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\begin{document}
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{\bf Devoir de Mathématiques n°2\hfill pour le 18/09/2002\hfill402DM02e}\par
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\exo{1} Détermine la valeur des expressions suivantes pour $x=2$, $y=-3$, $z=-5$ puis pour $x=-4$, $y=-1$, $z=-2$.
$$A=4x-2y+3z\kern1cm B=xy+yz+zx\kern1cm C=-2x-3y-4z$$
\exo{2} Calcule la valeur de chacune des expressions suivantes :
$$\Eqalign{
D&=\left[-5-(-3)\right]\times\left[12\div(-4)\right]\kern5mm&E&=\left(8\times\left[-1-(-2)\right]\right)\div(-4)\cr
F&=\frac{8-(-1)\times4}{-5+2}\cr
}$$
\exo{3} Soit un cercle $({\cal C})$ de centre $O$ et $[BC]$ un diamètre de ce cercle. Sur le cercle $({\cal C})$, on place un point $I$ tel que $\widehat{BCI}=23°$.
\begin{enumerate}
\item Fais une figure.
\item Calcule la mesure des angles $\widehat{IBO}$, $\widehat{IOC}$, $\widehat{OIC}$, $\widehat{OIB}$ et $\widehat{IOB}$.
\end{enumerate}
\exo{4} Soit $({\cal C})$ un cercle de centre $O$ et de rayon $4\,cm$. Deux points $A$ et $B$ sont diamétralement opposés sur le cercle $({\cal C})$. Le point $D$ est un point du cercle $({\cal C})$ tel que $BD=2\,cm$. Le point $E$ est le symétrique du point $B$ par rapport au point $D$.
\begin{enumerate}
\item Démontre que la droite $(AD)$ est la médiatrice du segment $[EB]$.
\item Soit $F$ le symétrique du point $O$ par rapport à la droite $(AD)$.
\par Démontre que les points $A$, $F$ et $E$ sont alignés.
\item Détermine la nature du quadrilatère $AODF$.
\end{enumerate}
\exo{5} Soit $EFC$ un triangle tel que $EF=6\,cm$, $EC=4\,cm$, $FC=8\,cm$. Dans le triangle $EFC$, la hauteur issue de $E$ coupe la droite $(FC)$ en $E'$ et la hauteur issue de $F$ coupe la droite $(EC)$ en $F'$.
\begin{enumerate}
\item Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle $EE'F$ ? Quel est le rayon de ce cercle ?
\item Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle $FF'E$ ? Quel est le rayon de ce cercle ?
\item Explique alors pourquoi les points $E$, $F$, $E'$, $F'$ sont sur un même cercle\footnote{4 points (ou plus) qui appartiennent à un même cercle sont dits {\bf cocycliques.}}.
\end{enumerate}

\end{document}
