\subsection{Théorème des milieux}
On considère un triangle $ABC$ quelconque et on appelle $I$ le milieu
du segment $[AB]$ et $J$ le milieu du segment $[AC]$.
\begin{enumerate}
\item Fais plusieurs figures avec des triangles $ABC$ différents. Que
  remarque-t-on ?
$$\encadrecouleur{LightGray}{\em Il semble
    que\dotfill\\\dotfill}$$
\item Comment prouver cette affirmation ? Considérons la hauteur issue
  de $A$ dans le triangle $ABC$. Elle coupe le segment $[BC]$ en $H$.
\begin{enumerate}
\item Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle $AHB$ ?
  Justifie.
\item Que peut-on en déduire pour le point $I$ par rapport au segment
  $[AH]$ ?
\item Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle $AHC$ ?
  Justifie.
\item Que peut-on en déduire pour le point $J$ par rapport au segment
  $[AH]$ ?
\item Que représente la droite $(IJ)$ pour le segment $[AH]$ ?
  Justifie.
\item Que peut-on en conclure pour les droites $(IJ)$ et $(BC)$ ?
  Justifie.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{Théorème des milieux -- Organigramme de démonstration}
Voici un \og{}déductogramme\fg{} : c'est un organigramme qui sert à démontrer une propriété. D'ailleurs, sur le déductogramme ci-dessous, les données du problème et sa conclusion sont déjà placées.
\par\noindent
\begin{pspicture}(-9,-6.3)(9,6.3)
\rput(0,0){\scalebox{0.65 0.65}{
\begin{pspicture}(-14,-9)(14,9)
\psframe[linestyle=dashed](-13.8,-1.4)(-0.1,9.4)
\rput(-13.4,-1){\pscirclebox[fillstyle=solid,framesep=0.05]{1}}
\psframe[linestyle=dashed](0.1,-1.4)(13.8,9.4)
\rput(13.4,-1){\pscirclebox[fillstyle=solid,framesep=0.05]{2}}
\psframe[linestyle=dashed](-10.2,-4.2)(10.2,1)
\rput(-9.8,-3.8){\pscirclebox[fillstyle=solid,framesep=0.05]{3}}
\psframe[linestyle=dashed](-3.4,-7.4)(3.4,-1.8)
\rput(-3,-7){\pscirclebox[fillstyle=solid,framesep=0.05]{4}}
\psframe[linestyle=dashed](-3.4,-9.4)(10.2,-4.6)
\rput(-3,-9){\pscirclebox[fillstyle=solid,framesep=0.05]{5}}
\psset{arrows=>,arrowsize=0.3}
\psset{levelsep=2.8cm,treesep=5mm}
\rput(0,0){
\pstree[treemode=U]{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}Les droites $(BC)$ et $(IJ)$ sont parallèles\end{tabularx}}}}{
\pstree{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{Les droites $(IJ)$ et $(AH)$ sont perpendiculaires.}\end{tabularx}}}}{
\pstree{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{La droite $(IJ)$ est la médiatrice du segment $[AH]$.}\end{tabularx}}}}{
\pstree{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{$I$ appartient à la médiatrice du segment $[AH]$}\end{tabularx}}}}{\pstree{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{Les droites $(BC)$ et $(IJ)$ sont parallèles}\end{tabularx}}}}{\pstree{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{$I$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $AHB$}\end{tabularx}}}}{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}Dans le triangle $ABC$, $I$ est le milieu du segment $[AB]$\end{tabularx}}}\Tr{\psframebox[linestyle=dashed,dash=6mm 3mm]{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{Le triangle $AHB$ est rectangle en $H$}\end{tabularx}}}}}}
\pstree{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{$J$ appartient à la médiatrice du segment $[AH]$}\end{tabularx}}}}{
\pstree{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{Les droites $(BC)$ et $(IJ)$ sont parallèles}\end{tabularx}}}}{
\pstree{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{$J$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $AHC$}\end{tabularx}}}}{\Tr{\psframebox[linestyle=dashed,dash=6mm 3mm]{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{Le triangle $AHC$ est rectangle en $H$}\end{tabularx}}}\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}Dans le triangle $ABC$, $J$ est le milieu du segment $[AC]$\end{tabularx}}}}}}}
}
\Tr{\psframebox[linestyle=dashed,dash=6mm 3mm]{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{Les droites $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.}\end{tabularx}}}
}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\begin{myenumerate}
\item Colorie en vert les données du problème et en rouge sa conclusion.
\item Fais une figure correspondante aux données du problème.
