\documentclass{article} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage{amsmath,array,fancybox,color} \usepackage[dvips]{graphicx} \topmargin0pt\headheight0pt\headsep0pt\footskip0pt \usepackage[dvips,a5paper,margin=8mm]{geometry} \input christ5.tex \columnseprule0.25pt \parindent0pt \begin{document} \parskip0pt \titrage{Périmètre -- Aire -- Volume}{3eme} \parskip6pt \section{Vocabulaire} \partie{200}{Périmètre d'une surface} On note $\cal P$ le périmètre d'une surface. Le périmètre est \underline{une longueur}. On le mesure avec les unités obtenues à partir du mètre. Pour les conversions, il y a un rang par unité. $$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $km$&$hm$&$dam$&$m$&$dm$&$cm$&$mm$\\ \hline \phantom{000}&\phantom{000}&\phantom{0}3\phantom{0}&\phantom{0}1\phantom{0}&\phantom{0}0\phantom{0}&\phantom{0}0\phantom{0}&\\ &0&8&5&&&\\ \end{tabular} $$ \par Exemples : $31\,m=3,1\,dam=3\,100\,cm$ et $85\,dam=8,5\,m=0,85\,hm$. \partie{200}{Aire d'une surface} \par On note $\cal A$ l'aire d'une surface. On la mesure avec les unités obtenues à partir du mètre carré ($m^2$). Pour les conversions, il y a deux rangs par unité. $$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $km^2$&$hm^2$&$dam^2$&$m^2$&$dm^2$&$cm^2$&$mm^2$\\ \hline \phantom{0000}&\phantom{0000}&\phantom{00}0\phantom{0}&\phantom{0}31\phantom{0}&\phantom{0}00\phantom{0}&\phantom{0}00\phantom{0}&\\ &0&08&50&&&\\ \end{tabular} $$ \par Exemples :\par $31\,m^2=0,31\,dam^2=310\,000\,cm^2$ et $8,5\,dam^2=0,085\,hm^2=850\,m^2$. \partie{200}{Volume d'un solide} \par On note $\cal V$ le volume d'un solide. On le mesure avec les unités obtenues à partir du mètre cube ($m^3$). Pour les conversions, il y a trois rangs par unité. $$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline $km^3$&$hm^3$&$dam^3$&$m^3$&$dm^3$&$cm^3$&$mm^3$\\ \hline \phantom{0000}&\phantom{0000}&\phantom{000}0&\phantom{0}031&\phantom{0}000&\phantom{0000}&\\ &0&008&500&&&\\ \end{tabular} $$ \par Exemples :\par $31\,m^3=0,031\,dam^3=310\,000\,dm^3$ et $8,5\,dam^3=0,0085\,hm^3=8\,500\,m^3$. \par{\bf Remarque} : Il ne faut pas oublier que $$1\,dm^3=1\,l$$ \newpage \section{Aire et périmètre d'une surface} $$ \begin{tabular}{|m{3cm}|m{4.25cm}|c|} \hline \multicolumn{1}{|c|}{\bf Nom de la figure}&\multicolumn{1}{c|}{\bf Représentation}&\multicolumn{1}{c|}{\bf Périmètre et aire}\\ \hline {\em Trapèze} de petite base $b$, de grande base $B$ et de hauteur $h$&\includegraphics{memoaireperi.3}&$\Eqalign{ {\cal P}&=\mbox{somme des côtés}\cr {\cal A}&=\frac{(B+b)\times h}{2}\cr }$\\ \hline {\em Parallélogramme} de côté $c$ et de hauteur relative à ce côté $h$&\includegraphics{memoaireperi.4}&$\Eqalign{ {\cal P}&=\mbox{somme des côtés}\cr {\cal A}&=c\times h\cr }$\\ \hline {\em Losange} de côté $c$, de grande diagonale $D$ et de petite diagonale $d$&\includegraphics{memoaireperi.5}&$\Eqalign{ {\cal P}&=4c\cr {\cal A}&=\dfrac{d\times D}{2}\cr }$\\ \hline {\em Rectangle} de longueur $L$ et de largeur $l$&\includegraphics{memoaireperi.2}&$\Eqalign{ {\cal P}&=2(l+L)\cr {\cal A}&=L\times l\cr }$\\ \hline {\em Carré} de côté $c$&\includegraphics{memoaireperi.1}&$\Eqalign{ {\cal P}&=4c\cr {\cal A}&=c^2\cr }$\\ \hline {\em Triangle} de côté $c$ et de hauteur relative à ce côté $h$&\includegraphics{memoaireperi.6}&$\Eqalign{ {\cal P}&=\mbox{somme des côtés}\cr {\cal A}&=\dfrac{c\times h}{2}\cr }$\\ \hline {\em Cercle et disque} de rayon $r$&\includegraphics{memoaireperi.7}&$\Eqalign{ {\cal P}&=2\pi r\cr {\cal A}&=\pi r^2\cr }$\\ \hline \end{tabular} $$ \newpage \section{Volume d'un solide} \begin{tabular}{|m{3.5cm}|m{4cm}|c|} \hline \multicolumn{1}{|c|}{\bf Nom du solide}&\multicolumn{1}{c|}{\bf Représentation}&\multicolumn{1}{c|}{\bf Volume}\\ \hline {\bf Parallélépipède rectangle} -- {\small Solide dont toutes les faces sont des rectangles.