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\input christ5.tex

%%essai de changement de style 
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%fin d'essai de changement de style

\title{\newlength{\totcp}
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\Huge\bfseries Un cours de 4\ieme
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\begin{document}
\special{header=/home/christophe/Documents/4eme/livret/cadrea4.pro}
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\maketitle
\setcounter{tocdepth}{0}
{\small
\tableofcontents
}
\part{Numérique}
\chapter{Produit et quotient de 2 nombres relatifs}
\section{Multiplication de deux nombres relatifs}
$$\encadrecouleur{fond1}{
Le produit de deux nombres relatifs de même signe est {\sc positif}.
\par Le produit de deux nombres relatifs de signes est {\sc négatif}.
}$$
\par\underline{Exemples}
$(-2)\times(-3)=+6$\hfill$(-4)\times(+6)=-24$\hfill$(+7)\times(-3)=-21$
\begin{leftbar}
\paragraph{Multiplication par 0}
\Si $a$ est un nombre relatif quelconque \alors $a\times0=0\times a=0$.
\paragraph{Multiplication par $-1$}
Multiplier un nombre relatif par $-1$, c'est prendre l'opposé de ce
nombre.
$$(-1)\times a= a\times(-1)=-a$$
\paragraph{Distributivité}
\Si $a,b,k$ sont trois nombres relatifs quelconques \alors
$$k\times(a+b)=k\times a + k\times b\qquad\qquad k\times(a-b)=k\times
a - k\times b$$
\end{leftbar}
\section{Signe d'un produit de plusieurs facteurs}
$$\encadrecouleur{fond1}{Lorsque l'on multiplie des nombres relatifs
différents de 0 :
\begin{itemize}
\item s'il y a un nombre {\sc pair} de facteurs {\bf négatifs} alors
le produit est {\sc positif}.
\item s'il y a un nombre {\sc impair} de facteurs {\bf négatifs} alors
le produit est {\sc négatif}.
\end{itemize}
}$$
\par\underline{Exemples} Soit
$A=(-4)\times3\times(-7)\times(-110)\times(-17)$.\par $A$ est positif
car il y a 4 facteurs négatifs (4 est pair).
\par Soit $B=13\times(-19)\times(-53)\times(-15)$.\par $B$ est négatif
car il y a 3 facteurs négatifs (3 est impair).
\section{Quotient de deux nombres relatifs}
\begin{leftbar}
Le nombre $x$ qui vérifie $ax=b$ (avec $a\not=0$) s'appelle
\underline{\bf le quotient} de $b$ par $a$.
 Il se note $\dfrac{b}{a}$ : $x=\dfrac{b}{a}$.
\end{leftbar}
$$\encadrecouleur{fond1}{Le quotient de deux nombres relatifs de même signe
est {\sc positif}.\par Le quotient de deux nombres relatifs de signes
différents est {\sc négatif}.
}$$
\par\underline{Exemples}
$\dfrac{-7}{-2}=\dfrac{7}{2}=3,5$\hfill$\dfrac{-9}{3}=\dfrac{9}{-3}=-
\dfrac{9}{3}=-3$
\section{Inverse d'un nombre relatif différent de 0}
\begin{leftbar}
\underline{\bf L'inverse} d'un nombre relatif $x$ (avec $x\not=0$) est
le quotient de 1 par $x$; on le note $\dfrac{1}{x}$.
$$x\times\frac{1}{x}=1$$
\end{leftbar}
\chapter{Nombres relatifs en écriture fractionnaire}
\section{Quotients égaux de 2 nombres relatifs.}
\begin{leftbar}
Le quotient de deux nombres relatifs ne change pas lorsque
l'on multiplie (ou on divise) ces deux nombres par un même nombre
relatif non nul (différent de 0).
$$\frac{a}{b}=\frac{a\times c}{b\times c}\qquad\frac{a}{b}=\frac{a\div
c}{b\div c}\quad (b\not=0; c\not=0)$$
\end{leftbar}
\par\underline{Exemples}\hfill $\dfrac{0,3}{-20}=\dfrac{0,3\times10}{-20\times10}=\dfrac3{-200}=-\dfrac3{200}$
\hfill $\dfrac{-18}{12}=\dfrac{(-3)\times6}{2\times6}=\dfrac{-3}2=-\dfrac32$ (Simplification)\hfill
\section{Addition et soustraction de deux fractions}
\paragraph{Les dénominateurs sont identiques}\subitem{}\par
$$\encadrecouleur{fond1}{Pour additionner (ou soustraire) deux
 fractions de même dénominateur, on additionne (ou on soustrait) les
 numérateurs et on garde le même dénominateur.
$$\frac{a}{k}+\frac{b}{k}=\frac{a+b}{k}\qquad\frac{a}{k}-\frac{b}{k}=\frac{a-b}{k}\qquad(k\not=0)$$
}$$
\par\underline{Exemples}\hfill $\dfrac{-7}3+\dfrac23=\dfrac{-7+2}3=\dfrac{-5}3=-\dfrac53$
\hfill $\dfrac15-\dfrac35=\dfrac{1-3}5=\dfrac{-2}5=-\dfrac25$\hfill
\paragraph{Les dénominateurs sont différents}\subitem{}\par
$$\encadrecouleur{fond1}{Pour additionner (ou soustraire) deux
fractions de dénominateurs différents, on les réduit au même
dénominateur et on applique la règle précédente.}
$$
\par\underline{Exemples}\hfill $\dfrac{-1}3+\dfrac52=\dfrac{-2}6+\dfrac{15}6=\dfrac{-2+15}6=\dfrac{13}6$\hfill On cherche un multiple de 3 et de 2.
\par\vspace{3mm}\par
$\dfrac54-\dfrac76=\dfrac{15}{12}-\dfrac{14}{12}=\dfrac{15-14}{12}-\dfrac1{12}$\hfill On cherche un multiple de 4 et 6.
\section{Multiplication de deux fractions}
$$\encadrecouleur{fond1}{Pour multiplier deux fractions, on multiplie
les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
$$\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}\qquad(b\not=0;\,d\not=0)$$
}$$
\par\underline{Exemples}\hfill$\dfrac35\times\dfrac{-2}7=\dfrac{3\times(-2)}{5\times7}=\dfrac{-6}{35}$\hfill$4\times\dfrac95=\dfrac41\times\dfrac95=\dfrac{4\times9}{1\times5}=\dfrac{36}5$.\hfill
\section{Division de deux fractions}
$$\encadrecouleur{fond1}{Diviser par un nombre relatif différent de 0,
c'est multiplier par l'inverse de ce nombre.
$$\frac{a}{b}=a\times\frac{1}{b}\quad(b\not=0)$$
}$$
\par\underline{Exemple} $\dfrac{-2}{0,25}=-2\times\dfrac{1}{0,25}=-2\times4=-8$.\par\begin{leftbar}
L'inverse de la fraction $\dfrac{c}{d}$ est la fraction $\dfrac{d}{c}$ (avec $c\not=0;\,d\not=0$).
\end{leftbar}
$$\encadrecouleur{fond1}{Diviser par une fraction $\dfrac{c}{d}$
($c\not=0;\,d\not=0$), c'est multiplier par l'inverse de cette
fraction.
$$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$$
}
$$
\par\underline{Exemples}\hfill$\dfrac34\div\dfrac75=\dfrac34\times\dfrac57=\dfrac{3\times5}{4\times7}=\dfrac{15}{28}$\hfill$\dfrac43\div9=\dfrac43\div\dfrac91=\dfrac43\times\dfrac19=\dfrac4{27}$.\hfill

