\newcommand\multablespe[1]{%
  \begin{tabular}{c!{$\times$}c!{$=$}lr}
    \vdots&#1&\vdots\\
    3&#1&\opmul*{3}{#1}{r}\opprint{r}&\rnode{A}{}\\
    2&#1&\opmul*{2}{#1}{r}\opprint{r}&\rnode{B}{}\\
    1&#1&\opmul*{1}{#1}{r}\opprint{r}&\rnode{C}{}\\
    0&#1&\opmul*{0}{#1}{r}\opprint{r}&\rnode{D}{}\\
    $-1$&#1&\ldots&\rnode{E}{}\\
    $-2$&#1&\ldots&\rnode{F}{}\\
    $-3$&#1&\ldots&\rnode{G}{}\\
    $-4$&#1&\ldots&\rnode{H}{}\\
    \vdots&#1&\vdots\\
  \end{tabular}
\ncbar{->}{A}{B}
\naput{\tiny-\ldots}
\ncbar{->}{B}{C}
\naput{\tiny-\ldots}
\ncbar{->}{C}{D}
\naput{\tiny-\ldots}
\ncbar{->}{D}{E}
\naput{\tiny-\ldots}
\ncbar{->}{E}{F}
\naput{\tiny-\ldots}
\ncbar{->}{F}{G}
\naput{\tiny-\ldots}
\ncbar{->}{G}{H}
\naput{\tiny-\ldots}
}

\newcommand\multablespeneg[1]{%
  \begin{tabular}{c!{$\times$}c!{$=$}lr}
    \vdots&(#1)&\vdots\\
    3&(#1)&\opmul*{3}{#1}{r}\opprint{r}&\rnode{A}{}\\
    2&(#1)&\opmul*{2}{#1}{r}\opprint{r}&\rnode{B}{}\\
    1&(#1)&\opmul*{1}{#1}{r}\opprint{r}&\rnode{C}{}\\
    0&(#1)&\opmul*{0}{#1}{r}\opprint{r}&\rnode{D}{}\\
    $-1$&(#1)&\ldots&\rnode{E}{}\\
    $-2$&(#1)&\ldots&\rnode{F}{}\\
    $-3$&(#1)&\ldots&\rnode{G}{}\\
    $-4$&(#1)&\ldots&\rnode{H}{}\\
    \vdots&(#1)&\vdots\\
  \end{tabular}
\ncbar{->}{A}{B}
\naput{\tiny+\ldots}
\ncbar{->}{B}{C}
\naput{\tiny+\ldots}
\ncbar{->}{C}{D}
\naput{\tiny+\ldots}
\ncbar{->}{D}{E}
\naput{\tiny+\ldots}
\ncbar{->}{E}{F}
\naput{\tiny+\ldots}
\ncbar{->}{F}{G}
\naput{\tiny+\ldots}
\ncbar{->}{G}{H}
\naput{\tiny+\ldots}
}

\subsection{Produit de deux nombres relatifs de signes différents}
On sait que $2+2+2+2+2+2=6\times2=12$ ou que
$5+5+5+5+5+5+5+5=8\times5=40$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer les expressions suivantes.
$$\Eqalign{
A&=(-2)+(-2)+(-2)=\ldots\cr
B&=(-5)+(-5)+(-5)+(-5)+(-5)\cr
C&=(-7)+(-7)+(-7)+(-7)+(-7)+(-7)\cr
D&=(-4)+(-4)+(-4)\cr
}$$
\item Ecrire sous la forme d'une multiplication les expressions $A$,
$B$, $C$ et $D$ précédentes.
\item Regrouper les deux résultats sous la forme d'une égalité.\\Que
remarque-t-on ?
\end{enumerate}
\item Construisons différentes tables de multiplications.
\par
\multablespe{4}\hfill\multablespe{2}\hfill\multablespe{7}
\end{enumerate}
$$\encadrecouleur{LightGray}{\em Le produit de deux nombres relatifs de signes
différents est \dotfill
}$$
\subsection{Produit de deux nombres relatifs de même signe}
Examinons maintenant le cas de deux nombres négatifs à l'aide de notre
nouvelle règle de calculs.
