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\begin{document}
\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir de Mathématiques n°4\hfill pour le 09/10/2002\hfill402DM04e}\par
\vspace{2mm}
\hrule
\vspace{2mm}
\exo{1}\begin{enumerate}
\item  Soit $a$ et $b$ deux nombres relatifs non nuls. Exprime en fonction de $a$ et $b$, les expressions suivantes :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
        \item Le produit des inverses de $a$ et $b$.
        \item L'inverse du produit de $a$ et $b$.
        \item L'opposé de l'inverse de $a$.
        \item L'inverse de l'opposé de $a$.
        \item L'opposé du produit des inverses de $a$ et $b$.
        \item L'inverse du produit des inverses de $a$ et $b$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item  Détermine la valeur des expressions ci-dessus si $a=-2$ et $b=5$.
\end{enumerate}
\exo{2} Voici la répartition des ménages français en fonction du nombre de personnes au foyer.
\par
\begin{center}
\begin{minipage}{12cm}
$$\begin{tabularx}{12cm}{|X|c|c|c|c|c|c|}
\hline
{\bf Nombre de personnes}&1&2&3&4&Plus de 5&Total\\
\hline
{\bf Effectif en milliers}&6\,753&7\,354&3\,885&3\,284&1\,850&23\,126\\
\hline
\end{tabularx}
$$
\hfill Source : I.N.S.E.E
\end{minipage}
\end{center}
\par
\begin{enumerate}
\item Calcule la fréquence de chaque effectif : on donnera la réponse en pourcentage arrondi au dixième près.
\item Construis un diagramme circulaire qui réprésente cette situation (on choisira un rayon de $4\,cm$).
\end{enumerate}
\exo{3} Soit $ABC$ un triangle et $M$ un point quelconque du segment $[AB]$. La parallèle à la droite $(BC)$ passant par $M$ coupe la droite $(AC)$ en $N$. $K$ est le symétrique du point $M$ par rapport au point $B$. On appelle $L$ le point d'intersection des droites $(BC)$ et $(KN)$.
\begin{enumerate}
\item Fais une figure.
\item Prouve que $L$ est le milieu du segment $[KN]$.
\end{enumerate}
\exo{4} Soit $ABCD$ un quadrilatère quelconque. On appelle $I$, $J$, $K$ et $L$ les milieux respectifs des segments $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$.
\begin{enumerate}
\item Fais plusieurs figures en modifiant le quadrilatère $ABCD$. Quelle conjecture\footnote{Supposition mathématique (il semble que\ldots) que l'on pense pouvoir démontrer.} peut-on faire ?
\item Démontre cette conjecture\footnote{Ce théorème est connu sous le nom de {\bf Théorème de Varignon}}.
\item Quelle(s) condition(s) supplémentaire(s) faut-il pour obtenir un rectangle $IJKL$ ?
\end{enumerate}
\end{document}