\chapter{Les Puissances}
\section{Puissances de 10}
\paragraph{Définitions}\subitem{}\par
\begin{leftbar}
Une puissance de 10 se note sous la forme $10^m$ où $m$ est un nombre relatif. Dans cette écriture, $m$ est appelé {\em l'exposant}.
\end{leftbar}
$$\encadrecouleur{fond1}{
\begin{itemize}
\item{\bf L'exposant est un entier positif}\par
Soit $m$ un entier positif. Alors
$$10^0=1\mbox{ et }10^1=10$$
$$10^m=\underbrace{10\times10\times10\times\ldots\times10}_{\mbox{$m$ fois le nombre 10}}=1\underbrace{000\ldots0}_{\mbox{$m$ zéros}}$$
\end{itemize}
}$$
\underline{Exemples}
$$10^3=10\times10\times10=1\,000\kern1cm10^5=10\times10\times10\times10\times10=100\,000$$
$$\encadrecouleur{fond1}{
\begin{itemize}
\item{\bf L'exposant est un entier positif}\par
Soit $m$ un entier positif. Alors
$$10^{-m}=\frac1{10^m}=\underbrace{0,00\ldots0}_{\mbox{$m$ zéros}}1$$
\end{itemize}
}$$
\underline{Exemples}
$$10^{-3}=\frac1{10^3}=0,001\kern1cm10^{-5}=\frac1{10^5}=0,000\,01$$
\paragraph{Formules de calculs}\subitem{}\par
$$\encadrecouleur{fond1}{({\sc Admis}) Soit $m$ et $n$ 2 nombres entiers relatifs.$$10^m\times10^n=10^{m+n}\kern2cm\frac{10^m}{10^n}=10^{m-n}\kern2cm\left(10^m\right)^n=10^{m\times n}$$
}$$
\underline{Exemples}
$$\Eqalign{
10^4\times10^{-2}&=10^{4+(-2)}=10^2\cr
\cr
\frac{10^4}{10^{-2}}&=10^{4-(-2)}=10^{4+2}=10^6\cr
\cr
\left(10^4\right)^{-2}&=10^{4\times(-2)}=10^{-8}\cr
}$$
\paragraph{Ecriture scientifique d'un nombre décimal}\subitem{}\par
$$\encadrecouleur{fond1}{{\em L'écriture scientifique} d'un nombre décimal est l'écriture de ce nombre sous la forme $a\times10^p$ où $a$ est un nombre décimal ayant un seul chiffre non nul (différent de 0) avant la virgule et $p$ un entier relatif}$$
\underline{Exemples}\\L'écriture scientifique de 385 est $3,85\times10^2$.
\\L'écriture scientifique de $A=35\,48\times10^4$ est
$$\Eqalign{
A&=3,548\times10^1\times10^4\cr
A&=3,548\times10^{1+4}\cr
A&=3,548\times10^5\cr
}$$
\section{Puissance d'un entier relatif}
$$\encadrecouleur{fond1}{Soit $n$ un nombre entier positif.
$$a^n=\underbrace{a\times a\times a\times\dots\times a}_{n\mbox{ fois}}\quad (n\geq 2)\qquad a^1=a\qquad a^0=1$$
$$a^{-n}=\frac1{a^n}$$
}$$
\par\underline{Exemples}
$$\Eqalign{
2^5&=2\times2\times2\times2\times2=\ldots\kern1cm&(-5)^3&=(-5)\times(-5)\times(-5)=\ldots\cr
\cr
5^{-3}&=\frac1{5^3}&(-2)^{-4}&=\frac1{(-2)^4}\cr
}$$
\paragraph{Utilisation de la calculatrice}\subitem{}\par
Touche \fbox{$\uparrow$} ou \fbox{$y^x$} ou \fbox{$x^y$}.
\par{\hfill$(-5)^3=\quad\underbrace{(\,5\,\pm\,)\,\uparrow\,3\,=}_{\mbox{calculatrice}}\quad-125$\hfill$2^5=\quad\underbrace{2\,\uparrow\,5=}_{\mbox{calculatrice}}\quad32$\hfill}
\paragraph{Opérations sur les puissances}
$$\encadrecouleur{fond1}{({\sc Admis}) Si $a$ est un entier relatif non nul et si $m$ et $n$ sont des entiers relatifs alors
$$a^m\times a^n=a^{m+n}\kern1cm\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\kern1cm\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}\kern1cm a^m\times b^m=(a\times b)^m$$
}$$
{\underline{Exemples}
$$\Eqalign{
2^4\times2^{-3}&=2^{4+(-3)}=2^1=2\kern1cm&\frac{4^2}{4^6}&=4^{2-6}=4^{-4}=\frac1{4^4}\cr
\cr
\left(5^3\right)^{-2}&=5^{3\times(-2)}=5^{-6}=\frac1{5^6}&7^3\times4^3&=\left(7\times4\right)^3=28^3\cr
}$$



