\documentclass[twocolumn]{article} %\documentclass[a4paper]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[LGR,T1]{fontenc} \usepackage[greek,frenchb]{babel} \usepackage{amsmath,tabularx,multicol} \usepackage[dvips]{graphicx} \input christ5.tex \pagestyle{empty} \columnseprule0.25pt \parindent0pt \parskip6pt %site et impression \topmargin0pt\headheight0pt\headsep0pt\footskip0pt \usepackage[dvips,a4paper,landscape,margin=8mm]{geometry} \begin{document} \small \hrule \vspace{2mm} {\bf Correction du Devoir de Mathématiques n°2\hfill402DM02c}\par \vspace{2mm} \hrule \vspace{2mm} \exo \begin{enumerate} \item{\em Trace un parallélogramme $ABCD$ de centre $I$ tel que $AB=5\,cm$, $BC=3\,cm$ et $\widehat{ABC}=65°$.} \item{\em Calcule son périmètre.} $$\Eqalign{ {\cal P}_{ABCD}&=2\times(AB+BC)\cr {\cal P}_{ABCD}&=2\times(5+3)\cr {\cal P}_{ABCD}&=16\,cm\cr }$$ \item{\em Place un point $M$ à l'extérieur du parallélogramme $ABCD$. Construis le point $N$ tel que le quadrilatère $MDNB$ soit un parallélogramme. Explique ta construction.} \par Le quadrilatère $MDNB$ doit être un parallélogramme donc ses côtés opposés doivent être parallèles deux à deux. Je trace la droite $(d_1)$, parallèle à la droite $(MB)$ passant par $D$ et la droite $(d_2)$, parallèle à la droite $(MD)$ passant par $B$. Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ se coupent en $N$. \item \begin{enumerate} \item{\em Quel est le milieu du segment $[MN]$ ? Justifie la réponse.}\par Comme $MBDN$ est un parallélogramme alors ses diagonales $[BD]$ et $[MN]$ ont le même milieu. Or, $I$ est le milieu du segment $[BD]$. Donc $I$ est aussi le milieu du segment $[MN]$. \item{\em Déduis-en que le quadrilatère $MANC$ est un parallélogramme.} \par On sait que $I$ est le milieu du segment $[AC]$ (d'après l'énoncé) et que $I$ est le milieu du segment $[MN]$ (d'après la question précédente). Donc le quadrilatère $MANC$ a ses diagonales qui ont le même milieu donc $MANC$ est un parallélogramme. \end{enumerate} \end{enumerate} \exo{\em Soit $EFC$ un triangle tel que $EF=6\,cm$, $EC=4\,cm$, $FC=8\,cm$. Dans le triangle $EFC$, la hauteur issue de $E$ coupe la droite $(FC)$ en $E'$ et la hauteur issue de $F$ coupe la droite $(EC)$ en $F'$.} \begin{enumerate} \item{\em Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle $EE'F$ ? Quel est le rayon de ce cercle ?} \par Le triangle $EE'F$ est rectangle en $E'$ donc le centre de son cercle circonscrit est le milieu du segment $[EF]$ et son rayon est $\dfrac{1}{2}EF$. \item{\em Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle $FF'E$ ? Quel est le rayon de ce cercle ?} \par Le triangle $FF'E$ est rectangle en $F'$ donc le centre de son cercle circonscrit est le milieu du segment $[EF]$ et son rayon est $\dfrac{1}{2}EF$. \item{\em Explique alors pourquoi les points $E$, $F$, $E'$, $F'$ sont sur un même cercle.} \par Les points $E'$ et $F'$ sont sur le cercle de diamètre $[EF]$ donc les points $E$, $F$, $E'$ et $F'$ sont sur un même cercle. \end{enumerate} \exo {\em Soit un cercle $({\cal C})$ de centre $O$, de rayon $3\,cm$ et $[BC]$ un diamètre de ce cercle. Sur le cercle $({\cal C})$, on place un point $I$ tel que $\widehat{BCI}=30°$.} \begin{enumerate} \item{\em Fais une figure.} \item{\em Quelle est la nature du triangle $BIC$ ? Justifie la réponse.} \par $I$ appartient au cercle de diamètre $[BC]$ donc le triangle $BIC$ est rectangle en $I$. \item{\em Calcule la mesure des angles $\widehat{IBO}$ et $\widehat{IOC}$.} \begin{multicols}{2} \par Dans le triangle $BIC$, on a $$\Eqalign{ \widehat{BIC}+\widehat{ICB}+\widehat{CBI}&=180\cr 90+30+\widehat{CBI}&=180\cr 120+\widehat{CBI}&=180\cr \widehat{CBI}&=180-120\cr \widehat{CBI}&=60°\cr }$$ \par Les points $I$ et $C$ appartiennent au cercle de centre $O$ donc $OI=OC$ et le triangle $IOC$ est isocèle en $O$. Alors les angles $\widehat{OCI}$ et $\widehat{OIC}$ sont égaux à 30°. \par Dans le triangle $OIC$, on a $$\Eqalign{ \widehat{IOC}+\widehat{OCI}+\widehat{CIO}&=180\cr \widehat{IOC}+30+30&=180\cr \widehat{IOC}+60&=180\cr \widehat{IOC}&=180-60\cr \widehat{IOC}&=120°\cr }$$ \end{multicols} \end{enumerate} \exo{\em Détermine la valeur des expressions suivantes pour $x=2$, $y=-3$, $z=-5$ puis pour $x=-4$, $y=-1$, $z=-2$.} $$\Eqalign{ A&=4\times x-2\times y+3\times z\kern1cm&B&=xy+yz+zx\cr A&=4\times2-2\times(-3)+3\times(-5)&B&=2\times(-3)+(-3)\times(-5)+(-5)\times2\cr A&=8-(-6)+(-15)&B&=-6+(+15)+(-10)\cr A&=8+(+6)+(-15)&B&=-6+15-10\cr A&=14+(-15)&B&=9-10\cr A&=-1&B&=-1\cr }$$ \par $$\Eqalign{ A&=4\times x-2\times y+3\times z\kern1cm&B&=xy+yz+zx\cr A&=4\times(-4)-2\times(-1)+3\times(-2)&B&=(-4)\times(-1)+(-1)\times(-2)+(-2)\times(-4)\cr A&=-16-(-2)+(-6)&B&=4+2+8\cr A&=-16+(+2)-6&B&=14\cr A&=-14-6\cr A&=-20\cr }$$ \exo Calcule la valeur de chacune des expressions suivantes : $$\Eqalign{ D&=\left[-9-(-3)\right]\times\left[16\div(-4)\right]\kern5mm&E&=\left(8\times\left[-1-(-2)\right]\right)\div(-4)\kern5mm&F&=\frac{8-(-1)\times4}{-5+2}\cr D&=[-9+(+3)]\times(-4)&E&=(8\times[-1+(+2)])\div(-4)&F&=\frac{8-(-4)}{-3}\cr D&=-6\times(-4)&E&=(8\times1)\div(-4)&F&=\frac{8+(+4)}{-3}\cr D&=24&E&=8\div(-4)&F&=\frac{12}{-3}\cr &&E&=-2&F&=-4\cr }$$ \end{document}