est rectangle en $C$ d'après la réciproque du théorème de Pyhtagore. \item{\em Calculer une valeur arrondie au degré de l'angle $\widehat{BAC}$.} \par Dans le triangle $ABC$, rectangle en $B$, on a $$\Eqalign{ \cos\widehat{ABC}&=\frac{AB}{AC}\cr \cos\widehat{BAC}&=\frac{3,6}{6}\cr \widehat{ABC}&\simeq53\mbox{°}\cr }$$ \item{\em Montrer que le triangle $ABC$ est une réduction du triangle $ACD$ dont on précisera le coefficient de réduction.} \par $$\left. \begin{tabular}{l} $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{3,6}{6}=0,6$\\ \\ $\dfrac{BC}{CD}=\dfrac{4,8}{8}=0,6$\\ \\ $\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{6}{10}=0,6$\\ \end{tabular} \right\}\frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{AD} $$ \par Comme $\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BC}{CD}=\dfrac{AC}{AD}$ alors le triangle $ABC$ est une réduction du triangle $ACD$ et le coefficient de réduction est 0,6. \end{enumerate} \exo{3}{\em Une boîte est formée d'un cylindre de hauteur $8\,cm$, surmonté d'une demi-sphère de rayon $3\,cm$.} $$\includegraphics[scale=0.8]{0102bb2fig.1}$$ \begin{enumerate} \item{\em Calculer le volume $\cal V$ de la boîte en $cm^3$. On donnera la valeur exacte et une valeur approchée au $mm^3$.} \par Soit $\cal V$ le volume de la boîte, ${\cal V}_1$ le volume du cylindre et ${\cal V}_2$ le volume de la demi-sphère. $$\Eqalign{ {\cal V}_1&=\pi\times R^2\times h\kern1cm&{\cal V}_2&=\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\times\pi\times R^3\cr \cr {\cal V}_1&=\pi\times 3^2\times 8&{\cal V}_2&=\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\times\pi\times 3^3\cr \cr {\cal V}_1&=72\pi\,cm^3&{\cal V}_2&=18\pi\,cm^3\cr }$$ \par Donc $$\Eqalign{ {\cal V}&={\cal V}_1+{\cal V}_2\cr {\cal V}&=72\pi+18\pi\cr {\cal V}&=90\pi\,cm^3\cr \cr {\cal V}&\simeq282,743\,cm^3\cr }$$ \item{\em Cette boîte est agrandie avec un coefficient $k=2$. \par Calculer le volume ${\cal V}'$ de la boîte agrandie en $cm^3$. On donnera la valeur exacte et une valeur approchée au $mm^3$.} \par On obtient $$\Eqalign{ {\cal V}'&=2^3\times{\cal V}\cr {\cal V}'&=8\times90\pi\cr {\cal V}'&=720\pi\,cm^3\cr \cr {\cal V}'&\simeq2\,261,947\,cm^3\cr }$$ \end{enumerate} \end{multicols} \pagebreak \begin{multicols}{2} \section*{Problème} \paragraph{Première Partie}{\em $EFG$ est un triangle isocèle en $E$ tel que $FG=5\,cm$ et $EG=6\,cm$. \par Le cercle $({\cal C})$ de centre $O$ et de diamètre $[EG]$ coupe le segment $[FG]$ en $K$.} \begin{enumerate} \item{\em Réaliser la figure en vraie grandeur sur la feuille blanche fournie.} \item \begin{enumerate} \item{\em Quelle est la nature du triangle $EKG$ ? Justifier la réponse.} \par Le point $K$ appartient au cercle de diamètre $[EG]$ donc le triangle $EKG$ est rectangle en $K$. \item{\em Démontrer que $K$ est le milieu du segment $[FG]$.} \par Comme le tiangle $EFG$ est isocèle en $E$ alors le point $E$ appartient à la médiatrice du segment $[FG]$. De plus, la droite $(EK)$ est perpendiculaire à la droite $(FG)$. Donc la droite $(EK)$ est la médiatrice du segment $[FG]$. Par conséquent, $K$ est le milieu du segment $[FG]$. \item{\em Calculer la valeur exacte de la longueur $EK$. Donner une valeur approchée à $1\,mm$ près.