\subsection{Puissances de 10}
\paragraph{Définitions}\subitem{}\par
\begin{leftbar}
Une puissance de 10 se note sous la forme $10^m$ où $m$ est un nombre relatif. Dans cette écriture, $m$ est appelé {\em l'exposant}.
\end{leftbar}
$$\encadrecouleur{fond1}{
\begin{itemize}
\item{\bf L'exposant est un entier positif}\par
Soit $m$ un entier positif. Alors
$$10^0=1\mbox{ et }10^1=10$$
$$10^m=\underbrace{10\times10\times10\times\ldots\times10}_{\mbox{$m$ fois le nombre 10}}=1\underbrace{000\ldots0}_{\mbox{$m$ zéros}}$$
\end{itemize}
}$$
\underline{Exemples}
$$10^3=10\times10\times10=1\,000\kern1cm10^5=10\times10\times10\times10\times10=100\,000$$
$$\encadrecouleur{fond1}{
\begin{itemize}
\item{\bf L'exposant est un entier positif}\par
Soit $m$ un entier positif. Alors
$$10^{-m}=\frac1{10^m}=\underbrace{0,00\ldots0}_{\mbox{$m$ zéros}}1$$
\end{itemize}
}$$
\underline{Exemples}
$$10^{-3}=\frac1{10^3}=0,001\kern1cm10^{-5}=\frac1{10^5}=0,000\,01$$
\paragraph{Formules de calculs}\subitem{}\par
$$\encadrecouleur{fond1}{({\sc Admis}) Soit $m$ et $n$ 2 nombres entiers relatifs.$$10^m\times10^n=10^{m+n}\kern2cm\frac{10^m}{10^n}=10^{m-n}\kern2cm\left(10^m\right)^n=10^{m\times n}$$
}$$
\underline{Exemples}
$$\Eqalign{
10^4\times10^{-2}&=10^{4+(-2)}=10^2\cr
\cr
\frac{10^4}{10^{-2}}&=10^{4-(-2)}=10^{4+2}=10^6\cr
\cr
\left(10^4\right)^{-2}&=10^{4\times(-2)}=10^{-8}\cr
}$$
\paragraph{Ecriture scientifique d'un nombre décimal}\subitem{}\par
$$\encadrecouleur{fond1}{{\em L'écriture scientifique} d'un nombre décimal est l'écriture de ce nombre sous la forme $a\times10^p$ où $a$ est un nombre décimal ayant un seul chiffre non nul (différent de 0) avant la virgule et $p$ un entier relatif}$$
\underline{Exemples}\\L'écriture scientifique de 385 est $3,85\times10^2$.
\\L'écriture scientifique de $A=35\,48\times10^4$ est
$$\Eqalign{
A&=3,548\times10^1\times10^4\cr
A&=3,548\times10^{1+4}\cr
A&=3,548\times10^5\cr
}$$
\subsection{Puissance d'un entier relatif}
$$\encadrecouleur{fond1}{Soit $n$ un nombre entier positif.
$$a^n=\underbrace{a\times a\times a\times\dots\times a}_{n\mbox{ fois}}\quad (n\geq 2)\qquad a^1=a\qquad a^0=1$$
$$a^{-n}=\frac1{a^n}$$
}$$
\par\underline{Exemples}
$$\Eqalign{
2^5&=2\times2\times2\times2\times2=\ldots\kern1cm&(-5)^3&=(-5)\times(-5)\times(-5)=\ldots\cr
\cr
5^{-3}&=\frac1{5^3}&(-2)^{-4}&=\frac1{(-2)^4}\cr
}$$
\paragraph{Utilisation de la calculatrice}\subitem{}\par
Touche \fbox{$\uparrow$} ou \fbox{$y^x$} ou \fbox{$x^y$}.
\par{\hfill$(-5)^3=\quad\underbrace{(\,5\,\pm\,)\,\uparrow\,3\,=}_{\mbox{calculatrice}}\quad-125$\hfill$2^5=\quad\underbrace{2\,\uparrow\,5=}_{\mbox{calculatrice}}\quad32$\hfill}
\paragraph{Opérations sur les puissances}
$$\encadrecouleur{fond1}{({\sc Admis}) Si $a$ est un entier relatif non nul et si $m$ et $n$ sont des entiers relatifs alors
$$a^m\times a^n=a^{m+n}\kern1cm\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\kern1cm\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}\kern1cm a^m\times b^m=(a\times b)^m$$
}$$
{\underline{Exemples}
$$\Eqalign{
2^4\times2^{-3}&=2^{4+(-3)}=2^1=2\kern1cm&\frac{4^2}{4^6}&=4^{2-6}=4^{-4}=\frac1{4^4}\cr
\cr
\left(5^3\right)^{-2}&=5^{3\times(-2)}=5^{-6}=\frac1{5^6}&7^3\times4^3&=\left(7\times4\right)^3=28^3\cr
}$$

