\subsection{Fonction linéaire}
\subsubsection{Définitions}
\underline{Exemple} : L'unité de longueur est le centimètre. Notons $x$ la longueur du côté d'un carré et $y$ le périmètre de ce carré.
\\\dispo{1}{\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$x$&1&0,8&3\\
\hline
$y$&4&3,2&12\\
\hline
\end{tabular}
}{On obtient un tableau de proportionnalité : le périmètre d'un carré est proportionnel à son côté et 4 est le coefficient de proportionnalité.
\\On peut écrire $y=4\times x$ ou $y=4x$.}
$$\encadrecouleur{fond2}{Soit $a$ un nombre quelconque \og{}fixe\fg{}.
\\\Si à chaque nombre $x$ on peut associer son produit par $a$ (c'est à dire $x\times x$) \alors on définit {\bf la fonction linéaire} de \underline{coefficient} $a$
$$\rnode{A}{x}\kern2cm\rnode{B}{ax}$$
On dit que $ax$ est l'image de $x$.
}$$
\ncarc[arcangle=-15,nodesepA=2pt,nodesepB=2pt]{->}{A}{B}
\naput{\footnotesize$\times a$}
\begin{leftbar}
\underline{Notation} La fonction linéaire de coefficient $a$ se note $x\mapsto ax$ et se lit \og{}à $x$, on associe $ax$\fg{}.
\\On peut également la noter par une lettre, $f$ par exemple. Alors l'image de $x$ par la fonction linéaire $f$ se note $f(x)$ et se lit \og{}$f$ de $x$\fg{}.
\end{leftbar}
\underline{Exemple}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] La fonction linéaire qui à $x$ associe le nombre $4x$ a pour coefficient 4. On écrit
$$f:x\mapsto4x\mbox{ ou }f(x)=4x$$
\item[$\bullet$]\Si $f$ est la fonction linéaire de coefficient $-2$ \alors l'image de $3$ est $-2\times3=-6$ et on note $f(3)=-6$.
\item[$\bullet$]\Si $g$ est la fonction linéaire de coefficient 5 \alors le nombre $x$ qui a pour image 15 est 3.
\end{itemize}
\underline{Remarque} : Une fonction linéaire représente une situation de proportionnalité.
\subsubsection{Représentation graphique d'une fonction linéaire}
$$\encadrecouleur{fond2}{Dans un repère, la représentation graphique d'une fonction linéaire de coefficient $a$ est une droite passant par l'origine du repère.}$$
%\compo{1}{coursaffine}
\dispo{1}{\begin{pspicture}(-3,-3)(4,3)
\psplot[plotpoints=2,linecolor=red]{-3}{4}{0.6 x mul}
\rput(0,0){\rnode{A}{\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){0.1}}}
\rput(3,1.8){\rnode{C}{\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){0.1}}}
\psgrid[griddots=5,subgriddots=5,gridlabels=0pt]
\psline{->}(0,-3)(0,3)
\psline{->}(-3,0)(4,0)
{\footnotesize
\rput(1,-0.2){1}
\rput(-0.2,1){1}
\rput(3,-0.2){3}
\rput(-0.25,1.8){1,8}
}
\pscircle*(1,0){0.05}
\pscircle*(0,1){0.05}
\pscircle*(0,1.8){0.05}
\pscircle*(3,0){0.05}
\psline{->}(0,1.8)(3,1.8)
\psline{->}(3,0)(3,1.8)
\end{pspicture}
}{\begin{leftbar}Représenter graphiquement la fonction linéaire $f$ de coefficient 0,6.
$$f:x\mapsto0,6x$$
\end{leftbar}
Comme $f$ est une fonction linéaire, sa représentation graphique est une droite qui passe par \rnode{B}{\psframebox{l'origine du repère}}.
$$\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$x$&0&3\\
\hline
$f(x)$&0&1,8\\
\hline
\end{tabular}
$$
On prend $x=3$ : son image est $f(3)=0,5\times3=1,8$. Je place \rnode{D}{\psframebox{le point de coordonnées $(3;1,8)$}}.
}
\ncline[linecolor=gray,linestyle=dashed,nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{->}{B}{A}
\ncline[linecolor=gray,linestyle=dashed,nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{->}{D}{C}
\par
$$\encadrecouleur{fond2}{Soit $(d)$ la droite qui représente graphiquement la fonction linéaire de coefficient $a$.
\\On dit alors que $a$ est {\bf le coefficient directeur} de la droite $(d)$ et que $y=ax$ est une {\bf équation de la droite $(d)$}.
