index.tex

\documentclass[twocolumn]{article}
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\columnseprule0.25pt
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir Surveillé de Mathématiques n°1\hfill401DS1}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo{1} En détaillant les calculs, donne les valeurs des expressions suivantes :
$$\Eqalign{
A&=-10+7-(-4)\kern1.5cm&B&=(-2)\times3\cr
C&=(-4)\times(-5)&D&=(-5)+7\times(-2)\cr
E&=(-4)\times(-2)+7\times(-3)&F&=(8\times5+3)-3\times(-3)\cr
}$$
\exo{2} On donne les expressions suivantes
$$G=-4x-3\kern1cm H=4\times(x-3)\kern1cm I=4+x\kern1cm J=4-x$$
\par Calculer $G,\,H,\,I,\,J$ pour $x=-5$.
\exo{3} Donne le signe des 2 produits suivants. Justifie la réponse.
$$\Eqalign{
G&=3,1\times4,2\times(-1,2)\times(-1,3)\times4,7\times(-1,9)\cr
H&=(-19,1)\times(-37,2)\times17,4\times(-43,7)\times(-51,2)\cr
}$$
\exo{4} Soit un triangle $ABC$, $M$ le milieu du segment $[AB]$ et $D$ le symétrique de $C$ par rapport à $M$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Prouve que $ACBD$ est un parallélogramme.
\item Déduis-en que les droites $(AD)$ et $(BC)$ sont parallèles.
\end{enumerate}
\item La parallèle à la droite $(AB)$ passant par $D$ coupe la droite $(BC)$ en $E$. Démontre que $ADEB$ est un parallélogramme.
\item Soit $I$ le milieu du segment $[BD]$.\par Prouve que $I$ est le milieu du segment $[AE]$.
\item
\begin{enumerate}
\item Montre que $AD=BC$ et $AD=EB$.
\item Conclue que $B$ est le milieu du segment $[AC]$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vfill
\pagebreak
\centerline{\underline{\bf Figure de l'exercice 4}}
\vfill\pagebreak
\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir Surveillé de Mathématiques n°2\hfill401DS2}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo{1} Effectue les opérations proposées en détaillant les calculs :
$$\Eqalign{
A&=3\times(-5)+(-25)\div5\qquad&B&=[36\div(-9)+2]\times5-2\qquad\cr
C&=8\times(-5)+3-(-48)\div8&D&=(-4\times5+2)\div(2\times(-6)+1)\cr
}$$
\exo{2} Calcule les expressions suivantes avec $a=-2,\,b=-3,\,c=4$
$$\Eqalign{
E&=2a-3b-5c\quad&F&=\frac{6a+b-2c}{b-c}&G&=\frac{c-a}{b}-2\quad\cr
}$$
\par Calcule ensuite $E+F-G$
\exo{3} $\cal C$ est un cercle de centre $O$ et de rayon $3\,cm$. $[AB]$ est un diamètre du cercle $\cal C$ et $M$ est un point du cercle $\cal C$ tel que $AM=2cm$. Le point $I$ est le milieu du segment $[BM]$.
\begin{enumerate}
\item Fais la figure.
\item Quelle est la nature du triangle $AMB$ ?
\item Démontre que les droites $(OI)$ et $(MB)$ sont perpendiculaires.
\item Calcule la longueur $OI$.
\item Soit $J$ le milieu du segment $[AM]$. Quelle est la nature du quadrilatère $MIOJ$ ?
\end{enumerate}
\exo{4}
\begin{enumerate}
\item Dessine le triangle $EFG$ tel que :
\hfill$FG=7cm$\hfill$FE=5cm$\hfill$GE=6cm$\hfill
\par
\item Place le point $A$ symétrique de $E$ par rapport à $F$. Place le point $S$ symétrique de $E$ par rapport à $G$.
\item Que peut-on dire des droites $(FG)$ et $(AS)$ ? Justifie.
\item Quelle est la longueur du segment $[AS]$ ? Justifie.
