\documentclass[twocolumn]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[LGR,T1]{fontenc} \usepackage[greek,frenchb]{babel} \usepackage{amsmath,tabularx,multicol,amssymb} \usepackage[dvips]{graphicx} \input christ5.tex \pagestyle{empty} \columnseprule0.25pt \parindent0pt \parskip6pt %site et impression \topmargin0pt\headheight0pt\headsep0pt\footskip0pt \usepackage[dvips,a4paper,landscape,margin=5mm]{geometry} \begin{document} %\small \hrule \vspace{1mm} {\bf Devoir de Mathématiques n°14\hfill pour le 17/03/2003\hfill402DM14}\par \vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm} \exo Soit un cercle ${\cal C}$ de diamètre $[AB]$ tel que $AB=10cm$ et $M$ un point du segment $[AB]$ tel que $BM=3\,cm$. Soit $R$ un point du cercle $\cal C$ tel que $BR=7\,cm$. La perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par $M$ coupe la droite $(AR)$ en $S$.\\Démontre que les droites $(AL)$ et $(SB)$ sont perpendiculaires. \exo Trace un triangle $ART$ tel que $AR=4,5\,cm$, $RT=5,3\,cm$ et $AT=2,8\,cm$.\\Place le point $L$, symétrique de $T$ par rapport à $A$. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle $ART$ ? \item Quelle est la nature du triangle $LTR$ ? \item Trace la médiane issue de $T$ dans le triangle $LTR$. Elle coupe le segment $[AR]$ en $F$. Calcule la longueur $AF$. \item Place le point $M$, symétrique de $F$ par rapport à $A$. Quelle est la nature du quadrilatère $LFTM$ ? \item Calcule l'aire $\cal A$ du quadrilatère $LFTM$ et l'aire $\cal B$ du quadrilatère $LMTR$. Vérifie que ${\cal A}=\dfrac{\cal B}{2}$. \end{enumerate} \exo Pour être vendues, les pommes doivent être calibrées : elles sont réparties en caisses suivant leur diamètre. Dans un lot de pommes, un producteur a évalué le nombre de pommes pour chacun des six calibres rencontrés dans le lot. On a pu ainsi contruire le tableau ci-dessous. \par\dispo{1}{ \begin{tabular}{|c|c|} \hline {\bf Calibre} (en $mm$)&{\bf Effectif}\\ \hline $[55;60[$&12\\ \hline $[60;65[$&21\\ \hline $[65;70[$&29\\ \hline $[70;75[$&22\\ \hline $[75;80[$&25\\ \hline $[80;85[$&19\\ \hline \end{tabular} }{\begin{enumerate} \item Calcule l'effectif total de ce lot de pommes. \item Combien de pommes ont un diamètre de moins de $70\,mm$ ? \item Combien de pommes ont un diamètre d'au moins $75\,mm$ ? \item Calcule, par rapport, à l'effectif total, le pourcentage de pommes dont le diamètre $d$ est tel que $70\leqslant d<~80$. (On arrondira le résultat à $10^{-1}$ près.) \end{enumerate} } \exo{\em L'unité de longueur est le centimètre et l'unité d'aire est le centimètre carré}. %$$\includegraphics{402dme14.2}$$ \par Un rectangle $ABCD$ est tel que $AB=5$ et $AD=4$. $E$ est le point du segment $[AB]$ tel que $AE=1$. $M$ est un point du segment $[BC]$ et on pose $BM=x$. \begin{enumerate} \item Calcule l'aire ${\cal A}_1$ du triangle $AED$. \item \begin{enumerate} \item Exprime en fonction de $x$ l'aire ${\cal A}_2$ du triangle $EBM$; puis la longueur $MC$; puis l'aire ${\cal A}_3$ du triangle $DMC$. \item Montre que la somme des trois aires ${\cal A}_1$, ${\cal A}_2$, ${\cal A}_3$ est $12-0,5x$. \par Déduis-en que l'aire de la partie grisée est $8+0,5x$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \setcounter{num}{0} \hrule \vspace{1mm} {\bf Devoir de Mathématiques n°14\hfill pour le 17/03/2003\hfill402DM14}\par \vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm} \exo Soit un cercle ${\cal C}$ de diamètre $[AB]$ tel que $AB=10cm$ et $M$ un point du segment $[AB]$ tel que $BM=3\,cm$. Soit $R$ un point du cercle $\cal C$ tel que $BR=7\,cm$. La perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par $M$ coupe la droite $(AR)$ en $S$.\\Démontre que les droites $(AL)$ et $(SB)$ sont perpendiculaires. \exo Trace un triangle $ART$ tel que $AR=4,5\,cm$, $RT=5,3\,cm$ et $AT=2,8\,cm$.\\Place le point $L$, symétrique de $T$ par rapport à $A$. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle $ART$ ? \item Quelle est la nature du triangle $LTR$ ? \item Trace la médiane issue de $T$ dans le triangle $LTR$. Elle coupe le segment $[AR]$ en $F$. Calcule la longueur $AF$. \item Place le point $M$, symétrique de $F$ par rapport à $A$. Quelle est la nature du quadrilatère $LFTM$ ? \item Calcule l'aire $\cal A$ du quadrilatère $LFTM$ et l'aire $\cal B$ du quadrilatère $LMTR$. Vérifie que ${\cal A}=\dfrac{\cal B}{2}$. \end{enumerate} \exo Pour être vendues, les pommes doivent être calibrées : elles sont réparties en caisses suivant leur diamètre. Dans un lot de pommes, un producteur a évalué le nombre de pommes pour chacun des six calibres rencontrés dans le lot. On a pu ainsi contruire le tableau ci-dessous. \par\dispo{1}{ \begin{tabular}{|c|c|} \hline {\bf Calibre} (en $mm$)&{\bf Effectif}\\ \hline $[55;60[$&12\\ \hline $[60;65[$&21\\ \hline $[65;70[$&29\\ \hline $[70;75[$&22\\ \hline $[75;80[$&25\\ \hline $[80;85[$&19\\ \hline \end{tabular} }{\begin{enumerate} \item Calcule l'effectif total de ce lot de pommes. \item Combien de pommes ont un diamètre de moins de $70\,mm$ ? \item Combien de pommes ont un diamètre d'au moins $75\,mm$ ? \item Calcule, par rapport, à l'effectif total, le pourcentage de pommes dont le diamètre $d$ est tel que $70\leqslant d<~80$. (On arrondira le résultat à $10^{-1}$ près.) \end{enumerate} } \exo{\em L'unité de longueur est le centimètre et l'unité d'aire est le centimètre carré}. %$$\includegraphics{402dme14.2}$$ \par Un rectangle $ABCD$ est tel que $AB=5$ et $AD=4$. $E$ est le point du segment $[AB]$ tel que $AE=1$. $M$ est un point du segment $[BC]$ et on pose $BM=x$. \begin{enumerate} \item Calcule l'aire ${\cal A}_1$ du triangle $AED$. \item \begin{enumerate} \item Exprime en fonction de $x$ l'aire ${\cal A}_2$ du triangle $EBM$; puis la longueur $MC$; puis l'aire ${\cal A}_3$ du triangle $DMC$. \item Montre que la somme des trois aires ${\cal A}_1$, ${\cal A}_2$, ${\cal A}_3$ est $12-0,5x$. \par Déduis-en que l'aire de la partie grisée est $8+0,5x$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}