\chapter{Calcul littéral}
Un expression littérale est une expression mathématique qui contient une (ou des) lettre(s). Par exemple, $2x+3$, $-3y+5t$,\ldots
\section{Simple distributivité}
$$\encadrecouleur{fond1}{Soit $k$, $a$ et $b$ 3 expressions quelconques. Alors
$$k\times(a+b)=k\times a+k\times b$$
}$$
\par\underline{Exemples} Développer $C=3(x+1)$ et $D=-4(1-x)$
\par\begin{multicols}{2}
$$\Eqalign{
C&=3(x+1)\qquad(k=3;a=x;b=1)\cr
C&=3\times x+3\times1\qquad(k\times a+k\times b)\cr
C&=3x+3\cr
}$$\par
$$\Eqalign{
D&=-4(1-x)\qquad(k=-4;a=1;b=-x)\cr
D&=-4\times1+(-4)\times(-x)\qquad(k\times a+k\times b)\cr
D&=-4+4x\cr
}$$
\end{multicols}
\paragraph{Application : Regroupement de termes}\subitem{}\par
\underline{Exemples} : 
$$\Eqalign{
A&=2x+3x\kern1cm&B&=5x-8x\cr
A&=(2+3)x&B&=(5-8)x\cr
A&=5x&B&=-3x\cr
}
$$
\section{Suppression des parenthèses}
$$\encadrecouleur{fond1}{\underline{Règle 1} Dans une suite d'additions et de soustractions, on peut supprimer les parenthèses précédées du signe $+$ (ainsi que ce $+$) sans changer l'expression entre parenthèses.}$$
\par{\underline{Exemples}\hfill$a+(b+c)=a+b+c$\hfill$a+(-b+c)=a-b+c$\hfill$(a+b)-c=a+b-c$\hfill}
$$\encadrecouleur{fond1}{\underline{Règle 2} Dans une suite d'additions et de soustractions, on peut supprimer les parenthèses précédées du signe $-$ (ainsi que ce $-$) à condition de changer {\bf tous} les signes de l'expression entre parenthèses.}$$
\par{\underline{Exemples}\hfill$a-(b+c)=a-b-c$\hfill$a-(-b+c)=a+b-c$\hfill}
\section{Réduction d'une expression littérale}\subitem{}\par
\begin{leftbar}
Réduire une expression littérale, c'est l'écrire le plus simplement possible avec le moins de termes possibles.
\end{leftbar}
\par\underline{Exemples}
\begin{multicols}{2}
Réduire l'expression $A=3x^2+x-(x^2+3x-1)$
$$\Eqalign{
A&=3x^2+x-(x^2+3x-1)\cr
A&=3x^2+x-x^2-3x+1\cr
A&=3x^2-x^2+x-3x+1\cr
A&=2x^2-2x+1\cr
}$$
\par Développer et réduire $B=3(x+1)+2(-x+2)$
$$\Eqalign{
B&=3(x+1)+2(-x+2)\cr
B&=3\times x+3\times 1 + (2\times(-x)+2\times2)\cr
B&=3x+3+(-2x+4)\cr
B&=3x+3-2x+4\cr
B&=3x-2x+3+4\cr
B&=x+7\cr
}$$
\end{multicols}
\section{Double distributivité}
$$\encadrecouleur{fond1}{Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ 4 expressions mathématiques. Alors
$$(\rnode{A}{a}+\rnode{B}{b})\times(\rnode{C}{c}+\rnode{D}{d})=\textcolor{LightRed}{a\times c}+\textcolor{LightBlue}{a\times d}+b\times c+\textcolor{LightOrange}{b\times d}$$
}$$
\ncarc[linecolor=LightRed,arcangle=90]{->}{A}{C}
\ncarc[linecolor=LightBlue,arcangle=90]{->}{A}{D}
\ncarc[arcangle=-90]{->}{B}{C}
\ncarc[linecolor=LightOrange,arcangle=-90]{->}{B}{D}
\underline{Exemples}
$$\Eqalign{
A&=(x+2)\times(x+3)\kern1cm&B&=(2x+3)\times(x-5)\cr
A&=x\times x+x\times3+2\times x+2\times3&B&=2x\times x+2x\times(-5)+3\times x+3\times(-5)\cr
A&=x^2+3x+2x+6&B&=2x^2+(-10x)+3x+(-15)\cr
A&=x^2+5x+6&B&=2x^2-10x+3x-15\cr
&&B&=2x^2-7x-15\cr
\cr
C&=(3x-1)\times(5-2x)\cr
C&=3x\times5+3x\times(-2x)+(-1)\times5+(-1)\times(-2x)\cr
C&=15x+(-6x^2)+(-5)+2x\cr
C&=15x-6x^2-5+2x\cr
C&=-6x^2+17x-5\cr
}$$

\chapter{Equations du 1\ier{} degré à 1 inconnue}
\section{Egalités et opérations}
\begin{leftbar}
Lorsque deux quantités sont égales, cela se traduit mathématiquement par {\em une égalité.}
$$\underbrace{\mbox{expression A}}_{\mbox{1\ier{} membre}}=\underbrace{\mbox{expression B}}_{\mbox{2\ieme{} membre}}$$
\end{leftbar}
$$\encadrecouleur{fond1}{On ne change pas une égalité si on ajoute (ou on soustrait) le même nombre aux deux membres de l'égalité.
\begin{center}
\Si $a=b$ \alors $a+c=b+c$.
\\\Si $a=b$ \alors $a-d=b-d$.
\end{center}
}$$
\par\underline{Exemple} :
$$\Eqalign{
\rnode{A}{}&&2\mbox{ cahiers }+2\mbox{ livres }&=1\mbox{ cahier }+15\mbox{\textgreek{\euro}}&&\rnode{C}{}\cr
\cr
\rnode{B}{}&&1\mbox{ cahier }+2\mbox{ livres }&=15\mbox{\textgreek{\euro}}&&\rnode{D}{}\cr
}$$
\ncbar[angleA=-180]{->}{A}{B}
\nbput{$-1$ cahier}
\ncbar{->}{C}{D}
\naput{$-1$ cahier}
$$\encadrecouleur{fond1}{On ne change pas une égalité si on multiplie (ou on divise) par le même nombre \underline{\bf non nul} les deux membres de l'égalité.
\begin{center}
\Si $a=b$ et $c\not=0$ \alors $a\times c=b\times c$.
\\\Si $a=b$ et $d\not=0$ \alors $a\div d=b\div d$.
\end{center}
}$$
\par\underline{Exemple} :
$$\Eqalign{
\rnode{A}{}&&2\mbox{ cahiers }+2\mbox{ livres }&=30\mbox{\textgreek{\euro}}&&\rnode{C}{}\cr
\cr
\rnode{B}{}&&1\mbox{ cahier }+1\mbox{ livre }&=15\mbox{\textgreek{\euro}}&&\rnode{D}{}\cr
}$$
\ncbar[angleA=-180]{->}{A}{B}
\nbput{$\div2$}
\ncbar{->}{C}{D}
\naput{$\div2$}
\section{Equation du 1\ier{} degré à 1 inconnue}
$$\encadrecouleur{fond1}{{\em Une équation} est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, le plus souvent représenté par une lettre.}
$$
\underline{Exemple} : $2x=3$, $-2+3x=7+4x$ sont des équations.
$$\encadrecouleur{fond1}{{\em Résoudre une équation}, c'est trouver toutes les valeurs possibles du nombre inconnu qui vérifient l'égalité. Chacune de ces valeurs est appelée une solution de l'équation.}$$
\underline{Exemple} Soit l'équation $2x+5=3x+2$.
\\Si $x=1$ alors
$$\left.\begin{array}{l}
2x+5=2\times1+5=2+5=7\\
\\
3x+2=3\times1+2=3+2=5\\
\end{array}
\right\}7\not=5$$
Pour $x=1$, $2x+5\not=3x+2$ donc 1 n'est pas solution de l'équation $2x+5=3x+2$.
\\Si $x=3$ alors
$$\left.\begin{array}{l}
2x+5=2\times3+5=6+5=11\\
\\
3x+2=3\times3+2=9+2=11\\
\end{array}
\right\}7=5$$
Pour $x=3$, $2x+5=3x+2$ donc 3 est solution de l'équation $2x+5=3x+2$.
\paragraph{Equations de référence}\subitem{}\par
Pour ces éqations, $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des nombres et l'inconnue est notée $x$.
\par\psshadowbox{Cas n°1}
$$\color{red}a\times x=b\quad(a\not=0)$$
$$\Eqalign{
3x&=7\kern1cm&-5x&=8\cr
\frac{3x}{3}&=\frac73&\frac{-5x}{-5}&=\frac8{-5}\cr
x&=\frac73&x&=-\frac85\cr
}$$
\par\psshadowbox{Cas n°2}
$$\color{red}a\times x+b=c\quad(a\not=0,b\not=0)$$
$$\Eqalign{
-2x-5&=9\cr
-2x\underbrace{-5\mathbf{+5}}_{}&=9\mathbf{+5}\cr
-2x&=14&&{\color{LightOrange}\mbox{Cas n°1}}\cr
\frac{-2x}{-2}&=\frac14{-2}\cr
x&=-7\cr
}$$
\par\psshadowbox{Cas n°3}
$$\color{red}a\times x+b=c\times x +d\quad(a\not=0,c\not=0)$$
$$\Eqalign{
3x+5&=7x-9\cr
3x\mathbf{-7}x+5&=\underbrace{7x\mathbf{-7}x}_{}-9\cr
-4x+5&=-9&&{\color{LightOrange}\mbox{Cas n°2}}\cr
-4x\underbrace{+5\mathbf{-5}}&=9\mathbf{-5}\cr
-4x&=4\cr
\frac{-4x}{-4}&=\frac4{-4}\cr
x&=-1\cr
}$$
\section{Mise en équation d'un problème}
\begin{leftbar}Mettre en équation un problème, c'est traduire mathématiquement par une équation ce qui est dit en français.
\end{leftbar}
\par\underline{Exemple} {\em Un père de 45 ans a 3 enfants âgés de 6, 9 et 12 ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il égal à la somme des âges de ses enfants ?}
\begin{description}
\item[Choix de l'inconnue] Soit $x$ le nomnbre d'années cherché.
\item[Mise en équation du problème] Dans $x$ années,
\begin{itemize}
\item L'âge du père sera $45+x$ ;
\item Les âges des enfants seront $6+x$, $9+x$ et $12+x$.
\end{itemize}
On obtient donc l'équation suivante :
$$\underbrace{45+x}_{\mbox{âge du père}}=\underbrace{6+x+9+x+12+x}_{\mbox{Somme des âges des enfants}}$$
\item[Résolution de l'équation]
$$\Eqalign{
45+x&=6+x+9+x+12+x\cr
45+x&=27+3x\cr
45\underbrace{+x\mathbf{-}x}_{}&=27+3x\mathbf{-}x\cr
45&=27+2x\cr
45\mathbf{-27}&=\underbrace{27\mathbf{-27}}_{}+2x\cr
18&=2x\cr
\frac{18}2&=\frac{2x}2\cr
9&=x\cr
}$$
\item[Conclusion] Dans 9 ans, l'âge du père (45+9=54) sera égal à la somme des âges de ces enfants (6+9+9+9+12+9=15+18+21=54).
\end{description}