}$$
\dispo{1}{\begin{pspicture}(-3,-3)(4,3)
\psplot[plotpoints=2,linecolor=red]{-1.5}{1.5}{-2 x mul}
\rput(0,0){\rnode{A}{\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){0.1}}}
\rput(1,-2){\rnode{C}{\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){0.1}}}
\psgrid[griddots=5,subgriddots=5,gridlabels=0pt]
\psline{->}(0,-3)(0,3)
\psline{->}(-3,0)(4,0)
{\footnotesize
\rput(1,-0.2){1}
\rput(-0.2,1){1}
\rput(-0.25,-2){$-2$}
}
\pscircle*(1,0){0.05}
\pscircle*(0,1){0.05}
\pscircle*(0,-2){0.05}
\psline{->}(0,-2)(1,-2)
\psline{->}(1,0)(1,-2)
\end{pspicture}
}{\begin{leftbar}Représenter graphiquement la fonction linéaire $g$ de coefficient $-2$.
$$f:x\mapsto-2x$$
\end{leftbar}
Comme $f$ est une fonction linéaire, sa représentation graphique est une droite qui passe par \rnode{B}{\psframebox{l'origine du repère}}.
$$\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$x$&0&1\\
\hline
$f(x)$&0&-2\\
\hline
\end{tabular}
$$
On prend $x=1$ : son image est $g(1)=-2\times1=-2$. Je place \rnode{D}{\psframebox{le point de coordonnées $(1;-2)$}}.
}
\ncline[linecolor=gray,linestyle=dashed,nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{->}{B}{A}
\ncline[linecolor=gray,linestyle=dashed,nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{->}{D}{C}
\subsubsection{Fonction linéaire et pourcentage}
$$\encadrecouleur{fond2}{Prendre $t\%$ d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par $\dfrac{t}{100}$.
\\Augmenter un nombre de $t\%$, c'est multiplier ce nombre par $1+\dfrac{t}{100}$.
\\Diminuer un nombre de $t\%$, c'est multiplier ce nombre par $1-\dfrac{t}{100}$.
}$$
\underline{Exemples} 15\% de $x$ : $x\times\dfrac{15}{100}$. On lui associe la fonction linéaire $x\mapsto0,15\times x$.
\\Diminuer $x$ de 12\% : $x\times\left(1-\dfrac{12}{100}\right)=x\times0,88$. On lui associe la fonction linéaire $x\mapsto0,88\times x$.
\\Augmenter $x$ de 3\% : $x\times\left(1+\dfrac3{100}\right)=x\times1,03$. On lui associe la fonction linéaire $x\mapsto1,03\times x$.
\subsection{Fonction affine}
\subsubsection{Définitions}
$$\encadrecouleur{fond2}{Soit $a$ et $b$ deux nombres quelconques \og{}fixes\fg{}.
\\Définir une fonction affine, c'est associer à chaque nombre $x$, le nombre $ax+b$.
\\On dit que $ax+b$ est l'image de $x$.
}$$
\begin{leftbar}
\Not La fonction affine qui à $x$ associe $ax+b$ se note $x\mapsto ax+b$ et se lit \og{}à $x$, on associe $ax+b$\fg{}.
\\ On peut également la noter par une lettre, $f$ par exemple. Dans ce cas, l'image de $x$ se note $f(x)$ et se lit \og{}$f$ de $x$\fg{}.
\end{leftbar}
\par\exe $f$ est la fonction affine qui à $x$ associe $2x-1$.
\par L'image de 3 est $2\times3-1=5$ et on note $f(3)=5$.
\par\cass: \underline{$b=0$} On obtient $f:x\mapsto ax$, c'est à dire une fonction linéaire.
\par\underline{$a=0$} On obtient $f:x\mapsto b$, c'est à dire une fonction {\bf constante}.
\begin{leftbar}
On dit que $x\mapsto ax$ est la fontion linéaire associée à la fonction affine $x\mapsto ax+b$.
\end{leftbar}
\subsubsection{Représentation graphique d'une fonction linéaire}
$$\encadrecouleur{fond2}{Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine $x\mapsto ax+b$ est la droite $(d)$ :
\begin{itemize}
\item qui passe par le point $B$ de coordonnées $(0;b)$;
\item qui est parallèle à la droite $(d')$ représentant la fonction linéaire associée.
