\subsection{De l'intérêt du calcul littéral}
\compo{1}{402an5td}{0.9}{\compo{1}{402an5td}{0.9}{
\par Pour fabriquer un T-Shirt, il faut 2 carrés d'étoffe de côté \og{}$a$\fg{}. La longueur \og{}$a$\fg{} dépend bien entendu de la taille du T-Shirt. On enlève dans chaque carré deux rectangles de $40\,cm$ de long et $10\,cm$ de large comme indiqué sur les croquis, afin d'obtenir deux \og{}T\fg{} de tissu.}}
\par
\begin{enumerate}
\item Pour un T-Shirt de taille XS, la longueur $a$ vaut $50\,cm$.\par
\begin{tabularx}{13cm}{|X|}
\hline
Surface des deux carrés du départ : $S_1=$\dotfill\\
\hline
Surface des 4 rectangles supprimés : $S_2=$\dotfill\\
\hline
Surface de tissu utile pour un T-Shirt XS : $S$=\dotfill\\
\hline
\end{tabularx}
\item Pour un T-Shirt de taille S, la longueur $a$ vaut $60\,cm$.\par
\begin{tabularx}{13cm}{|X|}
\hline
Surface des deux carrés du départ : $S_1=$\dotfill\\
\hline
Surface des 4 rectangles supprimés : $S_2=$\dotfill\\
\hline
Surface de tissu utile pour un T-Shirt S : $S$=\dotfill\\
\hline
\end{tabularx}
\item Pour un T-Shirt de taille M, la longueur $a$ vaut $70\,cm$.\par
\begin{tabularx}{13cm}{|X|}
\hline
Surface des deux carrés du départ : $S_1=$\dotfill\\
\hline
Surface des 4 rectangles supprimés : $S_2=$\dotfill\\
\hline
Surface de tissu utile pour un T-Shirt M : $S$=\dotfill\\
\hline
\end{tabularx}
\item Pour ne pas avoir à répéter trop souvent les mêmes calculs, on va essayer d'exprimer {\bf en fonction} de \og{}$a$\fg{} l'aire de tissu utile pour confectionner un T-Shirt. On obtiendra alors {\em\underline{une expression littérale}}.\par
\begin{tabularx}{13cm}{|X|}
\hline
Surface des deux carrés du départ : $S_1=$\dotfill\\
\hline
Surface des 4 rectangles supprimés : $S_2=$\dotfill\\
\hline
Surface de tissu utile pour un T-Shirt : $S$=\dotfill\\
\hline
\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item Complète le tableau :
\par
\begin{tabularx}{12cm}{|X|}
\hline
Si $a=50$ alors $S=$\dotfill\\
\hline
Si $a=60$ alors $S=$\dotfill\\
\hline
Si $a=70$ alors $S=$\dotfill\\
\hline
\end{tabularx}
\item Calcule les surfaces utiles pour un T-Shirt\ldots
\par
\begin{tabularx}{12cm}{|X|}
\hline
\ldots taille L ($a=80$) : $S=$\dotfill\\
\hline
\ldots taille XL ($a=90$) : $S=$\dotfill\\
\hline
\ldots taille XXL ($a=100$) : $S=$\dotfill\\
\hline
\ldots taille XXXL ($a=110$) : $S=$\dotfill\\
\hline
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{De l'intérêt du développement}
\compo{2}{402an5td}{1}{Le croquis, ci-contre, représente une parcelle de terrain dont une longueur \og{}$a$\fg{} est variable. La surface de terrain dépend bien entendu de la longueur \og{}$a$\fg{}. Ce terrain est composée de 2 rectangles.
}
\par
\begin{enumerate}
\item Calcule la surface totale du terrain lorsque $a=1\,dam$.\par
\begin{tabularx}{13cm}{|X|}
\hline
Surface : $S_1=$\dotfill\\
\hline
Surface : $S_2=$\dotfill\\
\hline
Surface totale : $S$=\dotfill\\
\hline
\end{tabularx}
\item Calcule la surface totale du terrain lorsque $a=7,5\,dam$.\par
\begin{tabularx}{13cm}{|X|}
\hline
Surface : $S_1=$\dotfill\\
\hline
Surface : $S_2=$\dotfill\\
\hline
Surface totale : $S$=\dotfill\\
\hline
\end{tabularx}
\item Calcule la surface totale du terrain lorsque $a=3,75\,dam$.\par
\begin{tabularx}{13cm}{|X|}
\hline
Surface : $S_1=$\dotfill\\
\hline
Surface : $S_2=$\dotfill\\
\hline
Surface totale : $S$=\dotfill\\
\hline
\end{tabularx}
\item Pour ne pas avoir à répéter trop souvent les mêmes calculs, on va essayer d'exprimer {\bf en fonction} de \og{}$a$\fg{} l'aire de ce terrain. On obtiendra alors {\em\underline{une expression littérale}}.\par
\begin{tabularx}{13cm}{|X|}
\hline
Surface $S_1=$\dotfill\\
\hline
Surface $S_2=$\dotfill\\
\hline
Surface totale $$\Eqalign{
S&=\dotfill\cr
S&=\dotfill\cr
S&=\dotfill\cr
S&=\dotfill\cr
}$$
\\
\hline
\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item Complète le tableau :
\par
\begin{tabularx}{12cm}{|X|}
\hline
Si $a=5\,dam$ alors $S=$\dotfill\\
\hline
Si $a=2\,dam$ alors $S=$\dotfill\\
\hline
Si $a=8,5\,dam$ alors $S=$\dotfill\\
\hline
\end{tabularx}
\item Le fermier s'aperçoit qu'il peut découper son terrain d'une nouvelle façon et se demande si les réponses obtenues avec ce nouveau découpage sont identiques à ceux des calculs précédents.