\chapter{Ordre}
\section{Vocabulaire}
\begin{leftbar}
{\em Comparer} deux nombres, c'est dire si l'un est plus grand ou plus petit que l'autre ou si les deux nombres sont égaux.
\end{leftbar}
Pour cela, on utilise les signes $>$, $<$, $\leqslant$ (plus petit ou égal) et $\geqslant$ (plus grand ou égal).
\begin{leftbar}
Lorsque deux quantités sont inégales, cela se traduit mathématiquement par {\em une inégalité}.
$$\underbrace{\mbox{expression A}}_{\mbox{1\ier{} membre}}<\underbrace{\mbox{expression B}}_{\mbox{2\ieme{} membre}}$$
\end{leftbar}
$$\encadrecouleur{fond1}{Soit deux nombres relatifs $a$ et $b$. Dire que :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] $a>b$ signifie que $a-b>0$ ;
\item[$\bullet$] $a<b$ signifie que $a-b<0$.
\end{itemize}
}$$
\section{Ordre et addition}
$$\encadrecouleur{fond1}{\Si on ajoute (ou on soustrait) le même nombre aux 2 membres de l'inégalité \alors on garde le sens de l'inégalité.
\begin{center}
Si $a<b$ alors $a+c<b+c$\qquad Si $a\geqslant b$ alors $a-d\geqslant b-d$
\end{center}
}$$
\underline{Exemple} :
$$\Eqalign{
\rnode{A}{}&&2\mbox{ cahiers }+2\mbox{ livres }&\leqslant1\mbox{ cahier }+15\mbox{\textgreek{\euro}}&&\rnode{C}{}\cr
\cr
\rnode{B}{}&&1\mbox{ cahier }+2\mbox{ livres }&\leqslant15\mbox{\textgreek{\euro}}&&\rnode{D}{}\cr
}$$
\ncbar[angleA=-180]{->}{A}{B}
\nbput{$-1$ cahier}
\ncbar{->}{C}{D}
\naput{$-1$ cahier}
\section{Ordre et multiplication}
$$\encadrecouleur{fond1}{\Si on multiplie (ou on divise) par un nombre \underline{\bf strictement positif} les 2 membres de l'inégalité alors on garde le sens de l'inégalité.
\begin{center} Si $a<b$ et $c>0$ alors $a\times c<b\times c$\end{center}
}$$
\underline{Exemples} :
$$\Eqalign{
\rnode{A}{}&&\pi&\rnode{E}{<}4&&\rnode{C}{}&\kern4cm\pi&>3\cr
\cr
\rnode{B}{}&&2\times\pi&\rnode{F}{<}2\times4&&\rnode{D}{}&2\times\pi&>2\times3\cr
&&2\pi&<8&&&2\pi&>6\cr
}$$
\ncbar[linecolor=LightOrange,angleA=-180]{->}{A}{B}
\nbput{$\times2$}
\ncbar[linecolor=LightOrange]{->}{C}{D}
\naput{$\times2$}
\ncline[linestyle=dashed,linecolor=red]{->}{E}{F}
{\huge\Lightning} Attention à ne pas multiplier par un nombre \underline{négatif}. $3>2$ mais $-4\times3=12$, $-4\times2=-8$ et $-12\not>-8$.


\part{Géométrique}


\chapter{Triangle rectangle et cercle}
\section{Rappels}
\begin{leftbar}
Le cercle circonscrit à un triangle $ABC$ est le cercle passant par
les 3 sommets du triangle. Son centre est le point d'intersection des
3 médiatrices du triangle.
\par\vspace{2mm}\par Le triangle $ABC$ est \underline{\bf inscrit}
dans le cercle $\cal C$ si le cercle $\cal C$ est circonscrit au
triangle $ABC$.
\end{leftbar}
\section{Cercle circonscrit à un triangle rectangle}
$$\encadrecouleur{fond1}{Le cercle circonscrit à un triangle rectangle
a pour centre le milieu de l'hypoténuse et a pour diamètre
l'hypoténuse de ce triangle rectangle.}$$
\par\compo{1}{trireccercle}{1}{Comme le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ \alors $A$ appartient au cercle de diamètre $[BC]$.}
\section{Triangle rectangle inscrit dans un cercle}
$$\encadrecouleur{fond1}{\Si l'on rejoint un point d'un cercle aux
extrémités d'un diamètre de ce cercle \alors on obtient un triangle
rectangle.}$$
\par\compo{2}{trireccercle}{1}{Comme $A$ est un point du cercle de diamètre $[BC]$ \alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
\vskip5mm\par Comme $M$ est un point du cercle de diamètre $[BC]$ \alors le triangle $MBC$ est rectangle en $M$.}

\chapter{Théorème des milieux}
\section{Le théorème des milieux}
$$\encadrecouleur{fond1}{Dans un triangle, si une droite passe par les
milieux de deux côtés alors cette droite est parallèle au
3\ieme{}côté.
\\De plus, la longueur du segment joignant ces deux milieux est égale
à la moitié de la longueur du 3\ieme{} côté.
}$$
\par\underline{Exemple}
\par\compo{1}{courstheomilieux}{1}{\begin{leftbar}
Dans le triangle $ABC$, $I$ est le milieu du segment $[AB]$ et $J$ est
 le milieu du segment $[AC]$. Donc les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont
 parallèles d'après le théorème des milieux.\par De plus,
 $IJ=\dfrac{1}{2}\times BC$.
\end{leftbar}
}
\section{Milieu et parallèle}
$$\encadrecouleur{fond1}{Dans un triangle, si une droite passe par le
milieu d'un côté et est parallèle à un second côté alors cette droite
coupe le troisième côté en son milieu.}
$$
\par\underline{Exemple}
\par\compo{2}{courstheomilieux}{1}{\begin{leftbar}
Dans le triangle $ABC$, la
parallèle à la droite $(AB)$ passant par $J$, milieu du segment
$[AC]$, coupe le segment $[BC]$ en $K$.\\Donc le point $K$ est le
milieu du segment $[BC]$.
\end{leftbar}}

