\subsection{L'égalité des 3 rapports}
\paragraph{Formulation}\subitem{}\par
$$\encadrecouleur{fond1}{
\compo{1}{coursthales}{1}{Dans un triangle $ABC$, si $M$ est un point du côté $[AB]$, $N$ un point du côté $[AC]$ et si
 les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles alors
$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$
$$\frac{\mbox{\footnotesize côtés du triangle }AMN}{\mbox{\footnotesize côtés correspondants du triangle }ABC}$$
}}$$
\paragraph{Remarques}\subitem{}\par
On dit aussi, dans cette configuration, que les longueurs des côtés du triangle
 $AMN$ sont {\em proportionnels} aux côtés correspondants du triangle $ABC$.
\par
\begin{leftbar}
\compo{2}{coursthales}{1}{Dans le cas où $M$ et $N$ appartiennent aux demi-droites $[AB)$ et $[AC)$ avec la droite
 $(MN)$ parallèle à la droite $(BC)$, on a encore
$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$
}
\end{leftbar}
\subsection{Application : calcul de longueur}
\compo{3}{coursthales}{1}{{\em L'unité est le centimètre. Les droites $(SV)$ et $(RU)$ sont parallèles.\\Calculer la longueur $RU$.}}
\par Dans le triangle $PUR$, $S$ est un point du segment $[PR]$ et $V$ est un point du segment $[PU]$ tels que les droites $(SV)$ et $(RU)$ soient parallèles. Donc, d'après \og{}l'égalité des 3 rapports\fg{}, on a
$$\frac{PS}{PR}=\frac{PV}{PU}=\frac{SV}{RU}\quad\mbox{ c'est à dire }\quad\frac{9}{13}=\frac{PV}{PU}=\frac{7}{RU}$$
\par On utilise
$$\Eqalign{
\frac{9}{13}&=\frac{7}{RU}\cr
\mbox{\bf Les produits en croix sont égaux}\cr
9\times RU&=7\times13\cr
9\times RU&=91\cr
RU&=\frac{91}9\cr
}$$
\par La longueur $RU$ mesure environ $10,1\,cm$.