$$\includegraphics{402an5td.3}$$
\par Complète alors le tableau en exprimant les surfaces $T_1$, $T_2$ {\bf en fonction} de \og{}$a$\fg{}.
\par
\begin{tabularx}{13cm}{|X|}
\hline
Surface $T_1=$\dotfill\\
\hline
Surface $T_2=$\dotfill\\
\hline
Surface totale $$\Eqalign{
S&=\dotfill\cr
S&=\dotfill\cr
S&=\dotfill\cr
S&=\dotfill\cr
}$$
\\
\hline
\end{tabularx}
\item Que remarque-t-on ?\dotfill\dotfill
\end{enumerate}
\item Un professeur de Mathématiques bien connu, passant par là, certifie au fermier qu'il y a un troisième découpage possible. Pouvez-vous aider le fermier à trouver ce découpage et montrer que ce découpage mène aux mêmes résultats que précédemment ?
$$\includegraphics{402an5td.4}$$
$$\Eqalign{
S&=\dotfill\cr
S&=\dotfill\cr
}$$
\end{enumerate}
\subsection{Des sommes, des différences et des parenthèses}
\paragraph{Opposé d'une somme}\subitem{}\par
Soit 2 nombres relatifs $a$ et $b$ et intéressons-nous à leur somme $a+b$ et plus particulièrement à l'opposé de cette somme.
$$-(a+b)=\ldots\times(a+b)=\ldots\times a+\ldots\times b=\ldots a\ldots b$$
\paragraph{Opposé d'une différence}\subitem{}\par
Soit 2 nombres relatifs $a$ et $b$ et intéressons-nous à leur différence $a-b$.
\\Puisque {\em soustraire un nombre, c'est\dotfill}\\ alors nous pouvons écrire
$$a-b=a\ldots\ldots\ldots$$
et dans ce cas
$$-(a-b)=-(a\ldots\ldots\ldots)=-a\ldots\ldots$$
\paragraph{Suppression de parenthèses dans une suite d'additions ou de soustraction}\subitem{}\par
\begin{enumerate}
\item Examinons le cas de l'expression
$$A=3-(2+x)$$
Nous sommes dans le cas de l'opposé d'une somme et en appliquant la propriété ci-dessus, on a
$$\Eqalign{
A&=3-2-x\cr
A&1-x\cr
}$$
Fais de même avec les expressions $B=5-(3-x)$ et $C=x-(2x+3)$.
\item Examinons le cas de l'expression
$$D=3+(5+x)$$
Comment transformer cette expression ? Par exemple en écrivant
$$D=3+\ldots\times(5+x)$$
et en \dotfill
\\Ce qui donne
$$\Eqalign{
D&=3\ldots\ldots\ldots\ldots\cr
D&=\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\cr
}$$
\end{enumerate}
\subsection{La double distributivité}
\paragraph{Cas des nombres positifs}\subitem{}\par
\compo{1}{acticalcullitteral}{1}{On considère la figure ci-contre qui représente un rectangle composé de 4 pièces.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de ces 4 pièces ?
\item Exprime de deux façons différentes l'aire du rectangle $ABCD$.
\end{enumerate}
}
Pour des nombres {\em positifs}, on peut donc écrire
$$(a+b)\times(c+d)=\ldots\ldots+\ldots\ldots+\ldots\ldots+\ldots\ldots$$
\paragraph{Cas des nombres relatifs}\subitem{}\par
L'approche géométrique n'étant plus correcte, considérons alors l'expression de départ
$$\Eqalign{
(a+b)\times(c+d)&=\psframebox[framearc=0.15]{(a+b)}\times(c+d)\cr
(a+b)\times(c+d)&=\psframebox[framearc=0.15]{(a+b)}\times c+\psframebox[framearc=0.15]{(a+b)}\times d\cr
(a+b)\times(c+d)&=\ldots\ldots+\ldots\ldots+\ldots\ldots+\ldots\ldots\cr
}$$