\end{itemize}
}$$
\dispo{1}{\begin{pspicture}(-3,-4)(4,4)
\psplot[plotpoints=2,linecolor=red]{-3}{4}{-0.6 x mul -1 add}
\psplot[plotpoints=2,linecolor=red,linestyle=dashed]{-3}{4}{-0.6 x mul}
\rput(0,-1){\rnode{A}{\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){0.1}}}
\rput(3,-2.8){\rnode{C}{\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){0.1}}}
\psgrid[griddots=5,subgriddots=5,gridlabels=0pt]
\psline{->}(0,-4)(0,4)
\psline{->}(-3,0)(4,0)
{\footnotesize
\rput(1,+0.2){1}
\rput(-0.2,1){1}
\rput(-0.25,-2.8){$-2,8$}
\rput(3,0.2){3}
}
\pscircle*(1,0){0.05}
\pscircle*(0,1){0.05}
\pscircle*(0,-2.8){0.05}
\pscircle*(3,0){0.05}
\psline{->}(0,-2.8)(3,-2.8)
\psline{->}(3,0)(3,-2.8)
\end{pspicture}
}{\begin{leftbar}Représenter graphiquement la fonction affine $f$ définie par
$$f:x\mapsto-0,6x\rnode{E}{-1}$$
\end{leftbar}
Comme $f$ est une fonction affine, sa représentation graphique est une droite qui passe par \rnode{B}{\psframebox{l'ordonnée à l'origine (0,\rnode{F}{\pscirclebox{$-1$}})}}.
$$\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$x$&0&3\\
\hline
$f(x)$&$-1$&-2,8\\
\hline
\end{tabular}
$$
On prend $x=3$ :\\son image est $f(3)=-0,6\times3-1=-1,8-1=-2,8$. Je place \rnode{D}{\psframebox{le point de coordonnées $(3;-2,8)$}}.
}
\ncline[linecolor=gray,linestyle=dashed,nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{->}{B}{A}
\ncline[linecolor=gray,linestyle=dashed,nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{->}{D}{C}
\ncline[linecolor=gray,linestyle=dashed,nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{->}{E}{F}
$$\encadrecouleur{fond2}{On dit que $y=ax+b$ est une équation de la droite $(d)$ qui représente la fonction affine qui à $x$ associe $ax+b$. On dit également que :
\begin{itemize}
\item $b$ est l'ordonnée à l'origine,
\item $a$ est le coefficient directeur.
\end{itemize}
}$$
\dispo{1}{\begin{pspicture}(-3,-4)(4,4)
\psplot[plotpoints=2,linecolor=red]{-3}{2.84}{1.2 x mul 0.6 add}
\psplot[plotpoints=2,linecolor=red,linestyle=dashed]{-3}{3.33}{1.2 x mul}
\rput(0,0.6){\rnode{A}{\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){0.1}}}
\rput(2,3){\rnode{C}{\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](0,0){0.1}}}
\psgrid[griddots=5,subgriddots=5,gridlabels=0pt]
\psline{->}(0,-4)(0,4)
\psline{->}(-3,0)(4,0)
{\footnotesize
\rput(1,+0.2){1}
\rput(-0.2,1){1}
\rput(-0.2,3){3}
\rput(2,-0.2){2}
}
\pscircle*(1,0){0.05}
\pscircle*(0,1){0.05}
\pscircle*(0,3){0.05}
\pscircle*(2,0){0.05}
\psline{->}(0,3)(2,3)
\psline{->}(2,0)(2,3)
\end{pspicture}
}{\begin{leftbar}Représenter graphiquement la fonction affine $g$ définie par
$$g:x\mapsto1,2x\rnode{E}{+0,6}$$
\end{leftbar}
Comme $g$ est une fonction affine, sa représentation graphique est une droite qui passe par \rnode{B}{\psframebox{l'ordonnée à l'origine (0,\rnode{F}{\pscirclebox{+0,6}})}}.
$$\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$x$&0&2\\
\hline
$g(x)$&1&3\\
\hline
\end{tabular}
$$
On prend $x=2$ :\\son image est $g(2)=1,2\times2+0,6=2,4+0,6=3$. Je place \rnode{D}{\psframebox{le point de coordonnées $(2;3)$}}.
}
\ncline[linecolor=gray,linestyle=dashed,nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{->}{B}{A}
\ncline[linecolor=gray,linestyle=dashed,nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{->}{D}{C}
\ncline[linecolor=gray,linestyle=dashed,nodesepA=3pt,nodesepB=3pt]{->}{E}{F}
\subsubsection{Proportionnalité des accroissements}
$$\encadrecouleur{fond2}{\underline{\bf\sc Admis} Soit $f$ une fonction affine $x\mapsto ax+b$.
