\subsection{Ordre et multiplication}
\begin{enumerate}
\item On sait que $a<b$. Recopie et complète le tableau suivant.
$$\begin{tabular}{|c!{\ldots}c|c!{\ldots}c|c!{\ldots}c|}
\hline
$a$&$b$&$-2a$&$-2b$&$-5a$&$-5b$\\
\hline
3&4&&&&\\
\hline
$-1$&2&&&&\\
\hline
$-4$&$-3$&&&&\\
\hline
\end{tabular}
$$
Que remarque-t-on ?
\item Il faut prouver cette remarque. Soit $a$ et $b$ 2 nombres quelconques tels que $a<b$ et $c$ un nombre {\bf négatif}.
\\Alors on a $a-b<0$ et comparons les produits $ac$ et $bc$.
$$ac-bc=\underbrace{\underbrace{(a-b)}_{<0}\times\underbrace{c}_{<0}}_{\ldots}$$
donc $ac\ldots bc$
\end{enumerate}
$$\encadrecouleur{LightGray}{\em\Si on multiplie les deux membres d'une inégalité par un nombre \ldots\ldots\ldots \alors \dotfill\par\dotfill}$$
\subsection{Solutions d'une inéquation}
\begin{enumerate}
\item Pour chacun des cas suivants, dire si le nombre proposé est solution de l'inéquation proposée.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $x=7$ pour $x+4>0$
\item $x=-1$ pour $2x-4<0$
\item $x=4$ pour $x-4\geqslant0$
\item $x=-2$ pour $3x+4\leqslant-3$
\item $x=0$ pour $2x+1>4x+1$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Voici plusieurs inéquations. Sans les résoudre, propose au moins deux solutions pour chacune d'elles.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $x\leqslant7$
\item $3x>2$
\item $2x+4\geqslant0$
\item $-4x+1<2x$
\item $4x+2\leqslant 3-x$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Recopie et complète le tableau suivant.
$$\begin{tabular}{|c|m{10cm}|}
\hline
{\bf Inéquation}&{\bf\og{}Les solutions de l'inéquation sont\ldots}\\
\hline
$x\leqslant7$&tous les nombres inférieurs ou égaux à 7\\
\hline
$x<-2$&tous les nombres strictement inférieurs à $-2$\\
\hline
$x\ldots\ldots$&tous les nombres supérieurs ou égaux à 3\\
\hline
$x<4$&tous les nombres \ldots\ldots\ldots\ldots\\
\hline
$x\ldots\ldots$&tous les nombres strictement supérieurs à $\pi$\\
\hline
\end{tabular}
$$
\item
\begin{enumerate}
\item Observe attentivement ce tableau et complète-le (les 2 premières lignes sont complètes).
$$
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
Inéquation&Représentation graphique des solutions\\
\hline
$x\leqslant7$&$\vcenter{\hbox{\includegraphics{actiequations.1}}}$\\
\hline
$x>-2$&$\vcenter{\hbox{\includegraphics{actiequations.2}}}$\\
\hline
$x\ldots2$&$\vcenter{\hbox{\includegraphics{actiequations.3}}}$\\
\hline
$x\ldots\ldots$&$\vcenter{\hbox{\includegraphics{actiequations.4}}}$\\
\hline
$x<4$&$\vcenter{\hbox{\includegraphics{actiequations.5}}}$\\
\hline
$x\geqslant-3$&$\vcenter{\hbox{\includegraphics{actiequations.6}}}$\\
\hline
\end{tabular}
$$
\item Que représente le crochet ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{Résolution de problèmes}
{\bf\underline{\sc Problème A}}\par
$$\encadrecouleur{fond1}{
\underline{Donnée D$_1$} : Dans une papeterie, Jean achète 2 cahiers et 3 livres. Il paie 17\textgreek{\euro}.
}$$
Peut-on trouver le prix unitaire des 2 articles ?
\dotfill\par\dotfill\par
{\bf\underline{\sc Problème B}}\par
$$\encadrecouleur{fond1}{
\underline{Donnée D$_1$} : Dans une papeterie, Jean achète 2 cahiers et 3 livres. Il paie 17\textgreek{\euro}.
\\\underline{Donnée D$_2$} : Dans la même papeterie, Luc achète 2 cahiers et 5 livres. Il paie 25\textgreek{\euro}.
