\subsection{Caractéristiques de position d'une série statistique}
\subsubsection{Moyenne d'une série statistique}
\begin{itemize}
\item[\textbullet] Série représentée en liste\par Une classe de 5\ieme{} a fait un contrôle de mathématiques.  Voici la liste des notes obtenues :
8, 11, 5, 12, 2, 17, 7, 8, 19, 2, 10, 4, 7, 7, 11, 14, 7, 8, 12, 5, 10, 8, 5, 10, 11, 8, 12, 10, 14, 12.\\
Si l'on veut calculer la moyenne de ce contrôle, on additionne les notes et on divise par le nombre de notes :
$$\frac{8+11+5+\ldots+10+14+12}{30}=\frac{276}{30}=9,2$$
\item[\textbullet] Série regroupée par valeurs dans un tableau\par
On peut aussi regrouper ces nombres dans le tableau suivant selon les valeurs des notes obtenues :\\
\begin{center}\begin{tabular}{|m{2.5cm}|*{11}{c|}}\hline
{\bf Notes}&2&4&5&7&8&10&11&12&14&17&19\\\hline{\bf Effectif}&2&1&3&4&5&4&3&4&2&1&1\\\hline
\end{tabular}\end{center}~\\
La moyenne est alors {\bf une moyenne pondérée} par les effectifs ; on la calcule en multipliant chaque valeur par l'effectif correspondant, 
en faisant la somme de ces produits et en divisant par l'effectif total, soit :
$$\frac{2\times2+4\times1+5\times3+\ldots+14\times2+17\times1+19\times1}{30}=\frac{276}{30}=9,2$$
\item[\textbullet] Série regroupée par classe dans un tableau\par
On peut enfin regrouper ces nombres en classes dans le tableau suivant :\\
\begin{center}\begin{tabular}{|m{4cm}|*{5}{c|}}\hline
{\bf Notes}&$0\leqslant n<5$&$5\leqslant n<10$&$10\leqslant n<15$&$15\leqslant n\leqslant20$&{\sc Total}\\\hline{\bf centre de la classe}&2,5&7,5&12,5&17,5&~\\\hline
{\bf Effectif}&3&12&13&2&30\\\hline\end{tabular}\end{center}~\\
On considère alors que le centre de chaque classe représente la classe donc la moyenne de la série ainsi regroupée en classesest égale à :
$$\frac{2,5\times3+7,5\times12+12,5\times13+17,5\times2}{30}=\frac{295}{30}\approx9,83$$
\end{itemize}

{\bf Remarques :}
\begin{itemize}
\item La moyenne et la moyenne pondérée par les effcetifs sont égales.
\item Le regroupement en classes permet des calculs plus rapides mais ne permet pas d'obtenir la valeur exacte de la moyenne.
\end{itemize}
\subsubsection{Médiane d'une série statistique}
$$\encadrecouleur{fond2}{La {\bf médiane} $\cal M$ d'une série statistique est la valeur qui partage le groupe étudié en deux sous-groupes de même effectif chacun tels que :
\begin{itemize}
\item tous les éléments du premier groupe on des valeurs inférieures  ou égales à $\cal M$ ;
\item tous les éléments du deuxième groupe ont des valeurs supérieures ou égales à $\cal M$.
\end{itemize}
}$$
\newpage
{\bf Application:}
\begin{itemize}
\item[\textbullet] {\bf Détermination de la médiane d'une série statistique}
\begin{itemize}
\item {\bf A partir d'un tableau d'effectifs cumulés ou de fréquences cumulées}\\
{\em Exemple : }\\
Sur une population de 75 feuilles de platane, on étudie la longueur en $mm$ de la grande nervure. On obtient le tableau  statistique suivant :\\
\begin{center}\begin{tabular}{|m{4.5cm}|*{9}{c|}}
\hline Longueurs&102&112&122&132&142&152&162&172&182\\\hline 
Effectif&1&6&6&10&13&19&10&8&2\\\hline
Effectif cumulé croissant&1&7&13&23&36&\colorbox{gray}{55}&65&73&75\\\hline
\end{tabular}\end{center}~\\
Les feuilles étant rangées par longueurs croissantes, la case grisée indique que de la 37\ieme{} à la 55\ieme{}, les feuilles ont pour longueur $152\,mm$.\\
Or $75=37+1+37$ donc la médiane est la longueur de la 38\ieme{} feuille c'est-à-dire $152\,mm$.\\
$$\begin{array}{l*{9}{c}}\mbox{Rang :}&1^{re}&2^{e}&\ldots&36^{e}&37^{e}&38^{e}&39^{e}&\ldots&75^{e}\\
\mbox{Longueur :}&102&112&\ldots&142&152&\textcolor{red}{152}&152&\ldots&182\\&
 \multicolumn{5}{c}{\overset{\underbrace{\quad\qquad\qquad\qquad\quad}_{{\mbox{37 feuilles}}}}{~}}&~&\multicolumn{3}{c}{\overset{\underbrace{\qquad\qquad\quad}_{\mbox{37 feuilles}}}{~}} \end{array}$$ 
D'autre part, la longueur moyenne de ces feuilles est de : 
{\small
$$\Eqalign{
m&=\frac{102\times1+112\times6+122\times6+132\times10+142\times13+152\times19+162\times10+172\times8+182\times2}{75}\cr
m&=\frac{10920}{75}\cr
m&=145,6\,mm
}$$
}
donc la médiane et la moyenne sont (en général) {\bf différentes}.