\item Voici, ci-dessous, une liste de propriétés géométriques. A l'aide de ces propriétés, complète les cases vides du déductogramme. {\bf Attention, il y a des propriétés qui ne sont pas utiles pour cette démonstration ou même fausses.}
\par
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}$J$ appartient à la médiatrice du segment $[AH]$.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}La droite $(IJ)$ est la médiatrice du segment $[AH]$.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}La droite $(AH)$ est la médiatrice du segment $[IJ]$.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}$J$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $AHC$.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}$I$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $AHB$.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}$H$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{c}$JA=JH$\par\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{c}$IA=IH$\par\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}Les droites $(IJ)$ et $(AH)$ sont parallèles.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}Les droites $(IJ)$ et $(AH)$ sont perpendiculaires.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}$I$ appartient à la médiatrice du segment $[AH]$.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}$H$ appartient au cercle de diamètre $[AC]$.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\par\vspace{3mm}
\item Une fois que ton déductogramme a été complété et corrigé, rédige la démonstration, étapes par étapes, de ce problème.
\item Complète alors le schéma suivant :
\par
\begin{pspicture}(-8,-1.5)(8,1.5)
\psset{arrows=->,arrowsize=0.5}
\rput(0,0){
\pstree[treemode=R,levelsep=9cm]{\Tr{\psshadowbox[framearc=0.3]{\begin{tabularx}{6cm}{X}\underline{\bf Données} :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]\dotfill
\item[$\bullet$]\dotfill
\item[$\bullet$]\dotfill
\end{itemize}
\end{tabularx}
}}}{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\underline{\bf Conclusion} :
\par\dotfill
\par\dotfill
\end{tabularx}
}}}}
\end{pspicture}
\end{myenumerate}
\subsection{Théorème des milieux -- Suite}
Ce \og{}déductogramme\fg{} complète le théorème précédent. Une nouvelle fois,ci-dessous, les données du problème et sa conclusion sont déjà placées.
\par
\vspace{3mm}
\par
\begin{pspicture}(-9,-3.5)(9,3.5)
\rput(0,0){\scalebox{0.65 0.65}{
\begin{pspicture}(-14,-5)(14,5)
\psframe[linestyle=dashed](-14,1)(-0.2,4.8)
\rput(-13.6,1.4){\pscirclebox[fillstyle=solid,framesep=0.05]{1}}
\psframe[linestyle=dashed](0.2,1)(14,4.8)
\rput(0.6,1.4){\pscirclebox[fillstyle=solid,framesep=0.05]{2}}
\psframe[linestyle=dashed](-10.4,-1)(10.4,2.8)
\rput(-10,-0.6){\pscirclebox[fillstyle=solid,framesep=0.05]{3}}
\psframe[linestyle=dashed](-3.4,-3.3)(3.4,0.8)
\rput(-3,-2.95){\pscirclebox[fillstyle=solid,framesep=0.05]{4}}
\psframe[linestyle=dashed](3.8,-3.3)(10.4,0.8)
\rput(4.2,-2.95){\pscirclebox[fillstyle=solid,framesep=0.05]{5}}
\psframe[linestyle=dashed](-3.4,-4.8)(10.4,-1.2)
\rput(-3,-4.4){\pscirclebox[fillstyle=solid,framesep=0.05]{6}}
\rput(0,0){
\psset{arrows=>,arrowsize=0.3}
\pstree[treemode=U]{\Tr{\psshadowbox{$IJ=\dfrac{1}{2}BC$}}}
{
\pstree{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{Dans le triangle $ABC$, $I$ est le milieu du segment $[AB]$.}\end{tabularx}}}}
{
\pstree{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{Dans le triangle $ABC$, $I$ est le milieu du segment $[AB]$.}\end{tabularx}}}}
{
\pstree{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{Dans le triangle $ABC$, $I$ est le milieu du segment $[AB]$.}\end{tabularx}}}}{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}Dans le triangle $ABC$, $I$ est le milieu du segment $[AB]$.\end{tabularx}}}\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}Dans le triangle $ABC$, $J$ est le milieu du segment $[AB]$.\end{tabularx}}}}
\pstree{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{Dans le triangle $ABC$, $I$ est le milieu du segment $[AB]$.}\end{tabularx}}}}{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{Dans le triangle $ABC$, $I$ est le milieu du segment $[AB]$.}\end{tabularx}}}\Tr{\psframebox[linestyle=dashed,dash=6mm 3mm]{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{Dans le triangle $ABC$, $I$ est le milieu du segment $[AB]$.}\end{tabularx}}}}}}
\pstree{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{Dans le triangle $ABC$, $I$ est le milieu du segment $[AB]$.}\end{tabularx}}}}{\Tr{\psframebox[linestyle=dashed,dash=6mm 3mm]{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{Dans le triangle $ABC$, $I$ est le milieu du segment $[AB]$.}\end{tabularx}}}}
}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\begin{myenumerate}
\item Colorie en vert les données du problème et en rouge sa
conclusion.