\par Le {\bf cube} en est un cas particulier.}&\includegraphics{memoaireperi.8}&${\cal V}=AB\times AD\times AE$\\ \hline {\bf Prisme} -- {\small Solide composé de deux {\em bases} polygonales parallèles et dont toutes {\em les faces latérales} sont des rectangles. $\cal A$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur du prisme.}&\includegraphics{memoaireperi.9}&${\cal V}={\cal A}\times h$\\ \hline {\bf Cylindre} -- {\small Solide engendré (c'est-à-dire créé) par la rotation d'un rectangle autour d'un de ses axes de symétrie ou d'un des ses côtés.}&\includegraphics{memoaireperi.10}&${\cal V}=\pi\times OA^2\times AB$\\ \hline {\bf Cône} -- {\small Solide engendré par la rotation d'un triangle rectangle autour d'un des côtés de l'angle droit.\par $\cal A$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur du cône.}&\includegraphics{memoaireperi.11}&${\cal V}=\dfrac{1}{3}\times{\cal A}\times h$\\ \hline {\bf Pyramide} -- {\small Solide composé d'une {\em base} polygonale et dont toutes les {\em faces latérales} sont des triangles qui ont un sommet commun $S$.\par $\cal A$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur de la pyramide.}&\includegraphics{memoaireperi.12}&${\cal V}=\dfrac{1}{3}\times{\cal A}\times h$\\ \hline {\bf Sphère} -- {\small La sphère de centre $O$ et de rayon $r$ est composée de tous les points de l'espace situés à la même distance $r$ du point $O$.}&\includegraphics{memoaireperi.13}&${\cal V}=\dfrac{4}{3}\times\pi\times OE^3$\\ \hline \end{tabular} \newpage \section{Exemples d'applications} \exo \par\Compo{1}{memoaireperi.14}{1}{Calcule le périmètre et l'aire de la surface ci-contre. \begin{myenumerate} \item Soit $\cal P$ le périmètre de cette surface. $$\Eqalign{ {\cal P}&=AB+BC+CD+DE+EF+FA\cr {\cal P}&=14+12+20+48+30+48\cr {\cal P}&=172\,m\cr }$$ \item Soit $\cal A$ l'aire de cette surface. $$\Eqalign{ {\cal A}&={\cal A}_{ADEF}-{\cal A}_{BCD}\cr {\cal A}&=AD\times AF-\frac{BC\times BD}{\strut 2}\cr {\cal A}&=30\times 48-\frac{12\times16}{2}\cr {\cal A}&=1\,440-96\cr {\cal A}&=1\,344\,m^2\cr }$$ \end{myenumerate} } \exo \par\Compo{1}{memoaireperi.15}{1}{Le solide ci-contre représente un culbuto. Il est formé d'une demi-sphère surmontée d'un cône. Le rayon de la sphère est $6\,cm$ et la hauteur du cône est de $8\,cm$. Calcule le volume en $cm^3$ du culbuto. On en donnera une valeur exacte et une valeur approchée au dixième près.} \par Soit $\cal V$, ${\cal V}_1$ et ${\cal V}_2$ les volumes respectifs du culbuto, de la demi-sphère et du cône. $$\Eqalign{ {\cal V}_1&=\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\times\pi\times OB^3\kern5mm&{\cal V}_2&=\frac{1}{3}\times\pi\times OB^2\times AO\kern5mm&{\cal V}&={\cal V}_1+{\cal V}_2\cr {\cal V}_1&=\frac{4}{6}\pi\times6^3&{\cal V}_2&=\frac{1}{3}\pi\times6^2\times8&{\cal V}&=144\pi+96\pi\cr {\cal V}_1&=\frac{4}{6}\pi\times216&{\cal V}_2&=\frac{1}{3}\pi\times288&{\cal V}&=240\pi\,cm^3\cr {\cal V}_1&=\frac{864}{6}\pi&{\cal V}_2&=\frac{288}{3}\pi&{\cal V}&\approx754\,cm^3\cr {\cal V}_1&=144\pi\,cm^3&{\cal V}_2&=96\pi\,cm^3&\cr }$$ \end{document}