\chapter{L'égalité des 3 rapports}
\section{L'égalité des 3 rapports}
\paragraph{Formulation}\subitem{}\par
$$\encadrecouleur{fond1}{
\compo{1}{coursthales}{1}{Dans un triangle $ABC$, si $M$ est un point du côté $[AB]$, $N$ un point du côté $[AC]$ et si
 les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles alors
$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$
$$\frac{\mbox{\footnotesize côtés du triangle }AMN}{\mbox{\footnotesize côtés correspondants du triangle }ABC}$$
}}$$
\paragraph{Remarques}\subitem{}\par
On dit aussi, dans cette configuration, que les longueurs des côtés du triangle
 $AMN$ sont {\em proportionnels} aux côtés correspondants du triangle $ABC$.
\par
\begin{leftbar}
\compo{2}{coursthales}{1}{Dans le cas où $M$ et $N$ appartiennent aux demi-droites $[AB)$ et $[AC)$ avec la droite
 $(MN)$ parallèle à la droite $(BC)$, on a encore
$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$
}
\end{leftbar}
\section{Application : calcul de longueur}
\compo{3}{coursthales}{1}{{\em L'unité est le centimètre. Les droites $(SV)$ et $(RU)$ sont parallèles.\\Calculer la longueur $RU$.}}
\par Dans le triangle $PUR$, $S$ est un point du segment $[PR]$ et $V$ est un point du segment $[PU]$ tels que les droites $(SV)$ et $(RU)$ soient parallèles. Donc, d'après \og{}l'égalité des 3 rapports\fg{}, on a
$$\frac{PS}{PR}=\frac{PV}{PU}=\frac{SV}{RU}\quad\mbox{ c'est à dire }\quad\frac{9}{13}=\frac{PV}{PU}=\frac{7}{RU}$$
\par On utilise
$$\Eqalign{
\frac{9}{13}&=\frac{7}{RU}\cr
\mbox{\bf Les produits en croix sont égaux}\cr
9\times RU&=7\times13\cr
9\times RU&=91\cr
RU&=\frac{91}9\cr
}$$
\par La longueur $RU$ mesure environ $10,1\,cm$.

\chapter{Le Théorème de Pythagore}
\section{Enoncé du théorème}
$$\encadrecouleur{fond1}{Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés de l'angle droit.}$$
\par\compo{1}{courspytha}{1}{\begin{leftbar}
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, le théorème de Pythagore permet d'écrire
$$AC^2=AB^2+BC^2$$
\end{leftbar}
}
\section{Application : calcul de longueur}
\begin{multicols}{2}
$$\includegraphics{courspytha.2}$$
Dans le triangle $EFG$ rectangle en $F$, le théorème de Pythagore permet d'écrire
$$\Eqalign{
EG^2&=EF^2+FG^2\cr
EG^2&=6^2+8^2\cr
EG^2&=36+64\cr
EG^2&=100\cr
EG&=10\cr
}$$
\par La longueur $EG$ mesure $10\,cm$.
\par
$$\includegraphics{courspytha.3}$$
Dans le triangle $RST$ rectangle en $R$, le théorème de Pythagore permet d'écrire
$$\Eqalign{
ST^2&=SR^2+RT^2\cr
9^2&=7^2+RT^2\cr
81&=49+RT^2\cr
RT^2&=81-49\cr
RT^2&=32\cr
RT&=\sqrt{32}\cr
RT&\approx5,66\cr
}$$
\par La longueur $RT$ mesure environ $5,66\,cm$.
\end{multicols}
\par
\begin{leftbar}
On appelle {\bf racine carrée} d'un nombre positif $a$, le nombre positif, noté $\sqrt{a}$, tel que son carré soit égal à $a$.
$$\left(\sqrt{a}\right)^2=a$$
\end{leftbar}
\section{La réciproque du théorème de Pythagore}
$$\encadrecouleur{fond1}{Dans un triangle $ABC$ tel que $BC$ soit le plus grand côté, \si $BC^2=AC^2+AB^2$ \alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
}$$
\underline{Exemples}
\begin{enumerate}
\item
{\em Est-ce que le triangle $RST$ tel que $RS=3\,cm$, $ST=4\,cm$ et $TR=5\,cm$ est un triangle rectangle ?
}
\par
\begin{leftbar}
Dans le triangle $RST$, $[RT]$ est le plus grand côté.
$$\left.\begin{array}{l}
TR^2=5^2=25\\
\\
RS^2+ST^2=3^2+4^2=9+16=25\\
\end{array}
\right\}TR^2=RS^2+ST^2$$
Comme $TR^2=RS^2+ST^2$, le triangle $RST$ est rectangle en $S$ d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
\end{leftbar}
\item
{\em Est-ce que le triangle $EHI$ tel que $EH=10,5\,cm$, $EI=8\,cm$ et $HI=6\,cm$ est un triangle rectangle ?}
\par
\begin{leftbar}
Dans le triangle $EHI$, $[EH]$ est le plus grand côté.
$$\left.\begin{array}{l}
EH^2=10,5^2=110,25\\
\\
EI^2+IH^2=8^2+6^2=64+36=100\\
\end{array}
\right\}EH^2\not=EI^2+IH^2$$
Donc le triangle $EHI$ n'est pas un triangle rectangle.
\end{leftbar}
\end{enumerate}

