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\begin{document}
\small
\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Correction du Devoir de Mathématiques n°2\hfill402DM02c}\par
\vspace{2mm}
\hrule
\vspace{2mm}
\exo
\begin{enumerate}
\item{\em Trace un parallélogramme $ABCD$ de centre $I$ tel que $AB=5\,cm$, $BC=3\,cm$ et $\widehat{ABC}=65°$.}
\item{\em Calcule son périmètre.}
$$\Eqalign{
{\cal P}_{ABCD}&=2\times(AB+BC)\cr
{\cal P}_{ABCD}&=2\times(5+3)\cr
{\cal P}_{ABCD}&=16\,cm\cr
}$$
\item{\em Place un point $M$ à l'extérieur du parallélogramme $ABCD$. Construis le point $N$ tel que le quadrilatère $MDNB$ soit un parallélogramme. Explique ta construction.}
\par Le quadrilatère $MDNB$ doit être un parallélogramme donc ses côtés opposés doivent être parallèles deux à deux. Je trace la droite $(d_1)$, parallèle à la droite $(MB)$ passant par $D$ et la droite $(d_2)$, parallèle à la droite $(MD)$ passant par $B$. Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ se coupent en $N$.
\item
\begin{enumerate}
\item{\em Quel est le milieu du segment $[MN]$ ? Justifie la réponse.}\par Comme $MBDN$ est un parallélogramme alors ses diagonales $[BD]$ et $[MN]$ ont le même milieu. Or, $I$ est le milieu du segment $[BD]$. Donc $I$ est aussi le milieu du segment $[MN]$.
\item{\em Déduis-en que le quadrilatère $MANC$ est un parallélogramme.}
\par On sait que $I$ est le milieu du segment $[AC]$ (d'après l'énoncé) et que $I$ est le milieu du segment $[MN]$ (d'après la question précédente). Donc le quadrilatère $MANC$ a ses diagonales qui ont le même milieu donc $MANC$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\exo{\em Soit $EFC$ un triangle tel que $EF=6\,cm$, $EC=4\,cm$, $FC=8\,cm$. Dans le triangle $EFC$, la hauteur issue de $E$ coupe la droite $(FC)$ en $E'$ et la hauteur issue de $F$ coupe la droite $(EC)$ en $F'$.}
\begin{enumerate}
\item{\em Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle $EE'F$ ? Quel est le rayon de ce cercle ?}
\par Le triangle $EE'F$ est rectangle en $E'$ donc le centre de son cercle circonscrit est le milieu du segment $[EF]$ et son rayon est $\dfrac{1}{2}EF$.
\item{\em Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle $FF'E$ ? Quel est le rayon de ce cercle ?}
\par Le triangle $FF'E$ est rectangle en $F'$ donc le centre de son cercle circonscrit est le milieu du segment $[EF]$ et son rayon est $\dfrac{1}{2}EF$.
\item{\em Explique alors pourquoi les points $E$, $F$, $E'$, $F'$ sont sur un même cercle.}
\par Les points $E'$ et $F'$ sont sur le cercle de diamètre $[EF]$ donc les points $E$, $F$, $E'$ et $F'$ sont sur un même cercle.
\end{enumerate}
\exo {\em Soit un cercle $({\cal C})$ de centre $O$, de rayon $3\,cm$ et $[BC]$ un diamètre de ce cercle. Sur le cercle $({\cal C})$, on place un point $I$ tel que $\widehat{BCI}=30°$.}
\begin{enumerate}
\item{\em  Fais une figure.}
\item{\em Quelle est la nature du triangle $BIC$ ? Justifie la réponse.}
\par $I$ appartient au cercle de diamètre $[BC]$ donc le triangle $BIC$ est rectangle en $I$.
\item{\em Calcule la mesure des angles $\widehat{IBO}$ et  $\widehat{IOC}$.}
\begin{multicols}{2}
\par Dans le triangle $BIC$, on a
$$\Eqalign{
\widehat{BIC}+\widehat{ICB}+\widehat{CBI}&=180\cr
90+30+\widehat{CBI}&=180\cr
120+\widehat{CBI}&=180\cr
\widehat{CBI}&=180-120\cr
\widehat{CBI}&=60°\cr
}$$
\par Les points $I$ et $C$ appartiennent au cercle de centre $O$ donc $OI=OC$ et le triangle $IOC$ est isocèle en $O$. Alors les angles $\widehat{OCI}$ et $\widehat{OIC}$ sont égaux à 30°.
\par Dans le triangle $OIC$, on a
$$\Eqalign{
\widehat{IOC}+\widehat{OCI}+\widehat{CIO}&=180\cr
\widehat{IOC}+30+30&=180\cr
\widehat{IOC}+60&=180\cr
\widehat{IOC}&=180-60\cr
\widehat{IOC}&=120°\cr
}$$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\exo{\em Détermine la valeur des expressions suivantes pour $x=2$, $y=-3$, $z=-5$ puis pour $x=-4$, $y=-1$, $z=-2$.}
$$\Eqalign{
A&=4\times x-2\times y+3\times z\kern1cm&B&=xy+yz+zx\cr
A&=4\times2-2\times(-3)+3\times(-5)&B&=2\times(-3)+(-3)\times(-5)+(-5)\times2\cr
A&=8-(-6)+(-15)&B&=-6+(+15)+(-10)\cr
A&=8+(+6)+(-15)&B&=-6+15-10\cr
A&=14+(-15)&B&=9-10\cr
A&=-1&B&=-1\cr
}$$
\par
$$\Eqalign{
A&=4\times x-2\times y+3\times z\kern1cm&B&=xy+yz+zx\cr
A&=4\times(-4)-2\times(-1)+3\times(-2)&B&=(-4)\times(-1)+(-1)\times(-2)+(-2)\times(-4)\cr
A&=-16-(-2)+(-6)&B&=4+2+8\cr
A&=-16+(+2)-6&B&=14\cr
A&=-14-6\cr
A&=-20\cr
}$$
\exo Calcule la valeur de chacune des expressions suivantes :
$$\Eqalign{
D&=\left[-9-(-3)\right]\times\left[16\div(-4)\right]\kern5mm&E&=\left(8\times\left[-1-(-2)\right]\right)\div(-4)\kern5mm&F&=\frac{8-(-1)\times4}{-5+2}\cr
D&=[-9+(+3)]\times(-4)&E&=(8\times[-1+(+2)])\div(-4)&F&=\frac{8-(-4)}{-3}\cr
D&=-6\times(-4)&E&=(8\times1)\div(-4)&F&=\frac{8+(+4)}{-3}\cr
D&=24&E&=8\div(-4)&F&=\frac{12}{-3}\cr
&&E&=-2&F&=-4\cr
}$$
\end{document}