\par \Si $x$ varie (c'est à dire augmente ou diminue) d'un nombre $h$, \alors son image $f(x)$ varie de $ah$.
}$$
\par\underline{Application} Déterminer la fonction affine $f$ tel que $f(1)=4$ et $f(3)=8$.
\columnseprule0.4pt
\begin{multicols}{2}
\underline{1\iere méthode} Une application affine est de la forme $x\mapsto ax+b$.
$$\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$x$&1&3\\
\hline
$f(x)$&4&8\\
\hline
\end{tabular}$$
\par Donc
$$\Eqalign{
4&=2\times a\cr
a&=2\cr
}$$
\par D'où $f$ est de la forme $x\mapsto2x+b$.
\par Or $f(1)=2\times1+b$ et $f(1)=4$.
\par D'où
$$\Eqalign{
4&=2+b\cr
b&=2\cr
}$$
\par L'application affine cherchée est $x\mapsto2x+2$.
\vskip10cm
\par\underline{2\ieme méthode} Une application affine est de la forme $x\mapsto ax+b$. Donc
$$\left\{\begin{tabular}{l}
$4=a\times1+b$\\
$8=a\times3+b$\\
\end{tabular}
\right.
$$
$$\left\{\begin{tabular}{l}
$4=a+b$\\
$8=3a+b$\\
\end{tabular}
\right.
$$
$$\left\{\begin{tabular}{l}
$-4=-a-b$\\
$8=3a+b$\\
\end{tabular}
\right.
$$
$$\left\{\begin{tabular}{l}
$4=2a$\\
$8=3a+b$\\
\end{tabular}
\right.
$$
$$\left\{\begin{tabular}{l}
$a=2$\\
$8=6+b$\\
\end{tabular}
\right.
$$
$$\left\{\begin{tabular}{l}
$a=2$\\
$b=2$\\
\end{tabular}
\right.
$$
\par Donc la fonction $f$ est $x\mapsto2x+2$.
\end{multicols}
\columnseprule0pt
\subsection{Interprétation graphique d'un système de 2 équations du 1\ier{} degré à 2 inconnues}
\par\exe Résoudre graphiquement le système
$\left\{
\begin{tabular}{l}
$2x-y=1$\\
$-x-y=-2$\\
\end{tabular}
\right.
$
\par On obtient
$\left\{
\begin{tabular}{l}
$y=2x-1$\\
$y=-x+2$\\
\end{tabular}
\right.
$ et la solution est le couple de coordonnées du point d'intersection des deux droites ; c'est à dire dans ce cas le couple \rnode{D}{\underline{$(1;1)$}}.
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-3)(4,4)
%amélioré par Manuel Luque
\SpecialCoor
% on prend deux points de la droite 1
\pnode(!/a1 2 def /b1 -1 def /xA1 1  def /yA1 a1 xA1 mul b1 add def xA1 yA1){A1}
\pnode(!/xB1 2.5 def /yB1 a1 xB1 mul b1 add def xB1 yB1){B1}
\pcline[linecolor=red](A1)(B1)
\aput{:U}{\red$y=2x-1$}
\pnode(!/xA1 -1  def /yA1 a1 xA1 mul b1 add def xA1 yA1){A1}
\psline[linecolor=red](A1)(B1)
% on prend deux points de la droite 2
\pnode(!/a2 -1 def /b2 2 def /xA2 2 def  /yA2 xA2 a2 mul b2 add def xA2 yA2){A2}
\pnode(!/xB2  4 def  /yB2 xB2 a2 mul b2 add def xB2 yB2){B2}
\pcline[linecolor=blue](A2)(B2)
\aput{:U}{\blue$y=-x+2$}
\pnode(!/xA2 -2 def  /yA2 xA2 neg 2 add def xA2 yA2){A2}
\psline[linecolor=blue](A2)(B2)
\pnode(! /xinter b2 b1 sub a1 a2 sub div def
         /yinter a1 xinter mul b1 add def
         xinter yinter){C}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](C){0.1}
\psgrid[griddots=5,subgriddots=5,gridlabels=0pt]
\psline{->}(0,-3)(0,4)
\psline{->}(-3,0)(4,0)
\pscircle*(1,0){0.05}
\pscircle*(0,1){0.05}
\ncline[linecolor=gray,linestyle=dashed]{<->}{D}{C}
\end{pspicture}
\end{center}