\chapter{Cosinus d'un angle aigu}
\section{Vocabulaire}
\begin{leftbar}
\compo{1}{courscosinus}{1}{Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ alors
\begin{itemize}
\item $[BA]$ est le \underline{\bf côté adjacent} de l'angle $\widehat{ABC}$,
\item $[AC]$ est le côté opposé à l'angle $\widehat{ABC}$,
\item $[BC]$ est l'\underline{\bf hypoténuse} du triangle rectangle.
\end{itemize}}
\end{leftbar}
\section{Cosinus d'un angle aigu}
$$\encadrecouleur{fond1}{
\compo{2}{courscosinus}{1}{Soit $\widehat{xOy}$ un angle aigu.\\\Si $OMM'$ et $ONN'$ sont deux triangles rectangles qui ont le
même angle aigu $\widehat{xOy}$ \alors
\vskip3mm
$$\frac{OM}{ON}=\frac{OM'}{ON'}$$
\vskip3mm
Cette valeur commune est appelée \og{\bf le cosinus de
  l'angle $\widehat{xOy}$}\fg{} et se note $\cos\widehat{xOy}$.
\vskip3mm
$$\cos\widehat{xOy}=\frac{OM}{ON}=\frac{OM'}{ON'}$$
}}$$
\par
\begin{leftbar}
\Si $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ \alors 
$$\Eqalign{
\cos\widehat{ABC}&=\dfrac{AB}{BC}\cr
\cr
\cos\widehat{ABC}&=\frac{\mbox{Côté adjacent à l'angle
  }\widehat{ABC}}{\mbox{Hypoténuse du triangle rectangle }ABC}\cr
}$$
\end{leftbar}
\section{Applications}
Pour les calculs, on utilise le mode \og{}{\bf degré}\fg{} de la calculatrice.
\newpage
\paragraph{Calculer une longueur}\subitem{}\par
\underline{Cas n°1}
\par\compo{3}{courscosinus}{1}{Le triangle $RST$ est rectangle en $R$ donc
$$\Eqalign{
\cos\widehat{RST}&=\frac{RS}{ST}\cr
{\color{LightRed}\frac{\psframebox[linestyle=dashed]{\rnode{A}{\color{black}\cos38}}}{\rnode{D}{1}}}\,&=\,\frac{\rnode{B}{RS}}{\rnode{C}{6}}\cr
}$$
{\bf Les produits en croix sont égaux}
\ncline[linestyle=dashed,linewidth=0.1mm]{<->}{A}{C}
\ncline[linestyle=dashed,linewidth=0.1mm]{<->}{B}{D}
$$\Eqalign{
RS&=6\times\psframebox[linestyle=dashed]{\cos38}\cr
RS&\simeq4,73\,cm\cr
}$$
}
\underline{Cas n°2}
\par\compo{4}{courscosinus}{1}{
Le triangle $EFG$ est rectangle en $G$ donc
$$\Eqalign{
\cos\widehat{EFG}&=\frac{EG}{EF}\cr
{\color{LightRed}\frac{\psframebox[linestyle=dashed]{\rnode{A}{\color{black}\cos60}}}{\rnode{D}{1}}}\,&=\,\frac{\rnode{B}{6}}{\rnode{C}{EF}}\cr
}$$
{\bf Les produits en croix sont égaux}
\ncline[linestyle=dashed,linewidth=0.1mm]{<->}{A}{C}
\ncline[linestyle=dashed,linewidth=0.1mm]{<->}{B}{D}
$$\Eqalign{
EF\times\psframebox[linestyle=dashed]{\cos60}&=6\cr
EF&=\frac{6}{\psframebox[linestyle=dashed]{\cos60}}\cr
EF&=12\,cm\cr
}$$
}
\paragraph{Calculer un angle}\subitem{}\par
$$\includegraphics{courscosinus.5}$$
Le triangle $IJK$ est rectangle en $J$ donc
$$\Eqalign{
\cos\widehat{KIJ}&=\frac{IJ}{IK}\cr
\cos\widehat{KIJ}&=\frac{6}{10}\cr
\widehat{KIJ}&\simeq53\degres\cr
}$$

\chapter{Droites remarquables du triangle}
\section{Les hauteurs}
\par\compo{1}{droitesremarquables}{1}{\begin{leftbar}
Dans un triangle, une {\em hauteur} est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
\vskip5mm\par\Not: Dans le triangle $ABC$, si la hauteur passe par le sommet $A$ on dit alors \em{hauteur issue de $A$}.
\end{leftbar}}
\par
$$\encadrecouleur{fond1}{Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes en un point $H$ appelé {\em orthocentre} du triangle.}
$$
\section{Les médiatrices}
\par\compo{2}{droitesremarquables}{1}{\begin{leftbar}
La {\em médiatrice d'un segment} est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. Les médiatrices dans un triangle sont donc les médiatrices des côtés de ce triangle.\end{leftbar}
\par\begin{leftbar}
\underline{Si} $M$ est un point de la médiatrice du segment $[AB]$ \underline{alors} $M$ est équidistant de $A$ et de $B$ c'est à dire $MA=MB$.\par
\underline{Si} $M$ est équidistant de $A$ et de $B$ \underline{alors} $M$ appartient à la médiatrice du segment $[AB]$.
\end{leftbar}}
$$\encadrecouleur{fond1}{Dans un triangle, les médiatrices sont concourantes en un point $O$ appelé {\em centre du cercle circonscrit} au triangle.}
$$
\section{Les médianes}
\par\compo{3}{droitesremarquables}{1}{\begin{leftbar}
Dans un triangle, une {\em médiane} est une droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé.\end{leftbar}}
$$\encadrecouleur{fond1}{Dans un triangle, les médianes sont concourantes en un point $G$ appelé {\em centre de gravité} du triangle.
\par De plus, on a $\displaystyle AG=\frac{2}{3}AA',\,BG=\frac{2}{3}BB',\,CG=\frac{2}{3}CC'$}
$$
\section{Les bissectrices.}
\par\compo{4}{droitesremarquables}{1}{\begin{leftbar}
La {\em bissectrice d'un angle} est la droite qui partage cet angle en
deux angles de même mesure. C'est également l'axe de symétrie de cet
angle.\end{leftbar}}
$$\encadrecouleur{fond1}{Dans un triangle, les bissectrices sont
concourantes en un point $I$ appelé {\em centre du cercle inscrit} au
triangle.
\par De plus, $IP=IQ=IR$}
$$

\chapter{Translations}
\section{Définitions}
$$\encadrecouleur{fond1}{Le {\em glissement rectiligne} qui permet de déplacer la figure $\cal F$ du point $A$ au point $B$ s'appelle {\bf\em la translation qui transforme $A$ en $B$}.
}$$
$$\includegraphics{courstranslation.1}$$
\begin{leftbar}
\Si la translation qui transforme $A$ en $B$ transforme $M$ en $M'$, on dit que $M'$ est le {\bf translaté} de $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$. On dit également que $M'$ est {\bf l'image} de $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$.
\end{leftbar}
\section{Propriétés}
$$\encadrecouleur{fond1}{Dire que $M'$ est l'image de $M$ par la translation qui transforme $A$ en $B$ signifie que le quadrilatère $ABM'M$ est un parallélogramme.}$$
$$\includegraphics{courstranslation.2}$$
\begin{leftbar}
Par une translation :
\begin{itemize}
\item l'image d'un segment est un segment de même longueur.
\item L'image d'un angle est un angle de même mesure.
\\\cas : L'image de deux droites perpendiculaires est deux droites perpendiculaires.
\item L'image d'un cercle est un cercle de même rayon.
\item L'image d'une figure est une figure de même aire.
\end{itemize}
\end{leftbar}
$$\includegraphics{courstranslation.3}\kern1cm\includegraphics{courstranslation.4}$$
$$\includegraphics{courstranslation.5}\kern1cm\includegraphics{courstranslation.6}$$
$$\encadrecouleur{fond1}{L'image d'une droite $(d)$ par une translation est une droite parallèle à la droite $(d)$.}$$
$$\includegraphics{courstranslation.7}$$


\chapter{Distance, droite et cercle}
\section{Distance d'un point à une droite}
$$\encadrecouleur{fond1}{
\compo{1}{courstangente}{1}{Soit $(d)$ une droite et $A$ un point. La perpendiculaire à la droite $(d)$ passant par $A$ coupe la droite $(d)$ en $H$.
\par La longueur $AH$ s'appelle {\bf la distance du point $A$ à la droite $(d)$}.}}$$
\underline{Remarques :} Si $M$ appartient à la droite $(d)$ mais différent de $H$ alors $AM>AH$.
\par\centerline{Si $M\in(d)$ et $M\not=H$ alors $AM>AH$}
\par Si $B$ appartient à  la droite $(d)$ alors la distance de $B$ à la droite $(d)$ est nulle.
\section{Tangente à un cercle}
$$\encadrecouleur{fond1}{
\compo{2}{courstangente}{1}{Soit $\cal C$ un cercle de centre $O$ et $A$ un point du cercle $\cal C$.
\par{\bf La tangente au cercle $\cal C$ en $A$} est la droite $(d)$ perpendiculaire en $A$ à la droite $(OA)$.
}
}$$
\begin{leftbar}
Soit un cercle $\cal C$ de centre $O$ et de rayon $r$, et $(d)$ une droite quelconque. Appelons $h$ la distance du point $O$ à la droite $(d)$. Alors
\columnseprule0.4pt
\begin{multicols}{3}
Si $h<r$ alors la droite $(d)$ coupe le cercle $\cal C$ en deux points.
$$\includegraphics{courstangente.3}$$
\par Si $h=r$ alors la droite $(d)$ coupe le cercle $\cal C$ en 1 point $A$ : $(d)$ est la tangente à $\cal C$ en $A$.
$$\includegraphics{courstangente.4}$$
\par Si $h>r$ alors la droite $(d)$ ne coupe pas le cercle $\cal C$.
$$\includegraphics{courstangente.5}$$
\end{multicols}
\columnseprule0pt
\end{leftbar}