\item Fais une figure correspondante aux données du problème.
\item Voici, ci-dessous, une liste de propriétés géométriques. A
l'aide de ces propriétés, complète les cases vides du
déductogramme. {\bf Attention, il y a des propriétés qui ne sont pas
utiles pour cette démonstration ou même fausses.}
\par
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}Les droites $(IK)$ et $(AC)$ sont parallèles.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}Dans le triangle $ABC$, $J$ est le milieu du segment $[AC]$.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}$BC=2\times CK$\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}$BC=2\times BK$.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}Les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont parallèles.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}$IJCK$ est un parallélogramme.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}$IJKB$ est un parallélogramme.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{c}$BK=\dfrac{1}{2}BC$\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}$IB=JK$\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}$IJ=BK$\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}$AJ=JC$\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}Les droites $(JK)$ et $(AB)$ sont parallèles.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\par\vspace{3mm}
\item Une fois que ton déductogramme a été complété et corrigé, rédige la démonstration, étapes par étapes, de ce problème.
\item Complète alors le schéma suivant :
\begin{center}
\begin{pspicture}(-9,-1.5)(9,1.5)
\psset{arrows=->,arrowsize=0.5}
\rput(0,0){
\pstree[treemode=R,levelsep=9cm]{\Tr{\psshadowbox[framearc=0.3]{\begin{tabularx}{6cm}{X}\underline{\bf Données} :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]\dotfill
\item[$\bullet$]\dotfill
\item[$\bullet$]\dotfill
\end{itemize}
\end{tabularx}
}}}{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\underline{\bf Conclusion} :
\par\dotfill
\par\dotfill
\end{tabularx}
}}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{myenumerate}
\subsection{Un triangle, un milieu d'un côté et une parallèle à un des
côtés}
On considère un triangle $ABC$ quelconque et on appelle $R$ le milieu
du segment $[AB]$. La parallèle à la droite $(BC)$ passant par $R$
coupe le segment $[AC]$ en $S$.
\begin{enumerate}
\item Fais plusieurs figures avec des triangles $ABC$ différents. Que
  remarque-t-on ?
$$\encadrecouleur{LightGray}{\em Il semble
    que\dotfill\\\dotfill}$$
\item Comment prouver cette affirmation ? Soit $E$ le symétrique de
  $S$ par rapport à $R$.
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du quadrilatère $SAEB$ ? Justifie.
\item Déduis-en que $EB=AS$.
\item Quelle est la nature du quadrilatère $SEBC$ ? Justifie.
\item Déduis-en que $EB=SC$.
\item Conclue sur la position du point $S$ sur le segment $[AC]$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{Un triangle, un milieu d'un côté et une parallèle à un des
  côtés -- Organigramme de démonstration}
Voici, sur la page suivante, un autre \og{}déductogramme\fg{} pour un
autre théorème. Sur celui-ci, également, les données du problème et sa
conclusion sont déjà placées.
\begin{myenumerate}
\item Colorie en vert les données du problème et en rouge sa conclusion.
\item Fais une figure correspondante aux données du problème.
\item Voici, ci-dessous, une liste de propriétés géométriques. A l'aide de ces propriétés, complète les cases vides du déductogramme. {\bf Attention, il y a des propriétés qui ne sont pas utiles pour cette démonstration ou même fausses.}
\par
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}$AJBE$ est un pa\-ra\-llé\-lo\-gram\-me.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}$AJEB$ est un pa\-ra\-llé\-lo\-gram\-me.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}$AJ=JC$\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}$EB=JC$\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}$E$ est le milieu du segment $[IJ]$.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}$I$ est le milieu du segment $[EJ]$.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{c}$AJ=EB$\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}Les droites $(EA)$ et $(BJ)$ sont parallèles.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}Les droites $(EB)$ et $(JC)$ sont parallèles.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}$AJ=EB$\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}$EJCB$ est un pa\-ra\-llé\-lo\-gram\-me.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-2.38,-0.14)(2.38,1.12)
\rput(0,0){\scalebox{0.7 0.7}{
\begin{pspicture}(-3.4,-0.2)(3.4,1.6)
\rput(0,0){
\pstree{\Tr{\psshadowbox[fillstyle=solid]{\begin{tabularx}{6cm}{X}$EJBC$ est un pa\-ra\-llé\-lo\-gram\-me.\end{tabularx}}}}{}
}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
\par\vspace{3mm}
\item Une fois que ton déductogramme a été complété et corrigé, rédige la démonstration, étapes par étapes, de ce problème.
