\subsection{Equation}
Une \underline{\bf équation} est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, le plus souvent représenté par une lettre.
\par\underline{\bf Résoudre une équation}, c'est trouver toutes les valeurs possibles du nombre inconnu qui vérifient l'égalité : chacune de ces valeurs est appelée \underline{\bf une solution de l'équation}.
\par\exe:
\par
$$\Eqalign{
x+1&=-4\qquad\qquad\qquad&3x-6&=21\qquad\qquad\qquad&4x-5&=x+22\cr
x+1-1&=-4-1&3x-6+6&=21+6&4x-x-5&=x-x+22\cr
x&=-5&3x&=27&3x-5&=22\cr
&&x&=\frac{27}{3}=9&3x-5+5&=22+5\cr
&&&&3x&=27\cr
&&&&x&=\frac{27}{3}=9\cr
}$$
\subsection{Mise en équation d'un problème}
\begin{leftbar}
Chez Casto-Dépôt, si j'achète 3 pots de peintures et 4 paquets de parquet, je paie 98,50\textgreek{\euro}. Je sais que le prix d'un paquet de parquet est moins cher de 2,50\textgreek{\euro} qu'un pot de peinture.
\\Quel est le prix d'un pot de peinture ?
\end{leftbar}
\begin{description}
\item[Choix de l'inconnue] Soit $x$ le prix d'un pot de peinture.
\item[Mise en équation du problème]
Si un pot de peinture coûte $x$\textgreek{\euro} alors un paquet de parquet coûte $x-2,5$\textgreek{\euro}.
\\Si un pot de peinture coûte $x$\textgreek{\euro} alors 3 pots de peinture coûtent $3\times x$\textgreek{\euro}.
\\Si un paquet de parquet coûte $x-2,5$\textgreek{\euro} alors 4 paquets de parquets coûtent $4\times(x-2,5)$\textgreek{\euro}.
\\On obtient alors
$$\underbrace{3x}_{\mbox{\begin{minipage}{2cm}\tiny prix des pots de peinture.\end{minipage}}}+\underbrace{4(x-2,5)}_{\mbox{\begin{minipage}{2cm}\tiny prix des paquets de parquet.\end{minipage}}}=98,50$$
\item[Résolution de l'équation]
$$\Eqalign{
3x+4(x-2,5)&=98,5\cr
3x+4x-4\times2,5&=98,5\cr
3x+4x-10&=98,5\cr
7x-10&=98,5\cr
7x-10+10&=98,5+10\cr
7x&=108,5\cr
x&=\frac{108,5}7\cr
x&=15,5\cr
}$$
\item[Conclusion] Le prix d'un pot de peinture est 15,5\textgreek{\euro} (et le prix d'un paquet de parquet est 13\textgreek{\euro}).
\end{description}
\subsection{Inéquation}
\paragraph{Ordre et opérations}\subitem{}\par
\begin{leftbar}
Si on ajoute ou on soustrait le même nombre aux 2 membres de l'inégalité alors on garde le sens de l'inégalité.
\begin{center}
Si $a<b$ alors $a+c<b+c$\qquad Si $a\geqslant b$ alors $a-d\geqslant b-d$
\end{center}
\end{leftbar}
$$\encadrecouleur{fond2}{Si on multiplie ou on divise par un nombre \underline{\bf strictement positif} les 2 membres de l'inégalité alors on garde le sens de l'inégalité.
\begin{center} Si $a<b$ et $c>0$ alors $a\times c<b\times c$\end{center}
Si on multiplie ou on divise par un nombre \underline{\bf strictement négatif} les deux membres de l'inégalité alors on change le sens de l'inégalité.
\begin{center} Si $a<b$ et $d<0$ alors $a\times d>b\times d$\end{center}
}$$
\paragraph{Définitions}\subitem{}\par
Une \underline{\bf inéquation} est une inégalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, le plus souvent représenté par une lettre.
\par\underline{\bf Résoudre une inéquation}, c'est trouver toutes les valeurs possibles du nombre inconnu telles que l'inégalité soit vraie. Les valeurs trouvées sont appelées \underline{\bf les solutions de l'inéquation}.
\par\exe:
\par
\columnseprule0.4pt
\begin{multicols}{2}
Résoudre $2x+1\geqslant7$
\par
$\Eqalign{
2x+1&\geqslant7\rnode{A}{}\cr
2x+1-1&\geqslant7-1\rnode{B}{}\cr
2x&\geqslant6\rnode{C}{}\cr
x&\geqslant\frac62\rnode{D}{}\cr
x&\geqslant3\cr
}$
\ncbar{->}{A}{B}
\naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{125pt}\footnotesize
On soustrait 1 à chaque mem\-bre de l'inégalité.
\end{minipage}}}
\ncbar{->}{C}{D}
\naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{125pt}\footnotesize
On divise chaque membre de l'inégalité par un nombre positif 2.