\end{enumerate}
\vfill\pagebreak
\centerline{\underline{\bf Figures des exercices 3 et 4}}
\pagebreak
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\vspace{2mm}
{\bf Devoir Surveillé de Mathématiques n°3\hfill401DS3}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo{1} Effectue les opérations proposées en détaillant les calculs et
donne le résultat sous la forme la plus simple possible :
$$\Eqalign{
A&=-\frac{3}{7}+\frac{2}{11}\div\frac{7}{22}\kern2cm&B&=\frac{7}{4}\div\left(\frac{3}{2}+\frac{1}{3}\right)\cr
}$$
\exo{2} Lors d'un héritage, une certaine somme d'argent est partagée entre 3 personnes : Arnaud, Béatrice et Claude.
\par Arnaud reçoit les $\dfrac{8}{15}$ de la somme, Béatrice reçoit les $\dfrac{3}{4}$ de la part d'Arnaud.
\par Quelle fraction de la somme totale Claude reçoit-il ?
\exo{3} Soit $EFGH$ un parallélogramme tel que $EF=4cm$, $FH=5cm$, $EH=6cm$. Soit $K$ le point du segment $[EH]$ tel que $HK=1,2cm$.\par La parallèle à la droite $(EF)$ passant par $K$ coupe le segment $[FH]$ en $J$.\par Calculer les longueurs $HJ$ et $JK$.
\exo{4} Soit $RAS$ un triangle tel que $RS=5cm$, $SA=7cm$, $RA=9cm$. Soit $P$ le point du segment $[RS]$ tel que $RP=1,5cm$.\par La perpendiculaire à la droite $(RA)$ passant par $P$ coupe la droite $(RA)$ en $O$. La perpendiculaire à la droite $(RA)$ passant par $S$ coupe la droite $(RA)$ en $U$.
\begin{enumerate}
\item Pourquoi les droites $(PO)$ et $(SU)$ sont-elles parallèles ?
\item Calcule $\dfrac{RO}{RU}$.
\end{enumerate}
\exo{5} $ABC$ est un triangle avec $CB=6\,cm$, $BA=4\,cm$ et $\widehat{CBA}=120$°.
\par Soit $I$ et $J$ les milieux respectifs des segments $[AC]$ et $[AB]$.
\begin{enumerate}
\item Fais une figure que l'on complétera au fur et à mesure.
\item Place le point $D$ sur le segment $[BC]$ tel que $BD=1\,cm$.
\item Place le point $E$ sur la droite $(BC)$, en dehors du segment $[BC]$, tel que $BE=4\,cm$.
\item Prouve que la droite $(IJ)$ coupe les segments $[AD]$ et $[AE]$ en leur milieu.
\end{enumerate}
\vfill\pagebreak
\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir Surveillé de Mathématiques n°4\hfill401DS4}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo{1}
\begin{enumerate}
\item Calcule
$$A=\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{4}\right)\times\frac{14}{15}\kern1cm B=\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\div\frac{2}{5}$$
\item Ecris les expressions suivantes sous formes décimale et scientifique.
$$E=4\times10^5\times7\times10^{-3}\kern1cm F=\frac{12\times10^{-6}\times5\times10^8}{3\times10^4}$$
\end{enumerate}
\exo{2} Calcule la valeur de l'expression $C=4x^2-5x+2,7$ pour $x=3$.
\par Calcule la valeur de l'expression $D=5x^3+6x^2-10$ pour $x=10$.
\exo{3}
\begin{enumerate}
\item Calcule l'aire d'un rectangle de longueur $10^4\,cm$ et de largeur $10^{-2}\,cm$.
\item Calcule l'aire d'un triangle de côté de base $0,82\times10^3\,dm$ et de hauteur relative à ce côté $2,4\times10^4\,dm$.
\end{enumerate}
\exo{4}
\begin{enumerate}
\item Construis un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB=9\,cm$ et $BC=15\,cm$.
\item Calcule la valeur exacte de $AC$.
\item Le cercle de centre $B$ et de rayon $BA$ coupe le segment $[BC]$ en $M$. La parallèle à la droite $(AC)$ passant par $M$ coupe le segment $[AB]$ en $N$.\par Calcule les longueurs $BN$ et $MN$.
\item Calcule la longueur $AM$.