\\Construisons les tables de multiplications des nombres $-3$, $-5$ et $-8$
\\
\multablespeneg{-3}\hfill\multablespeneg{-5}\hfill\multablespeneg{-8}
$$\encadrecouleur{LightGray}{\em Le produit de deux nombres relatifs de même signe est
\dotfill}
$$
\subsection{Distributivité et nombres relatifs}
Pour des nombres $k$, $a$ et $b$ positifs, on sait que
\\
\begin{tabular}{c|c}
\includegraphics{actirelatifs.1}&\includegraphics{actirelatifs.2}\\
$k\times(a+b)=k\times a+k\times b$&$k\times(a-b)=k\times a-k\times b$\\
\end{tabular}
\par Que se passe-t-il si $k$, $a$ ou $b$ sont des nombres négatifs ?
\\Recopie et complète le tableau suivant :
$$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|>{\columncolor[gray]{0.9}}c|c|>{\columncolor[gray]{0.9}}c|}
\hline
$k$&$a$&$b$&$k\times a$&$k\times b$&$k\times a+k\times
b$&$(a+b)$&$k\times(a+b)$\\
\hline
2&3&$-1$&&&&&\\
\hline
2&3&$-4$&&&&&\\
\hline
3&$-4$&2&&&&&\\
\hline
3&$-4$&7&&&&&\\
\hline
4&$-3$&$-2$&&&&&\\
\hline
$-5$&$-3$&$-2$&&&&&\\
\hline
\end{tabular}
$$
Que remarque-t-on pour les colonnes grisées ?
\subsection{Signe d'un produit de plusieurs facteurs}
On donne le produit suivant :
$$A=(-3)\times5\times7\times(-9)\times(-11)\times(-7)\times4\times(-6)$$
On se propose de déterminer le signe de l'expression $A$.
\begin{enumerate}
\item Recopie et complète en déterminant le signe de chacun des 7
produits qui composent l'expression $A$.
$$A=\underbrace{\underbrace{\underbrace{\underbrace{\underbrace{\underbrace{\underbrace{(-3)\times5}_{\mbox{signe\ldots}}\times7}_{\mbox{signe\ldots}}\times(-9)}_{\mbox{signe\ldots}}\times(-11)}_{\mbox{signe\ldots}}\times(-7)}_{\mbox{signe\ldots}}\times4}_{\mbox{signe\ldots}}\times(-6)}_{\mbox{signe\ldots}}$$
\item Classe ces produits suivant leur signe.
\item Qu'ont en commun les produits dont le signe est positif ? Qu'ont
en commun les produits dont le signe est négatif ?
\end{enumerate}
$$\encadrecouleur{LightGray}{\em Lorsque je multiplie plusieurs facteurs, il faut
\dotfill\par\dotfill\\pour obtenir le signe de ce produit de plusieurs
facteurs.}$$
\subsection{Quotient de 2 nombres relatifs}
\begin{enumerate}
\item Recopie et trouve la valeur manquante dans chacun des cas :
$$\Eqalign{
4\times\ldots&=12\kern1cm&5\times\ldots&=-10\kern1cm&\ldots\times7&=-21\cr
\ldots\times(-8)&=-24&-9\times\ldots&=36&\ldots\times(-10)&=110\cr
}$$
\item On sait que {\em le quotient} de $a$ par $b$ ($b\not=0$) est le
nombre qui multiplié par $b$ donne $a$. Par exemple, le quotient de 18
par 3 est 6 (car $3\times6=18$ ou $18\div3=6$).
\\Traduis chacune des égalités de la question précédente par une
phrase commençant par \og{}{\em Le quotient de\ldots}
\item Que remarque-t-on ?
\item Prouvons cette dernière remarque.\\Soit $a$ et $b$ deux nombres
  relatifs quelconques (avec $b\not=0$) tels que
$$b\times\ldots=a$$
Plusieurs cas sont possibles :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
si $a$ et $b$ sont positifs&si $a$ et $b$ sont négatifs&si $a$ est
positif et si $b$ est négatif\\
\hline
$\underbrace{b}_+\times\underbrace{\ldots}_{\ldots}=\underbrace{a}_+$&$\underbrace{b}_-\times\underbrace{\ldots}_{\ldots}=\underbrace{a}_-$&$\underbrace{b}_-\times\underbrace{\ldots}_{\ldots}=\underbrace{a}_+$\\
\hline
Quotient de $a$ par $b$ : \ldots&Quotient de $a$ par $b$ :
\ldots&Quotient de $a$ par $b$ : \ldots\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}
$$\encadrecouleur{LightGray}{\em
Le quotient de 2 nombres relatifs de mêmes signes est \dotfill
\\Le quotient de 2 nombres relatifs de signes différents est \dotfill
}$$
