\subsection{Rappels}
\begin{leftbar}
\underline{\bf Développer} une expression, c'est transformer les produits en sommes.
\par\underline{\bf Simple distributivité} Soit $a,b,k$ trois nombres quelconques. alors
$$k\times(a+b)=k\times a+k\times b$$
\par\underline{\bf Double distributivité} Soit $a,b,c,d$ 4 nombres quelconques. Alors
$$(a+b)\times(c+d)=a\times c+a\times d +b\times c+ b\times d$$
\end{leftbar}
\subsection{Egalités remarquables}
$$\encadrecouleur{fond2}{
\vspace{2mm}\par\underline{\bf Carré d'une somme de deux termes}
$$(a+b)^2=\underbrace{a^2}_{\begin{tabular}{c}
carré du\\
1\ier terme
\end{tabular}}+\underbrace{2\times a\times b}_{\mbox{double produit}}+\underbrace{b^2}_{\begin{tabular}{c}
carré du\\
2\ieme terme
\end{tabular}}$$
\par\underline{\bf Carré d'une différence de deux termes}
$$(a+b)^2=\underbrace{a^2}_{\begin{tabular}{c}
carré du\\
1\ier terme
\end{tabular}}-\underbrace{2\times a\times b}_{\mbox{double produit}}+\underbrace{b^2}_{\begin{tabular}{c}
carré du\\
2\ieme terme
\end{tabular}}$$
\par\underline{\bf Produit de la somme de deux termes par leur différence}
$$(a+b)(a-b)=\underbrace{a^2}_{\begin{tabular}{c}
carré du\\
1\ier terme
\end{tabular}}-\underbrace{b^2}_{\begin{tabular}{c}
carré du\\
2\ieme terme
\end{tabular}}$$
}$$
Ces égalités sont vraies quelles que soient les valeurs de $a$ et de $b$.
\paragraph{Exemples}\subitem{}\par
$(x+1)^2=x^2+2\times x\times1+1^2=x^2+2x+1$
\par$(2x-3)^2=(2x)^2-2\times 2x\times3+3^2=4x^2-12x+9$
\par$(x+2)(x-2)=x^2-2^2=x^2-4$
\paragraph{Application : Calcul mental}\subitem{}\par
$99^2=(100-1)^2=100^2-2\times100\times1+1^2=10000-200+1=9801$
\par$51^2=(50+1)^2=50^2+2\times50\times1+1=2500+100+1=2601$
\par$37\times43=(40-3)\times(40+3)=40^2-3^2=1600-9=1591$
\subsection{La factorisation}
\begin{leftbar}
{\bf Factoriser}, c'est transformer une somme (ou une différence) en produit.
\par\underline{Exemple} : $7(x+5)$ est une expression factorisée alors que
 $x+4$ ou $5x(2x+8)+4$ ne sont pas des expressions factorisées.
\end{leftbar}
\subsection{Techniques de factorisation}
\paragraph{Avec un facteur commun}\subitem{}\par
$$\encadrecouleur{fond2}{
Soit $a,b,k$ 3 expressions quelconques. Alors
$$\Eqalign{
k\times a+k\times b&=k\times(a+b)\cr
k\times a-k\times b&=k\times(a-b)\cr
}$$
}$$
\underline{Exemples} : Factoriser
$$\Eqalign{
A&=\underline{(x+2)}(2x-1)+\underline{(x+2)}x\qquad&B&=(4x+3)\underline{(x-1)}-(4x-2)\underline{(x-1)}\cr
A&=(x+2)\times(2x-1+x)&B&=(x-1)(4x+3-(4x-2))\cr
A&=(x+2)\times(3x-1)&B&=(x-1)(4x+3-4x+2)\cr
&&B&=(x-1)\times5=5(x-1)\cr
}$$
\paragraph{Avec une égalité remarquable}\subitem{}\par
$$\encadrecouleur{fond2}{
Soit $a,b$ deux expresions quelconques. Alors
$$\Eqalign{
a^2+2\times a\times b+b^2&=(a+b)^2\cr
\cr
a^2-2\times a\times b+b^2&=(a-b)^2\cr
\cr
a^2-b^2&=(a+b)\times(a-b)\cr
}$$
}$$
\underline{Exemples} : Factoriser
$$\Eqalign{
A&=x^2+16x+64\qquad&B&=4x^2-4x+1\qquad&C&=x^2-25\cr
A&=x^2+2\times x\times8+8^2&B&=(2x)^2-2\times2x\times1+1^2&C&=x^2-5^2\cr
A&=(x+8)^2&B&=(2x-1)^2&C&=(x+5)(x-5)\cr
}$$
\subsection{Equation-Produit}
$$\encadrecouleur{fond2}{
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Dans un produit, si l'un {\bf au moins} des facteurs est nul alors le produit est nul.
\centerline{\Si $a=0$ ou $b=0$ \alors $a\times b=0$}
\item[$\bullet$] Si un produit est nul alors l'un {\bf au moins} de ses facteurs est nul.
\par\centerline{\Si $a\times b=0$ \alors $a=0$ ou $b=0$}
\end{itemize}
}$$
\underline{Exemple} : Résoudre l'équation $(3x+7)(-8x-4)=0$
$$\Eqalign{
\mbox{C'est une équation-produit alors}&&3x-7&=0\qquad\mbox{ou}\qquad&-8x-4&=0\cr
&&3x&=7\qquad\mbox{ou}\qquad&-8x&=4\cr
&&x&=\frac73\qquad\mbox{ou}\qquad&x&=\frac4-8=-\frac12\cr
}$$
\par Les solutions de l'équation $(3x-7)(-8x-4)=0$ sont $\dfrac73$ et $-\dfrac12$