\end{minipage}}}
$$\includegraphics[scale=0.75]{coursequations.1}$$
Résoudre $-3x-7>-4$
\par
$\Eqalign{
-3x-7&>-4\rnode{A}{}\cr
-3x-7+7&>-4+7\rnode{B}{}\cr
-3x&>3\rnode{C}{}\cr
x&<\frac{3}{-3}\rnode{D}{}\cr
x&<-1\cr
}$
\ncbar{->}{A}{B}
\naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{100pt}\footnotesize
On ajoute 7 à chaque mem\-bre de l'inégalité.
\end{minipage}}}
\ncbar{->}{C}{D}
\naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{125pt}\footnotesize
On divise chaque membre de l'inégalité par un nombre {\color{red}négatif} -3.
\end{minipage}}}
$$\includegraphics[scale=0.75]{coursequations.2}$$
\end{multicols}
\columnseprule0pt
\subsection{Mise en inéquation d'un problème}
\begin{leftbar}
Un club de football propose deux tarifs :
\begin{itemize}
\item {\bf Tarif 1} : 7\textgreek{\euro} par match
\item {\bf Tarif 2} : 35\textgreek{\euro} d'abonnement et 5\textgreek{\euro} par match.
\end{itemize}
\par A partir de combien de matches le tarif 2 est-il plus avantageux ?
\end{leftbar}
\begin{description}
\item[Choix de l'inconnue] Soit $x$ le nombre de matches auxquels on assiste.
\item[Mise en inéquation du problème] Avec le tarif 1, on paie $7x$. Avec le tarif 2, on paie $35+5x$.
\par Le tarif 2 est plus avantageux lorsque $35+5x<7x$.
\item[Résolution de l'inéquation]
$$\Eqalign{
35+5x&<7x\cr
35+5x-5x&<7x-5x\cr
35&<2x\cr
\frac{35}{2}&<x\cr
17,5&<x\cr
}$$
\item[Conclusion] On doit assister à 18 matches ou plus pour que le tarif 2 soit le plus avantageux.
\end{description}
\subsection{Systèmes de 2 équations du 1\ier{} degré à 2 inconnues}
$$\encadrecouleur{fond2}{{\bf Un système de 2 équations du 1\ier{} degré à 2 inconnues} est constitué de 2 équations à deux inconnues, indissociables l'une de l'autre.
$$\left\{\begin{array}{l}
2x+3y=25\\
\\
3x+2y=20\\
\end{array}
\right.$$
{\bf Résoudre un système de deux équations du 1\ier{} degré à deux inconnues}, c'est trouver toutes les valeurs des inconnues qui vérifient les deux équations {\bf\em à la fois} ; c'est-à-dire qui rendent vraies les deux égalités à la fois. Ces valeurs sont appelées {\bf couple solution du système}
}$$
\underline{Exemple :} $\left\{\begin{array}{l}2x+y=4\\x+y=3
\end{array}\right.$ est un système de deux équations du 1\ier{} degré à deux inconnues. Le couple (1 ; 2) est la solution du système car les égalités $2\times 1 + 2 = 4$ et $1 + 2 = 3$ sont vraies toutes les deux.
\subsubsection{Résolution d'un système de deux équations du 1\ier{} degré à 2 inconnues}
\paragraph{Méthode par substitution}
Par définition, la substitution est l'action de remplacer, de mettre l'un à la place de l'autre.
\begin{leftbar}
Résoudre le système
$\left\{
\begin{array}{l}
x+3y=10\\
3x+5y=18
\end{array}
\right.$
\end{leftbar}
 $\left\{\begin{array}{lr}
x+3y=10&\pnode{A}{}\\
3x+5y=18&
\end{array}
\right.$
\\\vspace{3mm}\\
$\left\{\begin{array}{lr}
x=\rnode{A1}{\psframebox[linestyle=dashed]{10-3y}}&\pnode{B}{}\\
3\rnode{B1}{\pscirclebox[linestyle=dashed]{x}}+5y=18&
\end{array}
\right.$
\\\vspace{3mm}\\\ncbar{->}{A}{B}
\naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{375pt}
\footnotesize Pour effectuer la substitution, il faut exprimer une des deux inconnues en fonction de l'autre. Ici, on a choisi d'exprimer $x$ en fonction de $y$ dans la 1\iere{} équation (le coefficient de $x$ y est le plus simple : 1)
\end{minipage}
}}
$\left\{\begin{array}{lr}
x=10-3y&\\
3\rnode{C1}{\psframebox[linestyle=dashed]{(10-3y)}}+5y=18&\pnode{C}{}
\end{array}
\right.$
\\\vspace{3mm}\\
\ncline[linecolor=gray]{->}{B1}{A1}
\ncline[linecolor=gray]{->}{B1}{C1}
\ncbar{->}{B}{C}
\naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{300pt}
\footnotesize On effectue la substitution : remplacer $x$, dans la 2\ieme{} équation, par son expression en fonction de $y$. On obtient alors une équation du 1\ier{} degré à une inconnue.
