\subsection{Sinus et tangente d'un angle aigu}
\begin{enumerate}
\item Détermine la valeur de l'angle $\widehat{BCA}$ à 1 degré près
  dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ tel que $AB=3\,cm$ et
  $BC=4\,cm$.
\item Sur la figure ci-dessous, les trois triangles rectangles ont
  leurs angles identiques.
$$\includegraphics{actitrigo.1}$$
\begin{enumerate}
\item Sur la figure ci-dessous, $\widehat{xOy}$ représente un angle
  dont la mesure, en degré, est $\alpha$. Reproduis, sur cette figure,
  les 3 triangles ${\cal T}_1$, ${\cal T}_2$ et ${\cal T}_3$.
$$\includegraphics{actitrigo.2}$$
\par On adopte les notations suivantes : on note ${\cal T}_1$ le triangle $OAD$ rectangle en $A$ ; ${\cal T}_2$ le triangle $OBE$ rectangle en $B$ ; ${\cal T}_3$ le triangle $OCF$ rectangle en $C$.
\item Pourquoi les droites $(DA)$, $(EB)$ et $(FC)$ sont-elles parallèles ?
\item
\begin{enumerate}
\item Que représente le triangle $ODA$ pour le triangle $OEB$ ? Donne
  la caractéristique de cette \og transformation \fg{}.
\item Compare les rapports $\dfrac{AD}{OD}$ et $\dfrac{BE}{OE}$ puis
  les rapports $\dfrac{AD}{AO}$ et $\dfrac{BE}{BO}$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Que représente le triangle $OFC$ pour le triangle $OEB$ ? Donne
  la caractéristique de cette \og transformation \fg{}.
\item Compare les rapports $\dfrac{CF}{OF}$ et $\dfrac{BE}{OE}$ puis
  les rapports $\dfrac{CF}{CO}$ et $\dfrac{BE}{BO}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
$$\encadrecouleur{fond1}{Les rapports $\dfrac{CF}{OF}$, $\dfrac{BE}{OE}$ et $\dfrac{AD}{OD}$ sont \ldots\ldots\ldots\ldots et ne dépendent pas des longueurs des triangles rectangles mais uniquement de l'angle $\alpha$ des triangles rectangles. Ces quotients définissent un nombre appelé \ldots\ldots\ldots de l'angle $\alpha$.
$$\ldots\ldots\,\alpha=\frac{\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots}{\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots}=\frac{CF}{OF}=\frac{BE}{OE}=\frac{AD}{OD}$$
}$$
$$\encadrecouleur{fond1}{Les rapports $\dfrac{CF}{CO}$, $\dfrac{BE}{BO}$ et $\dfrac{AD}{AO}$ sont \ldots\ldots\ldots\ldots et ne dépendent pas des longueurs des triangles rectangles mais uniquement de l'angle $\alpha$ des triangles rectangles. Ces quotients définissent un nombre appelé \ldots\ldots\ldots de l'angle $\alpha$.
$$\ldots\ldots\,\alpha=\frac{\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots}{\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots}=\frac{CF}{CO}=\frac{BE}{BO}=\frac{AD}{AO}$$
}$$
\subsection{Le quart de cercle trigonométrique}
\subsubsection{Définition}
On considère la figure ci-dessous qui représente un quart de cercle de rayon 1. On a construit l'angle $\widehat{IOx}$ de mesure $\alpha$ (en degrés) et on appelle $M$ l'autre point d'intersection de cet angle avec le quart de cercle.
$$\includegraphics{actitrigo.3}$$
\begin{enumerate}
\item Lis graphiquement les coordonnées du point $M$.
\item On appelle $H$ le point de l'axe des abscisses qui à la même abscisse que $M$ et $K$ le point de l'axe des ordonnées qui à la même ordonnée que $M$.
\begin{enumerate}
\item Complète la figure.
\item Calcule les longueurs $OH$ et $OK$.
\item Donne alors une valeur approchée de $\cos\alpha$ et $\sin\alpha$.
\end{enumerate}
\item Construis la tangente au cercle en $I$. Elle recoupe l'angle $\widehat{IOx}$ en $N$.
\begin{enumerate}
\item Calcule la longueur $IN$.
\item Donne alors une valeur approchée de $\tan\alpha$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsubsection{Liens entre le cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu}
\begin{enumerate}
\item Applique le théorème de Thalès aux triangles $OMH$ et $OIN$. Quelle formule obtient-on ?
\item Applique le théorème de Pythagore au triangle $OHM$. Quelle formule obtient-on ?
\end{enumerate}
\subsection{Théorème de l'angle inscrit}
\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
\includegraphics{actitrigo.4}&\includegraphics{actitrigo.5}&\includegraphics{actitrigo.6}\\
Figure 1&Figure 2&Figure 3\\
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Pour chacune des figures, que sont les angles $\widehat{AMB}$ et $\widehat{AOB}$ ?
\item Pour la {\bf figure 1},
\begin{enumerate}
\item Démontre que $2\times\widehat{OMA}=180-\widehat{AOM}$ et que $\widehat{AOB}=180-\widehat{AOM}$.
\item Déduis-en l'expression de $\widehat{AOB}$ en fonction de l'angle $\widehat{AMB}$.\label{qqq1}
\end{enumerate}
\item Pour les {\bf figures 2} et {\bf 3},
\begin{enumerate}
\item Reproduis les figures et complète-les en traçant le diamètre $[MN]$ du cercle $\cal C$.
\item En utilisant le résultat de la question \ref{qqq1}, exprime $\widehat{AON}$ en fonction de $\widehat{AMN}$ puis $\widehat{NOB}$ en fonction de $\widehat{NMB}$.
\item Exprime $\widehat{AOB}$ en fonction de $\widehat{AMB}$.
\end{enumerate}
\item Enonce la propriété ainsi démontrée.
\end{enumerate}