}$$
Quel est le prix d'un livre ?\dotfill\par\dotfill\par
Pourquoi la résolution de ce problème est simple ?\dotfill\par\dotfill
\par
{\bf\underline{\sc Problème C}}\par
$$\encadrecouleur{fond1}{
\underline{Donnée D$_1$} : Dans une papeterie, Jean achète 2 cahiers et 4 livres. Il paie 23\textgreek{\euro}.
\\\underline{Donnée D$_2$} : Dans la même papeterie, Luc achète 1 cahier et 3 livres. Il paie 15,5\textgreek{\euro}.
}$$
On ne peut pas trouver directement le prix unitaire de chaque article. Il va falloir \og{}mathématiser\fg{} le problème.
\par{\bf\large\underline{Choix des inconnues}}
Soit \ldots le prix d'un cahier et \ldots le prix d'un livre.
\par{\bf\large\underline{Mise en équation du problème}}
\begin{enumerate}
\item Traduis mathématiquement par une équation la donnée D$_1$.
$$\ldots\ldots+\ldots\ldots=\ldots\ldots\kern3cm(1)$$
\par C'est une équation à deux inconnues (\ldots et \ldots).
\item Traduis mathématiquement par une équation la donnée D$_2$.
$$\ldots\ldots+\ldots\ldots=\ldots\ldots\kern3cm(2)$$
\item Les équations $(1)$ et $(2)$ forment {\bf un système de 2 équations du 1\ier degré à 2 inconnues}. On le note
$$\left\{\begin{tabular}{l}
$\ldots\ldots+\ldots\ldots=\ldots\ldots\kern3cm(1)$\\
$\ldots\ldots+\ldots\ldots=\ldots\ldots\kern3cm(2)$\\
\end{tabular}
\right.
$$
\item Pour qu'{\bf un couple de solutions} conviennent, il faut qu'il soit {\bf solution des deux équations à la fois}. Pour chaque couple (prix d'un cahier ; prix d'un livre) proposé ci-dessous, dis s'il peut convenir comme solution (justifie les calculs).
\par{\bf Solution 1 : (3;4)}\dotfill\par\dotfill\par
\par{\bf Solution 2 : (6,5;3)}\dotfill\par\dotfill\par
\par{\bf Solution 3 : (1,5;5)}\dotfill\par\dotfill\par
\end{enumerate}
\par{\bf\large\underline{Résolution du système}}
\begin{enumerate}
\item\label{q1} En suivant le problème $\sc B$ ; quelle semble être la méthode à choisir ?\dotfill\par\dotfill.
\item Ecris l'équation correspondant à la méthode de la question \ref{q1}.
$$\ldots\ldots+\ldots\ldots=\ldots\ldots\kern2cm(3)$$
\par On dit que les équations $(2)$ et $(3)$ sont {\bf équivalentes} : on obtient l'équation $(3)$ en multipliant l'équation $(2)$ par \ldots.
\item Recopie le système à résoudre en remplaçant l'équation $(2)$ par l'équation $(3)$, puisqu'elles sont équivalentes.
$$\left\{\begin{tabular}{l}
$\ldots\ldots+\ldots\ldots=\ldots\ldots\kern3cm(1)$\\
$\ldots\ldots+\ldots\ldots=\ldots\ldots\kern3cm(3)$\\
\end{tabular}
\right.
$$
\item En utilisant le problème {\sc B}, quel est le prix d'un livre ?\par\dotfill\par\dotfill\par\dotfill
\par Cela revient à soustraire membre à membre les équations $(3)$ et $(1)$. Vérifie le.
$$\Eqalign{
(\ldots\ldots+\ldots\ldots)-(\ldots\ldots+\ldots\ldots)&=\ldots-\ldots\cr
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots&=\ldots\ldots\cr
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots&=\ldots\ldots\cr
&=\ldots\cr
}$$
\item En connaissant le prix d'un livre, calcule le prix d'un cahier.
\par\dotfill\par
\par\dotfill\par
\dotfill\par
\end{enumerate}
\par{\bf\large\underline{Conclusion}}
Le prix d'un cahier est \ldots\textgreek{\euro} et le prix d'un livre est \ldots\textgreek{\euro}.
\par{\bf\underline{\sc Problème D}}
$$\encadrecouleur{fond1}{
\underline{Donnée D$_1$} : Dans une papeterie, Jean achète 3 cahiers et 5 livres. Il paie 42\textgreek{\euro}.
\\\underline{Donnée D$_2$} : Dans la même papeterie, Luc achète 4 cahiers et 7 livres. Il paie 58\textgreek{\euro}.
}$$
Comment résoudre ce problème ?