\item Complète alors le schéma suivant :
\begin{center}
\begin{pspicture}(-8,-1.5)(8,1.5)
\psset{arrows=->,arrowsize=0.5}
\rput(0,0){
\pstree[treemode=R,levelsep=9cm]{\Tr{\psshadowbox[framearc=0.3]{\begin{tabularx}{6cm}{X}\underline{\bf Données} :
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]\dotfill
\item[$\bullet$]\dotfill
\item[$\bullet$]\dotfill
\end{itemize}
\end{tabularx}
}}}{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\underline{\bf Conclusion} :
\par\dotfill
\par\dotfill
\end{tabularx}
}}}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{myenumerate}
\par
\vspace{3mm}
\par
\begin{pspicture}(-9,-6.3)(9,6.3)
\rput(0,0){\scalebox{0.65 0.65}{
\begin{pspicture}(-14,-9)(14,9)
\psframe[linestyle=dashed](-13.8,1.6)(0,8.4)
\rput(-13.4,2){\pscirclebox[fillstyle=solid,framesep=0.05]{1}}
\psframe[linestyle=dashed](-10.8,1.4)(6.8,3.6)
\rput(-10.4,1.8){\pscirclebox[fillstyle=solid,framesep=0.05]{2}}
\psframe[linestyle=dashed](0,-3.4)(13.6,3.4)
\rput(13.2,-3){\pscirclebox[fillstyle=solid,framesep=0.05]{3}}
\psframe[linestyle=dashed](-10.4,-3.8)(-3.6,3.4)
\rput(-10,-3.4){\pscirclebox[fillstyle=solid,framesep=0.05]{4}}
\psframe[linestyle=dashed](-10.4,-5.8)(10.4,-1.6)
\rput(-10,-5.4){\pscirclebox[fillstyle=solid,framesep=0.05]{5}}
\psframe[linestyle=dashed](-3.4,-8.4)(13.8,-4.2)
\rput(-3,-8){\pscirclebox[fillstyle=solid,framesep=0.05]{6}}
\psset{arrows=>,arrowsize=0.3}
\psset{levelsep=2.5cm,treesep=40mm}
\rput(0,0){
\pstree[treemode=U]{
\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}$J$ est le milieu du segment $[AC]$.\end{tabularx}}}}
{
\pstree{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{$AJBE$ est un pa\-ra\-llé\-lo\-gram\-me.}\end{tabularx}}}}
{
\pstree{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{$AJBE$ est un pa\-ra\-llé\-lo\-gram\-me.}\end{tabularx}}}}
{
\pstree{\Rnode{A}{\Tr{}}}{
\psset{treesep=5mm}\pstree{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{$AJBE$ est un pa\-ra\-llé\-lo\-gram\-me.}\end{tabularx}}}}
{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}Dans le triangle $ABC$, $I$ est le milieu du segment $[AB]$.\end{tabularx}}}
\pstree{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{$AJBE$ est un pa\-ra\-llé\-lo\-gram\-me.}\end{tabularx}}}}{\Tr{\psframebox[linestyle=dashed,dash=6mm 3mm]{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{$AJBE$ est un pa\-ra\-llé\-lo\-gram\-me.}\end{tabularx}}}}}}}
\pstree{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{$AJBE$ est un pa\-ra\-llé\-lo\-gram\-me.}\end{tabularx}}}}
{
\psset{treesep=5mm}\pstree{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{$AJBE$ est un pa\-ra\-llé\-lo\-gram\-me.}\end{tabularx}}}}
{\Rnode{B}{\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}\phantom{$AJBE$ est un pa\-ra\-llé\-lo\-gram\-me.}\end{tabularx}}}}
\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}Les droites $(IJ)$ et $(BC)$ sont parallèles.\end{tabularx}}}}}}
\Tr{\psshadowbox{\begin{tabularx}{6cm}{X}$J$ appartient au segment $[AC]$.\end{tabularx}}}
}
}
\ncbar[angleA=-90,armB=0,nodesepA=0cm,linestyle=dashed,dash=3mm 6mm]{<-}{B}{A}
\end{pspicture}
}
}
\end{pspicture}
