\subsection{Définition}
\begin{leftbar}
La translation qui transforme $A$ en $B$ s'appelle la translation de vecteur $\vecteur{\strut AB}$.
$$\includegraphics{coursvecteurs.1}$$
\par Si $B$, $D$, $F$, $H$ sont les images respectives de $A$, $C$, $E$ et $G$ par la translation de vecteur $\vecteur{\strut AB}$ alors $$\vecteur{\strut AB}=\vecteur{\strut CD}=\vecteur{\strut EF}=\vecteur{\strut GH}=\vecteur{\strut u}$$
\par On dit que $\vecteur{\strut AB}$, $\vecteur{\strut CD}$,\ldots sont des {\em représentants} du vecteur $\vecteur{\strut u}$.
\end{leftbar}
$$\encadrecouleur{fond2}{\Si $ERTY$ est un parallélogramme \alors $\vecteur{ER}=\vecteur{YT}$ et $\vecteur{EY}=\vecteur{RT}$.
}$$
$$\encadrecouleur{fond2}{\Si $\vecteur{CV}=\vecteur{LM}$ \alors le quadrilatère $CVML$ est un parallélogramme.
}$$
$$\includegraphics{coursvecteurs.2}$$
\paragraph{Remarque} A l'aide de cette propriété, on peut démontrer que deux segments ont le même milieu (diagonales d'un parallélogramme), que deux segments ont la même longueur (côtés opposés d'un parallélogramme),\ldots
\paragraph{Exemple d'utlisation de ces propriétés}{\em Soit $EFGH$ et $GHIJ$ deux parallélogrammes. Démontre que $EFJI$ est un parallélogramme.}
\par\compo{3}{coursvecteurs}{1}{Comme $EFGH$ est un parallélogramme alors $\vecteur{EF}=\vecteur{HG}$.
\par Comme $GHIJ$ est un parallélogramme alors $\vecteur{HG}=\vecteur{IJ}$.
\par Comme $\vecteur{EF}=\vecteur{HG}$ et $\vecteur{HG}=\vecteur{IJ}$ alors $\vecteur{EF}=\vecteur{IJ}$.
\par Comme $\vecteur{EF}=\vecteur{IJ}$ alors le quadrilatère $EFJI$ est un parallélogramme.
}
\subsection{Composition de 2 translations}
\begin{leftbar}
\Si ${\cal F}_1$ est l'image d'une figure $\cal F$ par la translation de vecteur $\vecteur{AB}$ et \si ${\cal F}_2$ est l'image de ${\cal F}_1$ par la translation de vecteur $\vecteur{EF}$ \alors la figure ${\cal F}_2$ est l'image de la figure $\cal F$ par la translation de vecteur $\vecteur{AB}+\vecteur{EF}$.
\end{leftbar}
$$\includegraphics{coursvecteurs.4}$$
$$\encadrecouleur{fond2}{{\bf Relation de Chasles}
\par\compo{5}{coursvecteurs}{1}{Soit $A$, $B$ et $C$ trois points. Alors
$$\vecteur{AC}+\vecteur{CB}=\vecteur{AB}$$
}
}$$
\paragraph{Remarques}\subitem{}\par
$\bullet$ L'extrémité du 1\ier{} vecteur est l'origine du 2\ieme{} vecteur.
\\$\bullet$ On a $\vecteur{AB}+\vecteur{BA}=\vecteur{AA}$. Un tel vecteur $\vecteur{AA}$ est appelé {\em vecteur nul} et se note $\vecteur{0}$.
\\$\bullet$ On a $\vecteur{AB}+\vecteur{BA}=\vecteur{0}$.  Donc le vecteur $\vecteur{BA}$ s'appelle {\em l'opposé} du vecteur $\vecteur{AB}$ et se note $-\vecteur{AB}$.\par
$$\encadrecouleur{fond2}{{\bf Règle du parallélogramme}
\par\compo{6}{coursvecteurs}{1}{Soit $I$, $J$ et $K$ trois points. Alors
$$\vecteur{IJ}+\vecteur{IK}=\vecteur{IL}$$
où $L$ est le point tel que $IJLK$ soit un parallélogramme.
}
}$$
\paragraph{Remarque} Les vecteurs ont la même origine.
\subsubsection{Application : calcul avec des vecteurs}
\compo{9}{coursvecteurs}{1}{{\em Sur la figure ci-contre, $ABCD$ et $ABEC$ sont des parallélogrammes. Evaluer la somme $\vecteur{AB}+\vecteur{AD}+\vecteur{CE}$.}
\par 
Comme $ABCD$ est un parallélogramme alors $\vecteur{AB}+\vecteur{AD}=\vecteur{AC}$ d'après la règle du parallélogramme.
Donc
$$\Eqalign{
\vecteur{AB}+\vecteur{AD}+\vecteur{CE}&=\vecteur{AC}+\vecteur{CE}\cr
\vecteur{AB}+\vecteur{AD}+\vecteur{CE}&=\vecteur{AE}\mbox{ d'après la relation de Chasles}\cr
}$$
}
\subsubsection{Application : construction graphique de la somme de deux vecteurs}
3 cas se présentent :
\begin{description}
\item[Les deux vecteurs ont la même origine] : on applique la règle de parallélogramme.
\item[L'extrémité du 1\ier{} vecteur est l'origine du 2\ieme{} vecteur] : on applique la relation de Chasles.
\item[Les deux vecteurs sont quelconques] : on choisit une origine pour construire un représentant de la somme des deux vecteurs et on se ramène à un des deux cas précédents.
\par
$$\begin{tabular}{c|c}
\includegraphics{coursvecteurs.7}&\includegraphics{coursvecteurs.8}\\
Cas n°1&Cas n°2\\
\end{tabular}
$$
\end{description}
\subsection{Composée de deux symétries centrales}
\begin{leftbar}
\Si ${\cal F}_1$ est l'image d'une figure $\cal F$ par la symétrie centrale de centre $O$ et \si ${\cal F}_2$ est l'image de ${\cal F}_1$ par la symétrie centrale de centre $O'$ \alors la figure ${\cal F}_2$ est l'image de la figure $\cal F$ par la translation de vecteur $2\times\vecteur{OO'}$.
\end{leftbar}
$$\includegraphics{coursvecteurs.10}$$