\end{enumerate}
\exo{5} Soit un cercle $\cal C$ de diamètre $[AB]$ tel que $AB=12\,cm$. On appelle $O$ le centre du cercle $\cal C$. Soit ${\cal C}'$ le cercle de diamètre $[AO]$. Soit $M$ un point du cercle $\cal C$ tel que $BM=4\,cm$. La droite $(AM)$ coupe le cercle ${\cal C}'$ en $N$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature des triangles $AON$ et $ABM$ ? Justifie.
\item Calcule la longueur $AM$ puis donne-en une valeur approchée au $mm$.
\item Montre que les droites $(ON)$ et $(MB)$ sont parallèles.
\par Déduis-en que $N$ est le milieu du segment $[AM]$ et que $ON=2\,cm$.
\end{enumerate}
\vfill\pagebreak
\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir Surveillé de Mathématiques n°5\hfill401DS5}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo{1}\par
\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics{401dstous.1}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7.5cm}
{\em L'unité est le centimètre. La figure n'est pas en vraie grandeur.}
\par On donne $AB=x$.\par
Dans le quadrilatère $ABCD$, $BC$ est le double de $AB$, $CD$ mesure $3\,cm$ de moins que $AB$ et $AD$ mesure $5\,cm$ de plus que $AB$.
\begin{enumerate}
\item Exprime les longueurs $BC,\,CD$ et $AD$ en fonction de $x$.
\item Exprime le périmètre $\cal P$ de $ABCD$ en fonction de $x$.
\par Réduis l'expression obtenue.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\exo{2} Développe et réduis les expressions suivantes
$$\Eqalign{
E&=2(x-1)+4\qquad&F&=-4(2x+1)-5\cr
G&=-(3+x)+x(x-2)&H&=5(4-x)-x(x-4)\cr
}$$
\exo{3} Soit un cercle $\cal C$ de centre $O$, de rayon $4\,cm$ et $[AB]$ un diamètre de ce cercle. $M$ est un point du cercle $\cal C$ tel que le triangle $OBM$ soit équilatéral.
\par Calcule la longueur $AM$.
\exo{4}\par Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B$ tel que $AB=6\,cm$ et $BC=8\,cm$.
\begin{enumerate}
\item Calcule la longueur $AC$.
\item Le cercle $(\cal C)$ de centre $I$ et de diamètre $[AB]$ coupe la droite $(AC)$ en $D$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle $ABD$ ? Justifie.
\item Détermine la mesure de l'angle $\widehat{DAB}$.
\item Calcule l'aire du triangle $ABC$.
\item Montre que la longueur $BD$ mesure $4,8\,cm$.
\item Calcule la longueur $DC$.
\end{enumerate}
\item La parallèle à la droite $(BD)$ passant par $A$ coupe le cercle $(\cal C)$ en $E$ et la droite $(BC)$ en $F$.
\par Quelle est la nature du quadrilatère $AEBD$ ?
\item
\begin{enumerate}
\item Prouve que les droites $(BD)$ et $(AF)$ sont parallèles.
\item Déduis-en les longueurs $AF$ et $FC$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vfill\pagebreak
\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir Surveillé de Mathématiques n°6\hfill401DS6}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo{1} Soit un rectangle $ABCD$ tel que $AB=6\,cm, BC=10\,cm$.
\begin{enumerate}
\item Soit $M$ un point du segment $[BC]$ tel que $BM=x$.\par On appelle $\cal A$ l'aire du triangle $AMD$.
\begin{enumerate}
\item Exprime, en fonction de $x$, l'aire du triangle rectangle $AMB$.
\item Exprime, en fonction de $x$, l'aire du triangle rectangle $DMC$.
\item Déduis-en l'expression de $\cal A$ en fonction de $x$. Que remarque-t-on ?
\end{enumerate}
\item On considère maintenant le rectangle $ABCD$ et les points $E$ et $F$ respectivement sur les segments $[AB]$ et $[DC]$ tel que $AE=DF=x$.  Soit $I$ le milieu du segment $[AD]$ (on fera une nouvelle figure)
\par Montre que l'aire $\cal B$ du pentagone $BEIFC$, exprimée en $cm^2$ est $${\cal B}=60-5x$$
\end{enumerate}
\exo{2} En détaillant les calculs, écrire chaque expression sous la forme d'un entier multiplié par une puissance de 10.
$$\Eqalign{
A&=12\times10^7\times15\times10^4\qquad&B&=\frac{45\times10^{6}}{9\times10^3}\qquad&C&=\frac{0,25\times10^9\times8\times10^{-3}}{5\times10^{-5}}\cr
}$$
\exo{3}
 \begin{enumerate}
\item Construis un triangle $ACD$, rectangle en $C$ tel que $CD=7,5\,cm$ et $AD=12,5\,cm$.
