\documentclass[a4paper]{article} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{amsmath,multicol,amssymb,array,pst-all,calc} \topmargin0pt\headheight0pt\headsep0pt\footskip0pt \usepackage[dvips,a5paper,margin=8mm]{geometry} \input christ5.tex \parindent0pt \columnseprule0.4pt \definecolor{fond1}{rgb}{1,1,.8}%jaune clair \newcommand{\encadrecouleur}[1]{ \psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=fond1,framearc=0.15]{ \begin{minipage}{\linewidth-4\fboxsep} #1 \end{minipage} }} \begin{document} \parskip0pt \titrage{Géométrie dans l'espace\footnote{Avec des figures de Raphaël Nivelle.}}{3eme} \parskip6pt \section{Sphère et boule} \begin{defi} Soit $O$ est un point de l'espace et $r$ est un nombre positif donné. \begin{itemize}\item[\textbullet]La {\textbf{sphère}} de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance de $O$ égale à $r$. \item[\textbullet] La {\textbf{boule}} de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance de $O$ inférieure ou égale à $r$. \item[\textbullet] Un {\textbf{grand cercle}} d'une sphère de centre $O$ et de rayon $r$ est un cercle de centre $O$ et de rayon $r$. \end{itemize} \end{defi} \paragraph{Exemples}\subitem{} \par \compo{1}{memoespace}{0.85}{\begin{itemize} \item[$\bullet$] la sphère de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $OM = r$. Ici, le point $A$ appartient à la sphère de centre $O$ et de rayon $r$ mais le point $O$ non. \item[$\bullet$] la boule de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $OM \leqslant r$. Ici, les points $A$ et $O$ appartiennent à la boule de centre $O$ et de rayon $r$. \item[$\bullet$] Le cercle de centre $O$ et de rayon $OA$ est un grand cercle ($OA = r$). \end{itemize} } \begin{ppte} Lorsqu'elle existe, la section d'une sphère par un plan est un cercle. \end{ppte} \paragraph{Exemple}\subitem{}\par \compo{2}{memoespace}{0.75}{Le plan $\cal P$ coupe la sphère de centre $O$ et de rayon $r$ : la section obtenue est un cercle de centre $H$ et de rayon $MH$ que l'on calcule à l'aide du théorème de Pythagore.} \begin{ppte} Soit $r$ un nombre positif. \begin{itemize} \item[$\bullet$] L'aire d'une sphère de rayon $r$ est $4\pi r^2$. \item[$\bullet$] Le volume d'une boule de rayon $r$ est $\dfrac{4}{3}\pi r^3$. \end{itemize} \end{ppte} \section{Sections de différents solides} \paragraph{Le parallélépipède rectangle} $$\begin{tabular}{cc} \includegraphics[scale=0.55]{memoespace.3}&\includegraphics[scale=0.55]{memoespace.4}\\ $\cal P$ est parallèle à la face $ADHE$.&$\cal P$ est parallèle à l'arête $[AE]$.\\ \end{tabular} $$ \paragraph{Le cylindre de révolution} $$\begin{tabular}{cc} \includegraphics[scale=0.55]{memoespace.5}&\includegraphics[scale=0.55]{memoespace.6}\\ $\cal P$ est perpendiculaire à l'axe de révolution.&$\cal P$ est parallèle à l'axe de révolution.\\ \end{tabular} $$ \paragraph{La pyramide et le cône de révolution} $$\begin{tabular}{cc} \includegraphics{memoespace.7}&\includegraphics{memoespace.8}\\ \multicolumn{2}{c}{$\cal P$ est parallèle au plan de base.}\\ \end{tabular} $$ \section{Volumes des différents solides usuels} \begin{tabular}{|m{3.5cm}|m{4cm}|c|} \hline \multicolumn{1}{|c|}{\bf Nom du solide}&\multicolumn{1}{c|}{\bf Représentation}&\multicolumn{1}{c|}{\bf Volume}\\ \hline {\bf Parallélépipède rectangle} -- {\small Solide dont toutes les faces sont des rectangles.