\end{minipage}
}}
$\left\{\begin{array}{lr}
x=10-3y&\\
30-9y+5y=18&\pnode{D}{\psshadowbox{\mbox{\footnotesize On résoud l'équation pour obtenir la valeur de }y}}
\end{array}
\right.$
\\\vspace{3mm}\\
$\left\{\begin{array}{lr}
x=10-3y&\\
30-4y=18&
\end{array}
\right.$
\\\vspace{3mm}\\
$\left\{\begin{array}{lr}
x=10-3y&\\
-4y=18-30&
\end{array}
\right.$
\\\vspace{3mm}\\
$\left\{\begin{array}{lr}
x=10-3y&\\
-4y=12&
\end{array}
\right.$
\\\vspace{3mm}\\
$\left\{\begin{array}{lr}
x=10-3y&\\
y=-3&\pnode{E}{}
\end{array}
\right.$
\\\vspace{3mm}\\
$\left\{\begin{array}{lr}
x=10-3\times(-3)&\pnode{F}{}\\
y=-3&
\end{array}
\right.$
\\\vspace{3mm}\\\ncbar{->}{E}{F}
\naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{300pt}
\footnotesize Une fois la valeur d'une des deux inconnues obtenue, il ne reste qu'à remplacer cette inconnue par sa valeur dans la seule équation faisant encore intervenir les deux inconnues.
\end{minipage}
}}
$\left\{\begin{array}{lr}
x=10+9&\\
y=-3&
\end{array}
\right.$
\\\vspace{3mm}\\
$\left\{\begin{array}{lr}
x=19&\\
y=-3&
\end{array}
\right.$
\\La solution du système est le couple $(19;-3)$.
\paragraph{Méthode d'élimination par combinaison}
La combinaison est l'action de grouper, d'unir plusieurs objets pour en former un nouveau.
\par
\begin{leftbar}
Résoudre le système
$\left\{
\begin{array}{l}
2x+3y=15\\
3x+5y=18
\end{array}
\right.$
\end{leftbar}
$\begin{array}{l}
{\footnotesize\times3}\\
{\footnotesize\times2}\\
\end{array}
\left\{
\begin{array}{l}
2x+3y=15\\
3x+5y=18
\end{array}
\right.\pnode{A}{}$
\\\vspace{3mm}\\
$\left\{
\begin{array}{l}
6x+9y=45\\
6x+10y=36
\end{array}
\right.\pnode{B}{}$
\\\vspace{3mm}\\
\ncbar{->}{A}{B}
\naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{360pt}
\footnotesize Pour combiner les deux équations, il faut qu'une des deux inconnues aient le même coefficient dans les deux équations. C'est ce que l'on fait ici avec l'inconnue $x$.% Attention à bien multiplier les deux membres de chacune des équations.
\end{minipage}
}}
$\left\{
\begin{array}{ll}
6x+9y=45&\\
6x+10y-(6x+9y)=36-45&\pnode{C}{}
\end{array}
\right.$
\\\vspace{3mm}\\
\ncbar{->}{B}{C}
\naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{280pt}
\footnotesize On effectue la combinaison : on soustrait membre à membre les deux équations : ici, \og{}la 2\ieme{} moins la 1\iere{}\fg{}.
\end{minipage}
}}
$\left\{
\begin{array}{l}
6x+9y=45\\
6x+10y-6x-9y=-9
\end{array}
\right.$
\\\vspace{3mm}\\
$\left\{
\begin{array}{ll}
6x+9y=45&\\
y=-9&\pnode{D}{}
\end{array}
\right.$
\\\vspace{3mm}\\
$\left\{
\begin{array}{ll}
6x+9\times(-9)=45&\pnode{E}{}\\
y=-9&
\end{array}
\right.$
\\\vspace{3mm}\\
\ncbar{->}{D}{E}
\naput{\psshadowbox{\begin{minipage}{300pt}
\footnotesize Une fois la valeur d'une des deux inconnues obtenue, il ne reste qu'à remplacer cette inconnue par sa valeur dans la seule équation faisant encore intervenir les deux inconnues.
\end{minipage}
}}
$\left\{
\begin{array}{l}
6x-81=45\\
y=-9
\end{array}
\right.$
\\\vspace{3mm}\\
$\left\{
\begin{array}{l}
6x=45+81\\
y=-9
\end{array}
\right.$
\\\vspace{3mm}\\
$\left\{
\begin{array}{l}
6x=126\\
y=-9
\end{array}
\right.$
%\\\vspace{3mm}\\
%$\left\{
%\begin{array}{l}
%x=21\\
%y=-9
%\end{array}
%\right.$
\\La solution du système est le couple $(21;-9)$.