\item {\bf A partir d'une représentation graphique}\\
Une valeur approchée de la médiane peut être obtenue à l'aide de la courbe polygonale des effectifs cumulés croissants (ou des fréquences cumulées croissantes)
en lisant la valeur correspondant à la moitié de l'effectif total (ou à une fréquence cumulée égale à 50\%). A la question "Quelle quantité d'eau buvez-vous par jour ?", les 50 personnes interrogées ont donné des réponses qui ont permis de tracer le polygone des effectifs cumulés croissants suivant :
\begin{center}\scalebox{0.8}{\begin{pspicture}(0,0)(13,11.5)
\psline{->}(0,0)(13.5,0)
\multido{\n=2+2}{5}{\psline(-0.08,\n)(0.08,\n)}
\multido{\n=2+2}{6}{\psline(\n,-0.08)(\n,0.08)}
\psline{->}(0,0)(0,10.5)\psline[linecolor=red](0,0)(2,2.4)(4,6.6)(6,8.4)(8,9.6)(12,10)
\psdots[dotscale=1.5,dotstyle=x](2,2.4)(4,6.6)(6,8.4)(8,9.6)(12,10)
\uput{0.2}[270](2,0){0,5}\uput{0.2}[270](3.2,0){\textcolor{red}{0,8}}
\uput{0.2}[270](4,0){1}\uput{0.2}[270](6,0){1,5}\uput{0.2}[0](9,6){\parbox{5cm}{{\em La courbe polygonale des effectifs cumulés croissants est obtenue en joignant par des segments les points dont l'abscisse est une valeur de la série et dont l'ordonnée est l'effectif cumulé croissant correspondant à cette valeur.}}}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,2.4)(0,2.4)\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](3.2,0)(3.2,5)(0,5)
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,6.6)(0,6.6)\psline[linestyle=dashed](6,0)(6,8.4)(0,8.4)
\psline[linestyle=dashed](8,0)(8,9.6)(0,9.6)\psline[linestyle=dashed](12,0)(12,10)(0,10)
\uput{0.2}[270](8,0){2}\uput{0.2}[270](10,0){2,5}\uput{0.2}[270](12,0){3}
\uput{0.2}[180](0,2.4){12}\uput{0.2}[180](0,5){\textcolor{red}{25}} \uput{0.2}[180](0,10){50}\uput{0.2}[180](0,6.6){33}
\uput{0.2}[180](0,8.4){42}\uput{0.2}[180](0,9.6){48}
%\uput{0.2}[270](11,0){16}\uput{0.2}[270](12,0){17}
\uput{0.2}[0](0,10.5){{\textit{Effectif cumulé}}}\uput{0.2}[90](13,0){{\textit{Quantité d'eau (en $l$)}}}
\end{pspicture}}\end{center}~\\
$\cal M$ est environ égal à $0,8\,l$ : en effet, la moitié des personnes interrogées consomme moins de $0,8\,l$ par jour (ou la moitié des personnes interrogées consomme plus de $0,8\,l$ par jour).
\end{itemize}\end{itemize}

\subsection{Une caractéristique de dispersion : l'étendue}
$$\encadrecouleur{fond2}{{\bf L'étendue} d'une série statistique est égale à la différence entre la plus grande et la plus petite valeur prises par cette série. Elle mesure la \og{}dispersion\fg{} de cette série.
}$$
{\bf Les critères de dispersion} indiquent de quelle façon les valeurs du caractère sont groupées (plus ou moins resserrées) autour des valeurs \og{}centrales\fg{} : l'étendue est le plus simple de ces paramètres. En général, lorsque l'étendue est élevée, la dispersion est grande.\\
{\bf Exemple : } pour la série avec les platanes, l'étendue est de $182-102=80$ mm.