\par Le {\bf cube} en est un cas particulier.}&\includegraphics{memoespace.9}&${\cal V}=AB\times AD\times AE$\\ \hline {\bf Prisme} -- {\small Solide composé de deux {\em bases} polygonales parallèles et dont toutes {\em les faces latérales} sont des rectangles. $\cal A$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur du prisme.}&\includegraphics{memoespace.10}&${\cal V}={\cal A}\times h$\\ \hline {\bf Cylindre} -- {\small Solide engendré (c'est-à-dire créé) par la rotation d'un rectangle autour d'un de ses axes de symétrie ou d'un des ses côtés.}&\includegraphics{memoespace.11}&${\cal V}=\pi\times OA^2\times AB$\\ \hline {\bf Cône} -- {\small Solide engendré par la rotation d'un triangle rectangle autour d'un des côtés de l'angle droit.\par $\cal A$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur du cône.}&\includegraphics{memoespace.12}&${\cal V}=\dfrac{1}{3}\times{\cal A}\times h$\\ \hline {\bf Pyramide} -- {\small Solide composé d'une {\em base} polygonale et dont toutes les {\em faces latérales} sont des triangles qui ont un sommet commun $S$.\par $\cal A$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur de la pyramide.}&\includegraphics{memoespace.13}&${\cal V}=\dfrac{1}{3}\times{\cal A}\times h$\\ \hline {\bf Sphère} -- {\small La sphère de centre $O$ et de rayon $r$ est composée de tous les points de l'espace situés à la même distance $r$ du point $O$.}&\includegraphics{memoespace.14}&${\cal V}=\dfrac{4}{3}\times\pi\times OE^3$\\ \hline \end{tabular} \newpage \section{Exercices} \exo\par \encadrecouleur{\compo{15}{\jobname}{1} {\textit{L'unité est le centimètre.}\\Un jouet à la forme d'une demi-boule surmontée d'un cône de révolution de sommet $A$, comme l'indique la figure ci-dessous. Le segment $[BC]$ est un diamètre de la base du cône ; le point $O$ est le centre de cette base. \\On donne : $AB=7$ et $BC=6$. \begin{enumerate} \item Calculer la longueur $AO$. \item Calculer le volume, arrondi au $cm^3$ près, de ce jouet. \end{enumerate} } } \begin{enumerate} \item On applique le théorème de Pythagore dans le triangle $AOB$ rectangle en $O$. On obtient $AO=\sqrt{40}\,cm$ ou encore $AO=2\sqrt{10}\,cm$. \item $$\Eqalign{ {\cal V}_{\mbox{cône}}&=\frac13\times\pi\times OB^2\times OA\kern2cm&{\cal V}_{\mbox{demi-boule}}&=\frac12\times\frac43\times\pi\times OB^3\cr {\cal V}_{\mbox{cône}}&=\frac13\times\pi\times 3^2\times 2\sqrt{10}&{\cal V}_{\mbox{demi-boule}}&=\frac12\times\frac43\times\pi\times 3^3\cr {\cal V}_{\mbox{cône}}&=6\pi\sqrt{10}\,cm^3&{\cal V}_{\mbox{demi-boule}}&=18\pi\,cm^3\cr }$$ $$\Eqalign{ {\cal V}_{\mbox{jouet}}&={\cal V}_{\mbox{cône}}+{\cal V}_{\mbox{demi-boule}}\cr {\cal V}_{\mbox{jouet}}&=6\pi\sqrt{10}+18\pi\cr {\cal V}_{\mbox{jouet}}&=6\pi\left(\sqrt{10}+3\right)\,cm^3\cr {\cal V}_{\mbox{jouet}}&\approx116\,cm^3\cr }$$ \end{enumerate} \exo \par\encadrecouleur{\compo{16}{\jobname}{1}{{\em L'unité de longueur est le centimètre}. \par La figure ci-contre représente un cône de révolution de sommet $S$, et de base le disque de centre $H$ et de rayon $[HM]$. On donne $HS=8$ et $HM=6$. \\On coupe ensuite le cône par un plan parallèle à sa base, et passant par le point $H'$ du segment $[SH]$ tel que $HH'=2$. \\Calculer le volume du cône de révolution obtenu, arrondi au $cm^3$. }} \par{\bf Indication} : Il s'agit d'une réduction de coefficient $\dfrac{SH'}{SH}$. \end{document}