\chapter{Droites remarquables du triangle}
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\section{Activités}
\input activites/actidroitesremarquables.tex
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\section{Cours}
\input cours/coursdroitesremarquables.tex
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\section{Exercices}
{\small
\partie{100}{$\star$}
\affichage{geometrique/droites}{4}{exoa}
\partie{100}{$\star\star$}
\affichage{geometrique/droites}{6}{exob}
\partie{100}{$\star\star\star$}
\affichage{geometrique/droites}{4}{exoc}
}
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\section{Approfondissement}
\subsection{Droite d'Euler}
%\footnotetext{Leonhard {\sc Euler}, Mathématicien suisse (1707-1783)}
$$\includegraphics{droiteeuler.2}$$
\partie{150}{Construction}
\begin{enumerate}
\item Soit $ABC$ un triangle supposé non équilatéral.
\item Soit $O$ le centre du cercle $({\cal C})$ circonscrit au triangle $ABC$.
\item Soit $F$ le point diamètralement opposé à $A$.
\item Soit $K$ le point d'intersection de la hauteur issue de $A$ avec le cercle $({\cal C})$
\item Soit $M$ le milieu du segment $[BC]$.
\item Soit $H$ le point d'intersection des droites $(FM)$ et $(AK)$.
\item Soit $G$ le point d'intersection des droites $(OH)$ et $(AM)$.
\end{enumerate}
\vfill
\vskip4cm
\partie{150}{Démonstration}
\begin{enumerate}
\item Montre que les triangles $AFK$ et $AFC$ sont rectangles.
\item
\begin{enumerate}
\item Montre que la droite $(OM)$ est la médiatrice du segment $[BC]$.
\item Montre que les droites $(OM)$ et $(AK)$ sont parallèles.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montre que $M$ est le milieu du segment $[HF]$.
\item Montre que le quadrilatère $BHCF$ est un parallélogramme.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montre que les droites $(BH)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.
\item Montre que $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montre que $G$ est le centre de gravité du triangle $AHF$.
\item Quelle est la position remarquable de $G$ sur le segment $[OH]$ ?
\item Montre que $G$ est aussi le centre de gravité du triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\subsection{Cercle d'Euler ou cercle des neuf points}
$$\includegraphics{droiteeuler.3}$$
\partie{150}{Construction}
\begin{enumerate}
\item On reprend la construction précédente.
\item On appelle $\Omega$ le milieu du segment $[OH]$; $N$ et $P$ les milieux respectifs des segments $[AC]$ et $[AB]$; $D$ et $E$ le symétriques respectifs de $B$ et $C$ par rapport à $O$; $I$, $J$, $L$ les points d'intersection respectifs entres la hauteur issue de $A$ et la droite $(BC)$, la hauteur issue de $B$ et la droite $(AC)$, la hauteur issue de $C$ et la droite $(AB)$; $H_1$, $H_2$, $H_3$ les milieux respectifs des segments $[AH]$, $[BH]$ et $[CH]$.
\end{enumerate}
\partie{150}{Démonstration}
Démontre que les points $M$, $N$, $P$, $I$, $J$, $L$, $H_1$, $H_2$ et $H_3$ sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
\par\vspace{3mm}
\underline{Indication} : {\em On cherchera par expérimentation quel pourrait être le centre de ce cercle et on déterminera ensuite la valeur du rayon à l'aide d'un des points.
\par Restera ensuite à prouver que tous les autres points donnent la même valeur du rayon.\\Chose \og{}simple\fg{} pour les points $M$, $N$, $P$, $H_1$, $H_2$, $H_3$. Pour le point $I$, on pourra considérer la parallèle à la droite $(AH)$ passant par $\Omega$ et démontrer qu'elle coupe le segment $[IM]$ en son milieu.}
