\subsection{Définition}
A l'aide de la figure ci-dessous, calcule la longueur $AF$.
$$\includegraphics{actiracines.1}$$
\subsection{Racines carrées et opérations}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Recopie et complète
$$\Eqalign{
\sqrt{16}&=\ldots\kern5mm&\sqrt9&=\ldots\kern5mm&\sqrt{16}+\sqrt9&=\ldots\ldots=\ldots\kern5mm&\sqrt{16+9}&=\ldots\ldots=\ldots\cr
\sqrt{36}&=\ldots&\sqrt{64}&=\ldots&\sqrt{36}+\sqrt{64}&=\ldots\ldots=\ldots&\sqrt{36+64}&=\ldots\ldots=\ldots\cr
}$$
\item Que remarque-t-on ?
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Recopie et complète
$$\Eqalign{
\sqrt4\times\sqrt9&=\ldots\ldots=\ldots\kern2cm&\sqrt{4\times9}&=\ldots\ldots=\ldots\cr
\sqrt4\times\sqrt{25}&=\ldots\ldots=\ldots&\sqrt{4\times25}&=\ldots\ldots=\ldots\cr
\sqrt{16\times4}&=\ldots\ldots=\ldots&\sqrt{16}\times\sqrt4&=\ldots\ldots=\ldots\cr
}$$
\item Que remarque-t-on ?
\item Il faut prouver cette remarque.\\Soit $a$ et $b$ deux nombres positifs. On a
$$\left.\begin{array}{ll}
\left(\sqrt a\times\sqrt b\right)^2&=\ldots\strut^2\times\ldots\strut^2=\ldots\ldots\\
\\
\sqrt{a\times b}^2&=\ldots\ldots\\
\end{array}
\right\}\ldots\ldots\ldots\ldots
$$
Donc
$$\Eqalign{
\left(\sqrt a\times\sqrt b\right)^2-\sqrt{a\times b}^2&=\ldots\cr
\left(\hbox to4cm{\dotfill}\right)\times\left(\hbox to4cm{\dotfill}\right)&=\ldots
}$$
D'où
$$\Eqalign{
\left(\sqrt a\times\sqrt b\right)\ldots\sqrt{a\times b}\kern1cm\mbox{ ou }\kern1cm\underbrace{\left(\sqrt a\times\sqrt b\right)\ldots-\sqrt{a\times b}}_{\ldots\ldots\ldots}\cr
}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{Racines carrées et produit : démonstration à base géométrique}
\subsubsection{Construction de la racine carrée d'un nombre positif}
\compo{1}{actiracinegeo}{1}{Considérons la figure ci-contre où $a$ est un nombre positif. $H$ est le point du segment $[AB]$ tel que $AH=1$ et $HB=a$. La perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par $H$ coupe le demi-cercle de diamètre $[AB]$ en $M$.
}
\begin{enumerate}
\item Applique le théorème de Pythagore au triangle $AHM$ rectangle en $H$.
\item Applique le théorème de Pythagore au triangle $BHM$ rectangle en $H$.
\item Explique pourquoi le triangle $AMB$ est rectangle en $M$ et prouve que
$$(a+1)^2=AM^2+BM^2$$
\item En utilisant les résultats des questions précédentes, montre que 
$$MH=\sqrt a$$
\end{enumerate}
\subsubsection{Construction de la racine carrée du produit de 2 nombres positifs}
\compo{2}{actiracinegeo}{1}{Considérons la figure ci-contre où $a$ et $b$ sont deux nombres positifs. $H$ est le point du segment $[AB]$ tel que $AH=b$ et $HB=a$. La perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par $H$ coupe le demi-cercle de diamètre $[AB]$ en $M$.
}
\begin{enumerate}
\item Applique le théorème de Pythagore au triangle $AHM$ rectangle en $H$.
\item Applique le théorème de Pythagore au triangle $BHM$ rectangle en $H$.
\item Explique pourquoi le triangle $AMB$ est rectangle en $M$ et prouve que
$$(a+b)^2=AM^2+BM^2$$
\item En utilisant les résultats des questions précédentes, montre que 
$$MH=\sqrt{a\times b}$$
\end{enumerate}
\subsubsection{Construction du produit de 2 racines carrées}
\compo{3}{actiracinegeo}{1}{Considérons la figure ci-contre où $a$ et $b$ sont deux nombres positifs. Les longueurs $AC$ et $DB$ sont obtenues par report de longueur.\\Le triangle $ADB$ est rectangle en $B$ et les droites $(EC)$ et $(DB)$ sont parallèles.
\\Démontre que 
$$EC=\sqrt a\times\sqrt b$$
}
\subsubsection{Démonstration}
\compo{4}{actiracinegeo}{1}{Considérons la figure ci-contre où $a$ et $b$ sont deux nombres positifs. La longueur $GN$ est obtenue par report de longueur.
}
\begin{enumerate}
\item Exprime $DE^2$, $DG^2$, $GE^2$ en fonction de $a$ et $b$.
\item Démontre que le triangle $DGE$ est rectangle en $G$.
\item Conclue que $GN=\sqrt{æ\times b}$.
\end{enumerate}

\subsection{L'équation \og{}$X^2=a$\fg{}}
\begin{enumerate}
\item Ecris les nombres suivants sous la forme d'un carré.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item 16
\item 49
\item 56,25
\item 8
\item 45
\item 72
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Factorise les expressions suivantes.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $x^2-16$
\item $x^2-49$
\item $x^2-56,25$
\item $x^2-8$
\item $x^2-45$
\item $x^2-72$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Résous les équations suivantes.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $x^2=16$
\item $x^2=49$
\item $x^2=56,25$
\item $x^2=8$
\item $x^2=45$
\item $x^2=72$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Combien y-a-t-il de solutions pour chacune de ces équations ?
\item Démontrons cette remarque dans le cas général.
\\Soit $a$ un nombre quelconque et cherchons à trouver les valeurs de $x$ telles que $x^2=a$.
\\Puisque $x^2$ est toujours positif, alors le cas où $a$ est un nombre négatif est impossible.
\\Si $a=0$ alors on doit résoudre $x^2=0$ et on a $x=0$.
\\Si $a$ est un nombre strictement positif alors
$$\Eqalign{
x^2&=a\cr
x^2-a&=0\cr
x^2-\sqrt a^2&=0\cr
\hbox to3cm{\dotfill}&=0\cr
}$$
Il y a donc, dans le cas où $a$ est un nombre \ldots\ldots\ldots, \ldots solutions qui sont \dotfill\par\dotfill
\end{enumerate}