} \par Comme $K$ est le milieu du segment $[FG]$ alors $FK=\dfrac{FG}{2}=\dfrac{5}{2}=2,5\,cm$. \par Dans le triangle $EKG$, rectangle en $K$, le théorème de Pythagore permet d'écrire $$\Eqalign{ EG^2&=EK^2+KG^2\cr 6^2&=EK^2+2,5^2\cr 36&=EK^2+6,25\cr EK^2&=36-6,25\cr EK^2&=29,75\cr EK&=\sqrt{29,75}\cr EK&\simeq5,5\,cm\cr }$$ \par La longueur $EK$ mesure environ $5,5\,cm$. \end{enumerate} \item{\em Soit $S$ le symétrique du point $K$ par rapport au point $O$.} \begin{enumerate} \item{\em Placer le point $S$ sur la figure.} \item{\em Démontrer que le quadrilatère $ESGK$ est un rectangle.} \par Comme $S$ est le symétrique du point $K$ par rapport au point $O$ alors le point $O$ est le milieu du segment $[KS]$. \par Comme $O$ est le centre du cercle de diamètre $[AG]$ alors le point $O$ est le milieu du segment $[EG]$. \par Donc les diagonales du quadrilatère $ESGK$ ont le même milieu $O$ : $ESGK$ est alors un parallélogramme. \par De plus, le parallélogramme $ESGK$ possède un angle droit (d'après la question 2.a.) : $ESGK$ est donc un rectangle. \end{enumerate} \end{enumerate} \paragraph{Deuxième Partie}{\em Compléter la figure en placant un point $P$, distinct du point $O$, sur le segment $[EG]$. Tracer la parallèle à la droite $(FG)$ passant par $P$ : elle coupe la droite $(EF)$ en $R$. \par On nomme $x$ la longueur du segment $[EP]$ exprimée en centimètres.} \begin{enumerate} \item{\em Préciser, sans aucune justification, la nature du triangle $EPR$.} \par $$\left\{ \begin{tabularx}{7cm}{X} Le triangle $EFG$ est coupé par un droite parallèle à la droite $(FG)$ donc le triangle $ERP$ est une réduction du triangle $EFG$ et de rapport $k$. Donc\par$EP=k\times EG=k\times\underbrace{EF}_{\mbox{car $EF=EG$}}=ER$ : le triangle $ERP$ est isocèle en $E$. \end{tabularx} \right. $$ \par Le triangle $EPR$ est isocèle en $E$. \item{\em Démontrer que }$$PR=\frac{5}{6}x$$ \par Dans le triangle $EFG$, $P$ est un point de la droite $(EG)$, $R$ est un point de la droite $(EF)$ tels que les droites $(RP)$ et $(FG)$ soient parallèles. Alors le Théorème de Thalès permet d'écrire $$\Eqalign{ \frac{EP}{EG}&=\frac{ER}{EF}=\frac{PR}{GF}\cr \frac{x}{6}&=\frac{x}{6}=\frac{PR}{5}\cr }$$ \par On utilise $\dfrac{x}{6}=\dfrac{PR}{5}$ d'où $PR=\dfrac{5\times x}{6}$ ou $PR=\dfrac{5}{6}x$. \item{\em Exprimer, en fonction de $x$, le périmètre du triangle $EPR$.} \par Soit $p$ le périmètre du triangle $EPR$. $$\Eqalign{ p&=EP+PR+RE\cr p&=x+\frac{5}{6}x+x\cr p&=\frac{6}{6}x+\frac{5}{6}x+\frac{6}{6}x\cr p&=\frac{17}{6}x\cr }$$ \item{\em Démontrer que le périmètre ${\cal P}$ du trapèze $RPGF$ est } $${\cal P}=\frac{-7x}{6}+17$$ \par Comme $P$ appartient au segment $[EG]$ donc $$\Eqalign{ EG&=EP+PG\cr 6&=x+PG\cr PG&=6-x\cr }$$ \par On a $FR=PG=6-x$. \par Donc $$\Eqalign{ {\cal P}&=RP+PG+GF+FR\cr {\cal P}&=\frac{5}{6}x+6-x+5+6-x\cr {\cal P}&=\frac{5}{6}x-\frac{6}{6}x-\frac{6}{6}x+6+5+6\cr {\cal P}&=-\frac{7}{6}x+17\cr }$$ \item{\em Peut-on trouver une position du point $P$ sur le segment $[EG]$ pour laquelle le triangle $EPR$ et le trapèze $RPGF$ aient le même périmètre ? Justifier la réponse.} \par Il faut obtenir $$\Eqalign{ p&={\cal P}\cr \frac{17}{6}x&=-\frac{7}{6}x+17\cr \frac{17}{6}x+\frac{7}{6}x&=17\cr \frac{24}{6}x&=17\cr 4x&=17\cr x&=\frac{17}{4}\cr x&=4,25\cr }$$ \par Si $P$ est situé sur le segment $[EG]$ tel que $EP=4,25\,cm$ alors le triangle $EPR$ et le trapèze $RPGF$ ont le même périmètre. \end{enumerate} \end{multicols} \end{document}