\subsection{Coordonnées d'un point}
\begin{leftbar}
Deux axes gradués de même origine et perpendiculaires définissent {\em un repère orthogonal}.
\\De plus, si les axes possèdent la même unité de longueur alors le repère est dit {\em orthonormé}.
\end{leftbar}
$$\includegraphics{coursreperes.1}$$
Dans l'exemple ci-dessus, on dira que les coordonnées du point $M$ sont $(x_M,y_M)$, que celles du point $A$ sont $(3;5)$ et que celles du point $B$ sont $(1;-3)$.
$$\encadrecouleur{fond2}{Dans un repère quelconque, soit $A$ et $B$ deux points de coordonnées respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$. Alors les coordonnées du point $K$, milieu du segment $[AB]$ sont
$$\Eqalign{
x_K&=\frac{x_A+x_B}{2}\kern1cm&y_K&=\frac{y_A+y_B}{2}\cr
}$$
}$$
\paragraph{Exemple} Sur la figure ci-dessus, le milieu $K$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées
$$\Eqalign{
x_K&=\frac{x_A+x_B}{2}\kern1cm&y_K&=\frac{y_A+y_B}{2}\cr
x_K&=\frac{3+1}{2}&y_K&=\frac{5+(-3)}{2}\cr
x_K&=\frac{4}{2}&y_K&=\frac{2}{2}\cr
x_K&=2&y_K&=1\cr
}$$
\subsection{Coordonnées d'un vecteur}
$$\encadrecouleur{fond2}{Dans un repère quelconque, soit $E$ et $F$ deux points de coordonnées respectives $(x_E;y_E)$ et $(x_F;y_F)$. Alors les coordonnées du vecteur $\vecteur{EF}$ sont
$$(x_F-x_E\,;\,y_F-y_E)$$
}$$
$$\includegraphics{coursreperes.2}$$
\par{\bf Exemples}\par
\par Sur la figure ci-dessus, on a
$$\Eqalign{
\vecteur{AB}&(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)\kern1cm&\vecteur{DC}&(x_C-x_D\,;\,y_C-y_D)\cr
\vecteur{AB}&(-3-0\,;\,-2-2)\kern1cm&\vecteur{DC}&(-5-4\,;\,0-(-1))\cr
\vecteur{AB}&(-3\,;\,-4)\kern1cm&\vecteur{DC}&(-9\,;\,1)\cr
}$$
\paragraph{Vérification graphique} Le déplacement rectiligne de $A$ à $B$ correspond graphiquement à un déplacement horizontal de 3 unités dans le sens négatif suivi d'un déplacement vertical de 4 unités dans le sens négatif.
\begin{leftbar}
Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées.
\end{leftbar}
\subsection{Distance dans un repère orthonormé}
$$\encadrecouleur{fond2}{Dans {\bf un repère orthonormé}, soit $E$ et $F$ deux points de coordonnées respectives $(x_E;y_E)$ et $(x_F;y_F)$. Alors, on a
$$EF^2=(x_F-x_E)^2+(y_F-y_E)^2\quad\mbox{ et }\quad EF=\sqrt{(x_F-x_E)^2+(y_F-y_E)^2}$$
}$$
$$\includegraphics{coursreperes.3}$$
\paragraph{Exemples} Sur la figure ci-dessus, le repère est orthonormé : on a donc
$$\Eqalign{
AB^2&=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2\kern5mm&CD^2&=(x_D-x_C)^2+(y_D-y_C)^2\cr
AB^2&=(-3-1)^2+(-1-2)^2&CD^2&=(3-(-5))^2+(-1-4)^2\cr
AB^2&=(-4)^2+(-3)^2&CD^2&=(3+5)^2+(-5)^2\cr
AB^2&=16+9&CD^2&=64+25\cr
AB^2&=25&CD^2&=89\cr
AB&=5&CD&=\sqrt{89}\cr
}$$
\paragraph{Remarques} Les réponses sont données dans l'unité de longueur commune aux deux axes.