\item Calcule la longueur $AC$.
\item Calcule la mesure de l'angle $\widehat{ACD}$.
\item Soit $\cal C$ le cercle de diamètre $[AD]$. Pourquoi le point $C$ appartient-il au cercle $\cal C$ ?
\item Soit $M$ le point du segment $[CD]$ tel que $CM=2,5\,cm$.\par La perpendiculaire à la droite $(CD)$ passant par $M$ coupe le segment $[AD]$ en $N$.
\begin{enumerate}
\item Montre que les droites $(MN)$ et $(AC)$ sont parallèles.
\item Calcule les longueurs $DN$ et $MN$.
\item Calcule l'aire du triangle $DMN$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calcule la longueur $AM$ arrondie au dixième près.
\item Construis le cercle circonscrit au triangle $ACM$.
\par On précisera la position de son centre $I$ et son rayon.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\exo{4} On considère un point $A$ sur une droite $(d)$ et un point $B$ extérieur à la droite $(d)$. On note $(d_1)$ la médiatrice du segment $[AB]$ et $(d_2)$ la perpendiculaire à la droite $(d)$ passant par $A$.
\begin{enumerate}
\item Fais une figure.
\item Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ se coupent en $I$ et soit $\cal C$ le cercle de
 centre $I$ et de rayon $IB$.
\par Pourquoi le point $A$ appartient-il au cercle $\cal C$?
\item Conclus que la droite $(d)$ est la tangente au cercle $\cal C$ en $A$.
\end{enumerate}
\vfill\pagebreak
\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir Surveillé de Mathématiques n°7\hfill401DS7}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo{1} Reproduis et complète le tableau ci-dessous en y portant les valeurs prises par $D=18x^2-27x+10$ pour les valeurs indiquées de $x$. On {\bf indiquera} tous les calculs sur la copie.
$$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$&0&1&$-2$&$\dfrac{\strut 1}{\strut 3}$\\
\hline
$D$&&&&\\
\hline
\end{tabular}
$$
\exo{2} On donne
$A=\dfrac{10}{3}-\dfrac{5}{4}\times\dfrac{4}{9}$ et $B=\left(\dfrac{4}{5}-\dfrac{7}{5}\right)^2$.
\par Calcule les valeurs de $A$ et $B$ puis montre que $A\times B=1$. Que peut-on dire de $B$ par rapport à $A$ ?
\exo{3} Calcule les valeurs des expressions suivantes
$$\Eqalign{
A&=(-3)^3+2\times(-5)^2\kern5mm&B&=\frac{3\times10^5\times5,4\times10^{-3}}{0,9\times10^4}\kern5mm&C&=\frac{216\times\left(5\times10^{-1}\right)^2}{25\times\left(6\times10^{-1}\right)^3}\cr
}$$
\exo{4}
\par\begin{minipage}{7cm}
$$\includegraphics[scale=0.8]{401dstous.2}$$
\end{minipage}
\hfill\begin{minipage}{6cm}
 Les dimensions d'un parallélépipède rectangle sont indiqués sur la figure ci-contre.
\begin{enumerate}
\item Montre que la longueur $HA$ mesure $10\,cm$.
\item Calcule la mesure, à un degré près, de l'angle $\widehat{HAD}$.
\item Calcule la longueur $HB$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\exo{5} L'unité est le centimètre.\par Soit un segment $[AC]$ de longueur 15, $F$ le point du segment $[AC]$ tel que $AF=6$ et $O$ le milieu du segment $[AF]$.\par $(d)$ est la droite perpendiculaire à la droite $(AC)$ passant par $O$. $B$ est un point de la droite $(d)$ tel que $BO=6$.
\begin{enumerate}
\item Fais une figure {\bf ci-dessous} (on la complétera au fur et à mesure des questions).
\item Prouve que $AB=\sqrt{45}$ puis que $BC=\sqrt{180}$.