\chapter{Géométrie dans l'espace}
\section{Pyramide}
\paragraph{Pyramide de sommet $S$}\subitem{}\par
$$\encadrecouleur{fond1}{Une pyramide est un solide dont :
\begin{itemize}
\item une face est un polygone appelé {\bf la base};
\item toutes les autres faces sont des {\bf triangles} qui ont un sommet commun  
n'appartenant pas à la base : c'est le {\bf sommet} de la pyramide.
\end{itemize} 
(Ces faces sont appelées {\bf faces latérales}.)
}$$
$$\encadrecouleur{fond1}{La droite qui passe par le sommet de la pyramide et qui est perpendiculaire à la base est appelée {\bf hauteur} de la pyramide.
\\La longueur $SH$ est aussi appelée hauteur de la pyramide.}$$
$$\includegraphics[scale=0.8]{pyracone.1}$$
{\bf Remarques : } Il ne faut pas confondre la hauteur de la pyramide et une hauteur d'une face.\\
\compo{2}{pyracone}{1}{{\bf Cas particuliers : } Une pyramide dont la base est un triangle est un {\bf tétraèdre}. Toutes les faces sont donc des
triangles donc toutes les faces peuvent être considérées comme des bases.
}
\paragraph{Pyramides régulières}\subitem{}\par
$$\encadrecouleur{fond1}{Une pyramide de sommet $S$ est dite {\bf régulière} lorsque :
\begin{itemize}
\item sa base est un polygone régulier de centre $O$ :
triangle équilatéral, carré \ldots
\item $\left[SO\right]$ est la hauteur de la pyramide.
\end{itemize}}$$
\begin{leftbar}Les faces latérales d'une pyramide régulière sont des triangles isocèles superposables.
\end{leftbar}
$$\includegraphics{pyracone.4}\kern2cm\includegraphics[scale=0.75]{pyracone.5}$$
\paragraph{Un patron de la pyramide.}\subitem{}\par
En découpant et en pliant, $A$, $A_{1}$, $A_{2}$ coïncident, ainsi que $B$ et $B_{1}.$
\paragraph{Volume d'une pyramide}\subitem{}
$$\encadrecouleur{fond1}{\Si une pyramide a une base $\cal B$ d'aire ${\cal A}_{\cal B}$ et une hauteur $h$ \alors son volume $\cal V$ est
$${\cal V}=\frac13\times{\cal A}_{\cal B}\times h$$
\begin{center}\includegraphics{pyracone.6}\end{center}
}$$
\section{Cône de révolution}
$$\encadrecouleur{fond1}{Un cône de révolution de sommet $S$ est le solide engendré par la rotation d'un triangle $SOM$ rectangle en $O$, autour de la droite
 ($SO$).\par
Le disque de  centre $O$ et de rayon $OM$ est la base de ce cône.
}$$
\begin{leftbar}
La hauteur de ce cône est le segment $\left[SO\right]$ (la hauteur désigne aussi la longueur $SO$).\\Le segment $\left[SO\right]$ est perpendiculaire au plan de la base.
\end{leftbar}
$$\includegraphics{pyracone.7}\includegraphics{pyracone.8}$$
\paragraph{Patron d'un cône}\subitem{}\par
Le patron d'un cône a la forme ci-dessus ; la longueur de l'arc de cercle doit être égale au périmètre du cercle de base.\\
Il y a {\bf proportionnalité} entre la mesure de l'angle et la longueur de l'arc correspondant.\\
\paragraph{Volume d'un cône}\subitem{}\par
$$\encadrecouleur{fond1}{\Si un cône a pour base un disque de rayon $r$ et a pour hauteur $h$ \alors son volume $\cal V$ est
$${\cal V}=\frac13\times\pi\times r^2\times h$$
}$$
\begin{center}\includegraphics{pyracone.9}\end{center}


\part{Gestion de données}


\chapter{Applications de la proportionnalité}
\section{Proportionnalité et représentation graphique}
\begin{leftbar}
Dans un tableau de nombres, \si l'on peut passer des nombres d'une ligne aux nombres de l'autre ligne par une même multiplication \alors ce tableau est un tableau de proportionnalité.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|l}
\cline{1-3}
3&5&9&\rnode{A}{}\\
\cline{1-3}
7,5&12,5&22,5&\rnode{B}{}\\
\cline{1-3}
\end{tabular}
\kern5mm\psframebox{\rnode{C}{\footnotesize$\times2,5$}}
\end{center}
\ncline{A}{C}
\ncline{->}{C}{B}
\end{leftbar}
$$\encadrecouleur{fond1}{Sur une représentation graphique, on reconnaît une situation de proportionnalité lorsque tous les points sont alignés avec l'origine du repère.}$$
\columnseprule0.4pt
\begin{multicols}{3}
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
10&25&40\\
\hline
9&22,5&36\\
\hline
\end{array}
$$
$$\underbrace{\frac9{10}=\frac{22,5}{25}=\frac{36}{40}}_{\mbox{les quotients sont égaux}}$$
$$\includegraphics{coursproportionnalite.1}$$
\begin{center}
\psshadowbox{{\sc Proportionnalité}}
\end{center}
\par
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
10&25&40\\
\hline
8&15&22\\
\hline
\end{array}
$$
$$\underbrace{\frac8{10}\quad \frac{15}{25}=\frac35=\frac6{10}}_{\mbox{les quotients ne sont pas égaux}}$$
$$\includegraphics{coursproportionnalite.2}$$
\begin{center}
\psshadowbox{{\sc Non} {\sc Proportionnalité}}
\end{center}
\par
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
10&25&40\\
\hline
2&12,5&32\\
\hline
\end{array}
$$
$$\underbrace{\frac2{10}\quad\frac{12,5}{25}=\frac12=\frac5{10}}_{\mbox{les quotients ne sont pas égaux}}$$
$$\includegraphics{coursproportionnalite.3}$$
\begin{center}
\psshadowbox{{\sc Non} {\sc Proportionnalité}}
\end{center}

\end{multicols}
\columnseprule0pt
\section{Vitesse moyenne}
$$\encadrecouleur{fond1}{\Si l'on a parcouru une distance $d$ pendant un temps $t$ \alors, sur ce parcours, {\bf la vitesse moyenne} $v$ est le quotient de la distance parcourue $d$ par le temps $t$ du trajet.
$$v=\frac{d}{t}$$
}$$
\exe: En parcourant $120\,km$ en 2 heures, la vitesse moyenne est $\dfrac{120}2=60\,km/h$ ou $60\,km.h^{-1}$.
\\En parcourant $30\,m$ en 5 secondes, la vitesse moyenne est $\dfrac{30}5=6\,m/s$ ou $6\,m.s^{-1}$.

