index.tex

\documentclass{article}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{amsmath,multicol}
\topmargin0pt\headheight0pt\headsep0pt\footskip10pt
\usepackage[dvips,a5paper,margin=8mm]{geometry}
\input christ5.tex
\parindent0pt
\columnseprule0.4pt
\begin{document}
\parskip0pt
\titrage{Coordonnées dans un repère}{3eme}
\parskip6pt
\section{Coordonnées d'un point}
\begin{defi}
Deux axes gradués de même origine et perpendiculaires définissent {\em un repère orthogonal}.
\par De plus, si les axes possèdent la même unité de longueur alors le repère est dit {\em orthonormé}.
\end{defi}
$$\includegraphics{memorepere.1}$$
\par Dans l'exemple ci-dessus, on dira que les coordonnées du point $M$ sont $(x_M,y_M)$, que celles du point $A$ sont $(3;5)$ et que celles du point $B$ sont $(1;-3)$.
\begin{ppte}\label{milieu}
Dans un repère quelconque, soit $A$ et $B$ deux points de coordonnées respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$. Alors les coordonnées du point $K$, milieu du segment $[AB]$ sont
$$\Eqalign{
x_K&=\frac{x_A+x_B}{2}\kern1cm&y_K&=\frac{y_A+y_B}{2}\cr
}$$
\end{ppte}
\paragraph{Exemple} Sur la figure ci-dessus, le milieu $K$ du segment $[AB]$ a pour coordonnées
$$\Eqalign{
x_K&=\frac{x_A+x_B}{2}\kern1cm&y_K&=\frac{y_A+y_B}{2}\cr
x_K&=\frac{3+1}{2}&y_K&=\frac{5+(-3)}{2}\cr
x_K&=\frac{4}{2}&y_K&=\frac{2}{2}\cr
x_K&=2&y_K&=1\cr
}$$
\section{Coordonnées d'un vecteur}
\begin{ppte}\label{vecteur}
Dans un repère quelconque, soit $E$ et $F$ deux points de coordonnées respectives $(x_E;y_E)$ et $(x_F;y_F)$. Alors les coordonnées du vecteur $\vecteur{\strut EF}$ sont
$$(x_F-x_E\,;\,y_F-y_E)$$
\end{ppte}
\par{\bf Exemples}\par
$$\includegraphics{memorepere.2}$$
\par Sur la figure ci-dessus, on a
$$\Eqalign{
\vecteur{\strut AB}&(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A)\kern1cm&\vecteur{\strut DC}&(x_C-x_D\,;\,y_C-y_D)\cr
\vecteur{\strut AB}&(-3-0\,;\,-2-2)\kern1cm&\vecteur{\strut DC}&(-5-4\,;\,0-(-1))\cr
\vecteur{\strut AB}&(-3\,;\,-4)\kern1cm&\vecteur{\strut DC}&(-9\,;\,1)\cr
}$$
\paragraph{Vérification graphique} Le déplacement de $A$ à $B$ correspond graphiquement à un déplacement horizontal de 3 unités dans le sens négatif suivi d'un déplacement vertical de 4 unités dans le sens négatif.
\begin{ppte}
Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées.
\end{ppte}
\section{Distance dans un repère orthonormé}
\begin{ppte}\label{distance}
Dans {\bf un repère orthonormé}, soit $E$ et $F$ deux points de coordonnées respectives $(x_E;y_E)$ et $(x_F;y_F)$. Alors, on a
$$EF^2=(x_F-x_E)^2+(y_F-y_E)^2\quad\mbox{ et }\quad EF=\sqrt{(x_F-x_E)^2+(y_F-y_E)^2}$$
\end{ppte}
$$\includegraphics{memorepere.3}$$
\paragraph{Exemples} Sur la figure ci-dessus, le repère est orthonormé : on a donc
$$\Eqalign{
AB^2&=(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2\kern5mm&CD^2&=(x_D-x_C)^2+(y_D-y_C)^2\cr
AB^2&=(-3-1)^2+(-1-2)^2&CD^2&=(3-(-5))^2+(-1-4)^2\cr
AB^2&=(-4)^2+(-3)^2&CD^2&=(3+5)^2+(-5)^2\cr
AB^2&=16+9&CD^2&=64+25\cr
AB^2&=25&CD^2&=89\cr
AB&=5&CD&=\sqrt{89}\cr
}$$
\paragraph{Remarques} Les réponses sont données dans l'unité de longueur commune aux deux axes.
\section{Exercice d'application}
{\em Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O,I,J)$. L'unité
choisie est le centimètre. Faire une figure et la compléter au fur et
à mesure.}
\par\begin{enumerate}
\item Placer les points $A(4;5)$, $B(0;-3)$ et $C(-6;0)$.
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que $AB=\sqrt{80}\,cm$, $AC=\sqrt{125}\,cm$ et
$BC=\sqrt{45}\,cm$.
\par{\em On utilise la Propriété \ref{distance}}.
\item En déduire que $ABC$ est un triangle rectangle. Préciser l'angle
droit.
\par{\em On utilise la réciproque du Théorème de Pythagore.}
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Construis le point $D$ tel que $\vecteur{\strut AB}=\vecteur{\strut DC}$.
\item Démontrer que $ABCD$ est un rectangle.
\par{\em On démontre que $ABCD$ est un parallélogramme qui possède un angle droit}.
\item Calculer les coordonnées de $\vecteur{\strut AB}$.
\par{\em On utilise la Propriété \ref{vecteur}}.
\item Vérifier à l'aide d'un calcul que les coordonnées du point $D$
sont $(-2;8)$.
\par{\em Les vecteurs $\vecteur{\strut AB}$ et $\vecteur{\strut DC}$ sont égaux donc leurs coordonnées sont égales}.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer les coordonnées du point $K$ milieu du segment $[AC]$.
\par{\em On utilise la Propriété \ref{milieu}.}
\item Que représente le point $K$ pour le quadrilatère $ABCD$ ?
\par{\em Pensez aux diagonales.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
$$\includegraphics{memorepere.4}$$
\end{document}