\item Démontre que les droites $(AB)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
\item Le cercle $\cal C$ de diamètre $[FC]$ recoupe la droite $(BC)$ en $H$.
 Démontre que $FHC$ est un triangle rectangle.
\item Prouve que les droites $(AB)$ et $(FH)$ sont parallèles.
\item Montre que $CF=9$; déduis-en la longueur du rayon du cercle $\cal C$
\end{enumerate}
\vfill\pagebreak
\hrule
\vspace{2mm}
{\bf Devoir Surveillé de Mathématiques n°8\hfill401DS8}
\vspace{2mm}
\hrule
\par
\exo{1}
\begin{enumerate}
\item Développe et réduis les expressions suivantes
$$\Eqalign{
A&=(x+3)\times(x+2)\hfill&B&=(2x-1)^2\cr
C&=1+(x+3)\times(2x+4)&D&=x+4-(x-1)\times(x+1)\cr
}$$
\item Calcule la valeur de $A$ pour $x=1$ et celle de $B$ pour $x=\dfrac{1}{2}$
\end{enumerate}
\exo{2} ${\cal R}_1$ est le rectangle $ADGM$ et ${\cal R}_2$ est le rectangle $EFGC$.
\par
\begin{minipage}{7cm}
$$\includegraphics[scale=0.85]{401dstous.3}$$
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{enumerate}
\item ${\cal P}_1$ et ${\cal P}_2$ sont les périmètres des rectangles ${\cal R}_1$ et ${\cal R}_2$ exprimés en $cm$.
\par Exprime ${\cal P}_1$ et ${\cal P}_2$ en fonction de $x$.
\item ${\cal S}_1$ et ${\cal S}_2$ sont les aires des rectangles ${\cal R}_1$ et ${\cal R}_2$ exprimées en $cm^2$.
\par Exprime ${\cal S}_1$ et ${\cal S}_2$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\exo{3} {\bf La figure donnée ne respecte pas les dimensions}
\par
\begin{minipage}{10cm}
$$\includegraphics[scale=0.85]{401dstous.4}$$
\end{minipage}
\par
$ABCD$ est un trapèze rectangle : ses bases sont $[AB]$ et $[CD]$; les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{BCD}$ sont droits; ses diagonales se coupent en $I$.
\par On donne les mesures suivantes en centimètre :\par
$ID=16;\,IC=12;\,IB=9;\,DC=20;\,BC=15$.
\begin{enumerate}
\item Reproduis sur la copie, la figure ci-dessous à l'échelle $\dfrac{1}{2}$ en laissant les tracés ayant permis la construction.
\item Prouve que les diagonales de ce trapèze sont perpendiculaires.
\end{enumerate}
\exo{4}
\begin{enumerate}
\item Pense à un nombre (par exemple 5). Ajoute 7 à ce nombre. Multiplie le résultat par 3. Retranche 20 au résultat. Retranche le triple du nombre auquel tu as pensé. Divise le résultat par 2.
\par Combien trouves-tu ?
\item Démontre que quel que soit le nombre que tu choisis au départ, le résultat trouvé est le même (on pourra appeller $x$ le nombre du départ).
\end{enumerate}
\exo{5}
\begin{enumerate}
\item Construis un triangle $ABC$ tel que $AB=4\,cm$, $AC=2,5\,cm$ et $BC=5cm$.
\item
\begin{enumerate}
\item Quelle est l'image du point $A$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ ?
\item Construis l'image du triangle $ABC$ par cette translation. Note $B'$ l'image de $B$ et $C'$ celle de $C$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère $ABC'C$ ? Explique pourquoi.
\item Démontre que le quadrilatère $BB'C'C$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}
\item Par quelle symétrie le triangle $CBC'$ est-il l'image du triangle $ABC$ ? du triangle $BC'B'$ ? Dans les deux cas, détaille la réponse.
\item
\begin{enumerate}
\item Quelle est l'image de $B$ par la translation qui transforme $A$ en $C$ ? Justifie la réponse.
\item Construis l'image du triangle $ABC$ par cette translation. Note $C''$ l'image de $C$.
\item Quelles sont les dimensions du triangle $AC''B'$ ? Explique pourquoi.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}