\columnseprule0.4pt
\subsection{Enoncé du théorème}
$$\encadrecouleur{fond2}{Soit $(d)$ et $(d')$ deux droites sécantes en $A$.
\\$B$ et $M$ sont 2 points de la droite $(d)$, distincts de $A$.
\\$C$ et $N$ sont 2 points de la droite $(d')$, distincts de $A$.
\\\Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles \alors
$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}\qquad\frac{\mbox{côtés du triangle }AMN}{\mbox{côtés correspondants du triangle }ABC}$$
}$$
\par\centerline{\underline{Configurations de Thalès}}
$$\includegraphics[scale=0.9]{coursthales.1}$$
\par\exe
\par\compo{2}{coursthales}{1}{{\begin{leftbar}\em Les droites $(CJ)$ et $(BI)$ se coupent en $A$. Les droites $(BC)$ et $(IJ)$ sont parallèles. Calculer les longueurs $AC$ et $IJ$.\end{leftbar}}
\par Dans le triangle $ABC$, $I$ est un point de la droite $(AB)$ et $J$ est un point de la droite $(AC)$ tels que la droite $(IJ)$ soit parallèles à la droite $(BC)$. Donc, d'après le théorème de Thalès, on a
$$\frac{AI}{AB}=\frac{AJ}{AC}=\frac{IJ}{BC}\qquad\mbox{c'est à dire}\qquad\frac{6}{5}=\frac{9}{AC}=\frac{IJ}{3}$$
}
\begin{multicols}{2}
On utilise
$$\Eqalign{
\frac{6}{5}&=\frac{9}{AC}\cr
6\times AC&=9\times5\cr
AC&=\frac{9\times5}{6}=7,5\,cm\cr
}$$
On utilise
$$\Eqalign{
\frac{6}{5}&=\frac{IJ}{3}\cr
5\times IJ&=6\times3\cr
IJ&=\frac{6\times3}{5}=3,6\,cm\cr
}$$
\end{multicols}
\subsection{La réciproque du théorème de Thalès}
$$\encadrecouleur{fond2}{Soit $(d)$ et $(d')$ deux droites sécantes en $A$.
\\$B$ et $M$ sont 2 points de la droite $(d)$, distincts de $A$.
\\$C$ et $N$ sont 2 points de la droite $(d')$, distincts de $A$.
\\\Si $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$ \underline{et} les points $A,M,B$ sont alignés dans le même ordre que les points $A,N,C$
\alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.}$$
\par\exe\par\begin{multicols}{2}
$$\includegraphics{coursthales.3}$$
\begin{leftbar}
{\em Est-ce que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles ? Justifier.}
\end{leftbar}
\par Dans le triangle $ABC$, $M$ est un point de la droite $(AB)$ et $N$ un point de la droite $(AC)$.
$$\left.\begin{tabular}{l}
$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{5,4}9=0,6$\\
\\
$\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{7,5}{12,5}=0,6$\\
\end{tabular}
\right\}\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$$
\par De plus, les points, $A,M,B$ sont alignés dans le même ordre que les points $A,N,C$. Donc
 les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès.
\vskip8cm
$$\includegraphics{coursthales.4}$$
\begin{leftbar}
{\em Est-ce que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles ? Justifier}
\end{leftbar}
\par Dans le triangle $ABC$, $M$ est un point de la droite $(AB)$ et $N$ un point de la droite $(AC)$.
$$\left.\begin{tabular}{l}
$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{11,9}{35}=0,34$\\
\\
$\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{18,2}{52}=0,35$\\
\end{tabular}
\right\}\frac{AM}{AB}\not=\frac{AN}{AC}$$
\par Donc les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.
\end{multicols}
\columnseprule0pt