\chapter{Statistiques}
\section{Effectifs et fréquences}
$$\encadrecouleur{fond1}{Dans un tableau statistique, l'{\bf effectif} est le nombre de réponses associées à chaque valeur.\par
L'ensemble des valeurs et des effectifs forme une {\bf série statistique}.\par
En divisant l'effectif d'une valeur par l'effectif total, on obtient la {\bf fréquence}.
$$f=\frac{\mbox{valeur de l'effectif}}{\mbox{valeur de l'effectif total}}$$
}$$
\par{\bf Exemple :} La standardiste d'une radio FM a noté le nombre d'appels téléphoniques reçus par tranches d'heures au cours d'une matinée. Elle obtient les résultats suivants :
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{3.5cm}|c|c|c|c|c|}
\hline
Tranches horaires&9h-10h&10h-11h&11h-12h&12h-13h&{\bf Total}\\
\hline
Effectifs\par(nombres d'appels)&19&37&46&28&{\bf 130}\\
\hline
Fréquences& $\dfrac{19}{130}$&&&&{\bf 1}\\
\hline
Fréquences en \% &14,6&&&&{\bf 100}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\section{Effectifs et fréquences cumulés}
$$\encadrecouleur{fond1}{Lorsque les valeurs sont rangées dans l'ordre croissant, on obtient {\bf l'effectif cumulé croissant} d'une valeur
en additionnant son effectif à ceux qui le précèdent (on additionne à partir de la gauche du tableau).
\par De la même manière, les {\bf fréquences cumulées croissantes} s'obtiennent en divisant 
l'effectif cumulé croissant par l'effectif total.
}$$
{\bf Remarque :} les effectifs cumulés croissants indiquent quel est l'effectif de la série dont la valeur est inférieure à une valeur donnée.\\
{\bf Exemple :} On reprend l'exemple précédent :
\begin{center}\begin{tabular}{|m{3.5cm}|c|c|c|c|}
\hline Tranches horaires&9h-10h&10h-11h&11h-12h&12h-13h\\\hline
Effectifs\par(nombres d'appels)&19&37&46&28\\\hline
Effectifs {\bf cumulés croissants}&{\bf 19}&19 + 37 = {\bf 56}&
19 + 37 + 46 = {\bf 102}&{\textbf{Total des appels : 130}}\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\section{Moyenne}
$$\encadrecouleur{fond1}{La {\bf moyenne} d'une série statistique est le quotient de la somme de toutes les valeurs par l'effectif total de cette série :
$${\mbox{moyenne} =\frac{\mbox{Somme de toutes les valeurs}}{\mbox{Effectif total de la série}}}$$
}$$
{\bf Exemple :} Dans une usine, sept employés calculent le salaire moyen (en {\textgreek{\euro}}) des salaires de leur atelier.
$$\frac{760 + 825 + 915 + 990 + 1065 + 1160 + 1296}{7}\approx 1002$$
Le salaire moyen des  employés de cet atelier s'élève environ à 1002 {\textgreek{\euro}}.
\section{Moyenne pondérée}
$$\encadrecouleur{fond1}{La {\bf moyenne pondérée} d'une série statistique est le quotient de la somme des  valeurs, affectées chacune de leur coefficient, par la somme totale des coefficients.
}$$
{\bf Exemple :} Dans une classe de 28 élèves, les notes à un devoir se répartissent de la manière suivante :\\
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{2.5cm}|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Notes&6&7&8&9&10&11&12&13&15&17\\
\hline
Effectifs& \color{red} 2&\color{red} 1&\color{red} 2&\color{red} 4&\color{red} 6&\color{red} 3&\color{red} 3&\color{red} 3&\color{red} 2&\color{red} 2\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Nous représentons cette série par un diagramme en barres.
\begin{center}\begin{pspicture}(0,0)(13,8.5)
\psline{->}(0,0)(13.5,0)
\multido{\n=1+1}{7}{\psline[linecolor=red](0,\n)(13,\n)}
\psline{->}(0,0)(0,8)
\multido{\n=1+1}{7}{\uput{0.2}[180](0,\n){\textcolor{red}\n}}
\uput{0.2}[270](1,0){6}\uput{0.2}[270](2,0){7}
\uput{0.2}[270](3,0){8}\uput{0.2}[270](4,0){9}
\uput{0.2}[270](5,0){10}\uput{0.2}[270](6,0){11}\uput{0.2}[270](7,0){12}
\uput{0.2}[270](8,0){13}\uput{0.2}[270](9,0){14}\uput{0.2}[270](10,0){15}
\uput{0.2}[270](11,0){16}\uput{0.2}[270](12,0){17}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0.7,0)(1.3,2)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](1.7,0)(2.3,1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](2.7,0)(3.3,2)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](3.7,0)(4.3,4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](4.7,0)(5.3,6)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](5.7,0)(6.3,3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](6.7,0)(7.3,2)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](7.7,0)(8.3,3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](9.7,0)(10.3,2)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](11.7,0)(12.3,2)
\uput{0.2}[180](0,7.5){{\textit{Effectifs}}}\uput{0.2}[270](13,0){{\textit{Notes}}}
%\caption[pspicture]{\label{illustration}{\textbf{Diagramme en barres :}} La hauteur des barres est égale aux effectifs}
\end{pspicture}\end{center}
Pour calculer la moyenne, on effectue le calcul suivant :
$$\frac{6\times\textcolor{red}{2}+7\times\textcolor{red}{1}+8\times\textcolor{red}{2}+9\times\textcolor{red}{4}+10\times\textcolor{red}{6}+11\times\textcolor{red}{3}+
12\times\textcolor{red}{3}+13\times\textcolor{red}{3}+15\times\textcolor{red}{2}+17\times\textcolor{red}{2}}{2+1+2+4+6+3+3+3+2+2}=\frac{303}{28}\approx10,8$$
\section{Répartition en classes et moyenne}
Il arrive dans certains cas qu'une série statistique soit répartie en classes, c'est-à-dire que l'on prend des intervalles de valeurs :
\\{\bf Exemple : } Le tableau ci-dessous présente la répartition de 2000 adultes suivant leur taille :
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{3cm}|c|c|c|c|}
\hline
Tailles en $cm$ &$\left[140\, ; 150\right[$&$\left[150\, ; 160\right[$&$\left[160\, ; 170\right[$&$\left[170\, ; 195\right[$\\
\hline
Effectifs&48&397&913&642\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Il est impossible a priori de calculer la moyenne de cette série puisqu'on ne connait pas les valeurs des tailles et leurs effectifs. On considère alors que la valeur au centre de la classe va représenter la classe.
 On calcule alors la moyenne pondérée pour obtenir une valeur approchée de la moyenne de la série.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
Tailles en $cm$ &$\left[140\, ; 150\right[$&$\left[150\, ; 160\right[$&$\left[160\, ; 170\right[$&$\left[170\, ; 195\right[$\\
\hline
Centre de la classe&145&155&165&182,5\\
\hline
Effectifs&48&397&913&642\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Pour calculer la taille moyenne, on effectue le calcul suivant :$$\frac{145\times48+155\times397+165\times913+145\times642}{2000}\approx168$$
La taille moyenne de ce groupe d'adultes est d'environ $168\,cm$.

\end{document}