index.tex

\documentclass[12pt]{article}
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{\setlength{\fboxsep}{12pt}
\fbox{\begin{Bflushleft}
#3\end{Bflushleft}}}}
 
\input christ5.tex
\parindent0pt
\columnseprule0.4pt
\begin{document}
\parskip0pt
\titrage{Propriété de Thalès}{3eme}
\parskip6pt
\section{Enoncé du théorème}
\ColCadre{-0.6}{\bf Théorème de Thalès}{
\begin{minipage}{350pt}
Soit $(d)$ et $(d')$ deux droites sécantes en $A$.
\par $B$ et $M$ sont 2 points de la droite $(d)$, distincts de $A$.
\par $C$ et $N$ sont 2 points de la droite $(d')$, distincts de $A$.
\par\Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles \alors
$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}\qquad\frac{\mbox{côtés du triangle }AMN}{\mbox{côtés correspondants du triangle }ABC}$$
\par\centerline{\underline{Configurations de Thalès}}
$$\includegraphics[scale=0.70]{memothales.1}$$
\end{minipage}
}
\paragraph{Remarques}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Repérer le point commun.
\item[$\bullet$] Faire attention à conserver le \og{}même triangle\fg{} $AMN$ au numérateur et le \og{}même triangle\fg{} $ABC$ au dénominateur pour toute l'écriture des quotients.
\item[$\bullet$] Dans les mêmes conditions, on peut également écrire
$$\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}=\frac{BC}{MN}$$
\end{itemize}
\newpage
\paragraph{Exemple d'application}
\par{\em Les droites $(CJ)$ et $(BI)$ se coupent en $A$. Les droites $(BC)$ et $(IJ)$ sont parallèles. Calculer les longueurs $AC$ et $IJ$.}
$$\includegraphics{memothales.2}$$
\par Dans le triangle $ABC$, $I$ est un point de la droite $(AB)$ et $J$ est un point de la droite $(AC)$ tels que la droite $(IJ)$ soit parallèles à la droite $(BC)$. Donc, d'après le théorème de Thalès, on a
$$\frac{AI}{AB}=\frac{AJ}{AC}=\frac{IJ}{BC}\qquad\mbox{c'est à dire}\qquad\frac{6}{5}=\frac{9}{AC}=\frac{IJ}{3}$$
\begin{multicols}{2}
On utilise 
$$\Eqalign{
\frac{6}{5}&=\frac{9}{AC}\cr
6\times AC&=9\times5\cr
AC&=\frac{9\times5}{6}=7,5\,cm\cr
}$$
\par On utilise 
$$\Eqalign{
\frac{6}{5}&=\frac{IJ}{3}\cr
5\times IJ&=6\times3\cr
IJ&=\frac{6\times3}{5}=3,6\,cm\cr
}$$
\end{multicols}
\section{La \og{}réciproque\fg{} du théorème de Thalès}
\ColCadre{-0.25}{\bf La réciproque du théorème de Thalès}{
\begin{minipage}{350pt}
Soit $(d)$ et $(d')$ deux droites sécantes en $A$.
\par $B$ et $M$ sont 2 points de la droite $(d)$, distincts de $A$.
\par $C$ et $N$ sont 2 points de la droite $(d')$, distincts de $A$.
\par \Si $$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$$ \underline{et} les points $A,M,B$ sont alignés dans le même ordre que les points $A,N,C$
\alors les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles.
\end{minipage}
}
\paragraph{Remarques}
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Seuls les 2 \og{}premiers\fg{} quotients interviennent.
\item[$\bullet$] {\bf Attention} à bien vérifier l'alignement des points dans le bon ordre. Voici un contre-exemple dans lequel $AB=10$, $AM=3$, $AN=1,5$ et $AC=5$.
$$\includegraphics{memothales.5}$$
\par On a bien $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\left(=\dfrac{3}{10}\right)$ et pourtant les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.
\end{itemize}
\paragraph{Exemples d'application}
\begin{description}
\item[Exemple 1] {\em Est-ce que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles ? Justifier.}
$$\includegraphics{memothales.3}$$
\newpage Dans le triangle $ABC$, $M$ est un point de la droite $(AB)$ et $N$ un point de la droite $(AC)$.
$$\left.\begin{tabular}{l}
$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{5,4}{9}=0,6$\\
\\
$\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{7,5}{12,5}=0,6$\\
\end{tabular}
\right\}\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$$
\par De plus, les points, $A,M,B$ sont alignés dans le même ordre que les points $A,N,C$. Donc
 les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès.
\item[Exemple 2]{\em Est-ce que les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles ? Justifier.}
$$\includegraphics{memothales.4}$$
\par Dans le triangle $ABC$, $M$ est un point de la droite $(AB)$ et $N$ un point de la droite $(AC)$.
$$\left.\begin{tabular}{l}
$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{11,9}{35}=0,34$\\
\\
$\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{18,2}{52}=0,35$\\
\end{tabular}
\right\}\frac{AM}{AB}\not=\frac{AN}{AC}$$
\par Donc les droites $(MN)$ et $(BC)$ ne sont pas parallèles.
\end{description}
\end{document}