\subsection{Vocabulaire}
\begin{leftbar}
La division euclidienne d'un nombre entier $a$ par un nombre entier $b$ non nul permet d'obtenir le couple $(q;r)$ de nombres entiers tels que
$$a=b\times q+r\qquad\mbox{avec }r<b$$
\end{leftbar}
\par\exe:$417=19\times21+18$
\begin{leftbar}
Dans la division euclidienne de $a$ par $b$ ($a$ et $b$ sont deux nombres entiers), \si le reste $r$ est nul \alors on dit que :
\begin{itemize}
        \item $a$ est un \underline{multiple} de $b$;
        \item $a$ est \underline{divisible} par $b$;
        \item $b$ est un \underline{diviseur} de $a$;
        \item $b$ \underline{divise} $a$.
\end{itemize}
\end{leftbar}
\par\exe: 325 est un multiple de 25 car $325=25\times13$ (325 est aussi un multiple de 13).\\399 est divisible par 19 car $399=19\times21$ (19 et 21 sont des diviseurs de 399).
\subsection{Diviseurs communs à deux nombres entiers}
$$\encadrecouleur{fond2}{Soit $a$ et $b$ deux nombres entiers non nuls. Un \underline{diviseur commun} à $a$ et $b$ est un nombre entier qui divise \underline{à la fois} $a$ et $b$.
}$$
\par\exe: 6 est un diviseur commun de 12 et 18 (car $12=6\times2$ et $18=6\times3$).\\11 est un diviseur commun de 99 et 132 (car $99=11\times9$ et $132=11\times12$).
$$\encadrecouleur{fond2}{Soit $a$ et $b$ deux nombres entiers strictement positifs.\\Parmi tous les diviseurs communs à $a$ et $b$, l'un deux est plus grand que tous les autres. On l'appelle le Plus Grand Commun Diviseur ou $\pgcd$. On le note $\pgcd(a;b)$.
}$$
\par\exe: Les diviseurs de 12 sont $1;\,2;\,3;\,4;\,6;\,12$. Les diviseurs de 8 sont $1;\,2;\,4$. Le plus grand des diviseurs communs est 4 donc $\pgcd(12;8)=4$.
$$\encadrecouleur{fond2}{Soit $a$ et $b$ deux entiers strictement positifs.
\\Lorsque $\pgcd(a;b)=1$, on dit que les nombres $a$ et $b$ sont \underline{premiers entre eux}.
}$$
\subsection{Calcul du PGCD}
$$\encadrecouleur{fond2}{\Si $a$ et $b$ sont deux nombres entiers strictement positifs tels que $a>b$ \alors $$\pgcd(a;b)=\pgcd(a-b;b)$$
}$$
Cette propriété permet de trouver le PGCD par \underline{\bf soustractions successives}
$$\left.\begin{tabular}{l}
$\pgcd(95;57)=\pgcd(38;57)$ car $98-57=38$\\
$\pgcd(57;38)=\pgcd(19;38)$ car $57-38=19$\\
$\pgcd(38;19)=\pgcd(19;19)=19$ car $57-38=19$\\
\end{tabular}
\right\}
\mbox{Donc }\pgcd(95;57)=19
$$
$$\encadrecouleur{fond2}{Soit $a$ et $b$ deux nombres entiers strictement positifs tels que $a>b$.\par\Si $r$ est le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ \alors $$\pgcd(a;b)=\pgcd(b;r)$$
}$$
Cette propriété permet de trouver le PGCD par \underline{\bf l'algorithme d'Euclide}
$$\begin{tabular}{cccl}
$a$&$b$&$r$&\\
\hline
1\,078&\rnode{A}{322}&\rnode{B}{112}&car $1\,078=3\times322+112$\\
\rnode{C}{322}&\rnode{D}{112}&\rnode{E}{98}&car $322=2\times112+98$\\
\rnode{F}{112}&\rnode{G}{98}&\rnode{H}{14}&car $112=1\times98+14$\\
\rnode{I}{98}&\rnode{J}{14}&0&car $98=7\times14+0$\\
\end{tabular}
$$
\par Le processus s'arrête car les restes deviennent de plus en plus petit.\\Le $\pgcd(a;b)$ est \rnode{K}{\psframebox{le dernier reste non nul}}. Donc $\pgcd(1\,078;322)=14$.
\ncline[nodesepA=1pt,nodesepB=1pt]{->}{A}{C}
\ncline[nodesepA=1pt,nodesepB=1pt]{->}{B}{D}
\ncline[nodesepA=1pt,nodesepB=1pt]{->}{D}{F}
\ncline[nodesepA=1pt,nodesepB=1pt]{->}{E}{G}
\ncline[nodesepA=1pt,nodesepB=1pt]{->}{G}{I}
\ncline[nodesepA=1pt,nodesepB=1pt]{->}{H}{J}
\ncline[nodesepA=1pt,nodesepB=1pt,linestyle=dashed]{->}{K}{H}
\subsection{Fractions irréductibles}
$$\encadrecouleur{fond2}{Soit $a$ et $b$ deux nombres entiers tels que $b\not=0$.\par Une fraction $\dfrac{a}{b}$ est dite \underline{irréductible} lorsque $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
}$$
\par\exe: La fraction $\dfrac23$ est irréductible car $\pgcd(2;3)=1$.
\par La fraction $\dfrac{322}{1\,078}$ n'est pas irréductible car $\pgcd(322;1\,078)=14$.
$$\frac{322}{1\,078}=\frac{23\times14}{77\times14}=\frac{23}{77}$$
\begin{leftbar}
Un nombre \underline{rationnel} peut s'écrire sous la forme d'une fraction
 $\left(\dfrac23;\,\dfrac15;\,\dfrac{17}9;\ldots\right)$.
\par Un nombre \underline{irrationnel} est un nombre qui n'est pas rationnel $\left(\pi;\,\sqrt2;\,\dfrac{1+\sqrt5}{2};\ldots\right)$.
\end{leftbar}
