\subsection{Egalités et opérations}
\begin{leftbar}
Lorsque deux quantités sont égales, cela se traduit mathématiquement par {\em une égalité.}
$$\underbrace{\mbox{expression A}}_{\mbox{1\ier{} membre}}=\underbrace{\mbox{expression B}}_{\mbox{2\ieme{} membre}}$$
\end{leftbar}
$$\encadrecouleur{fond1}{On ne change pas une égalité si on ajoute (ou on soustrait) le même nombre aux deux membres de l'égalité.
\begin{center}
\Si $a=b$ \alors $a+c=b+c$.
\\\Si $a=b$ \alors $a-d=b-d$.
\end{center}
}$$
\par\underline{Exemple} :
$$\Eqalign{
\rnode{A}{}&&2\mbox{ cahiers }+2\mbox{ livres }&=1\mbox{ cahier }+15\mbox{\textgreek{\euro}}&&\rnode{C}{}\cr
\cr
\rnode{B}{}&&1\mbox{ cahier }+2\mbox{ livres }&=15\mbox{\textgreek{\euro}}&&\rnode{D}{}\cr
}$$
\ncbar[angleA=-180]{->}{A}{B}
\nbput{$-1$ cahier}
\ncbar{->}{C}{D}
\naput{$-1$ cahier}
$$\encadrecouleur{fond1}{On ne change pas une égalité si on multiplie (ou on divise) par le même nombre \underline{\bf non nul} les deux membres de l'égalité.
\begin{center}
\Si $a=b$ et $c\not=0$ \alors $a\times c=b\times c$.
\\\Si $a=b$ et $d\not=0$ \alors $a\div d=b\div d$.
\end{center}
}$$
\par\underline{Exemple} :
$$\Eqalign{
\rnode{A}{}&&2\mbox{ cahiers }+2\mbox{ livres }&=30\mbox{\textgreek{\euro}}&&\rnode{C}{}\cr
\cr
\rnode{B}{}&&1\mbox{ cahier }+1\mbox{ livre }&=15\mbox{\textgreek{\euro}}&&\rnode{D}{}\cr
}$$
\ncbar[angleA=-180]{->}{A}{B}
\nbput{$\div2$}
\ncbar{->}{C}{D}
\naput{$\div2$}
\subsection{Equation du 1\ier{} degré à 1 inconnue}
$$\encadrecouleur{fond1}{{\em Une équation} est une égalité dans laquelle intervient un nombre inconnu, le plus souvent représenté par une lettre.}
$$
\underline{Exemple} : $2x=3$, $-2+3x=7+4x$ sont des équations.
$$\encadrecouleur{fond1}{{\em Résoudre une équation}, c'est trouver toutes les valeurs possibles du nombre inconnu qui vérifient l'égalité. Chacune de ces valeurs est appelée une solution de l'équation.}$$
\underline{Exemple} Soit l'équation $2x+5=3x+2$.
\\Si $x=1$ alors
$$\left.\begin{array}{l}
2x+5=2\times1+5=2+5=7\\
\\
3x+2=3\times1+2=3+2=5\\
\end{array}
\right\}7\not=5$$
Pour $x=1$, $2x+5\not=3x+2$ donc 1 n'est pas solution de l'équation $2x+5=3x+2$.
\\Si $x=3$ alors
$$\left.\begin{array}{l}
2x+5=2\times3+5=6+5=11\\
\\
3x+2=3\times3+2=9+2=11\\
\end{array}
\right\}7=5$$
Pour $x=3$, $2x+5=3x+2$ donc 3 est solution de l'équation $2x+5=3x+2$.
\paragraph{Equations de référence}\subitem{}\par
Pour ces éqations, $a$, $b$, $c$ et $d$ sont des nombres et l'inconnue est notée $x$.
\par\psshadowbox{Cas n°1}
$$\color{red}a\times x=b\quad(a\not=0)$$
$$\Eqalign{
3x&=7\kern1cm&-5x&=8\cr
\frac{3x}{3}&=\frac73&\frac{-5x}{-5}&=\frac8{-5}\cr
x&=\frac73&x&=-\frac85\cr
}$$
\par\psshadowbox{Cas n°2}
$$\color{red}a\times x+b=c\quad(a\not=0,b\not=0)$$
$$\Eqalign{
-2x-5&=9\cr
-2x\underbrace{-5\mathbf{+5}}_{}&=9\mathbf{+5}\cr
-2x&=14&&{\color{LightOrange}\mbox{Cas n°1}}\cr
\frac{-2x}{-2}&=\frac14{-2}\cr
x&=-7\cr
}$$
\par\psshadowbox{Cas n°3}
$$\color{red}a\times x+b=c\times x +d\quad(a\not=0,c\not=0)$$
$$\Eqalign{
3x+5&=7x-9\cr
3x\mathbf{-7}x+5&=\underbrace{7x\mathbf{-7}x}_{}-9\cr
-4x+5&=-9&&{\color{LightOrange}\mbox{Cas n°2}}\cr
-4x\underbrace{+5\mathbf{-5}}&=9\mathbf{-5}\cr
-4x&=4\cr
\frac{-4x}{-4}&=\frac4{-4}\cr
x&=-1\cr
}$$
\subsection{Mise en équation d'un problème}
\begin{leftbar}Mettre en équation un problème, c'est traduire mathématiquement par une équation ce qui est dit en français.
\end{leftbar}
\par\underline{Exemple} {\em Un père de 45 ans a 3 enfants âgés de 6, 9 et 12 ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il égal à la somme des âges de ses enfants ?}
\begin{description}
\item[Choix de l'inconnue] Soit $x$ le nomnbre d'années cherché.
\item[Mise en équation du problème] Dans $x$ années,
\begin{itemize}
\item L'âge du père sera $45+x$ ;
\item Les âges des enfants seront $6+x$, $9+x$ et $12+x$.
\end{itemize}
On obtient donc l'équation suivante :
$$\underbrace{45+x}_{\mbox{âge du père}}=\underbrace{6+x+9+x+12+x}_{\mbox{Somme des âges des enfants}}$$
\item[Résolution de l'équation]
$$\Eqalign{
45+x&=6+x+9+x+12+x\cr
45+x&=27+3x\cr
45\underbrace{+x\mathbf{-}x}_{}&=27+3x\mathbf{-}x\cr
45&=27+2x\cr
45\mathbf{-27}&=\underbrace{27\mathbf{-27}}_{}+2x\cr
18&=2x\cr
\frac{18}2&=\frac{2x}2\cr
9&=x\cr
}$$
\item[Conclusion] Dans 9 ans, l'âge du père (45+9=54) sera égal à la somme des âges de ces enfants (6+9+9+9+12+9=15+18+21=54).
\end{description}
