\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\columnseprule0.25pt
\begin{document}
\small
\begin{center}{\underline{\bf\Large Brevet - Groupement Nord - Juin 2002}}
\end{center}
\section*{\underline{Activités Numériques}\hfill 12 points}\label{num}
\par\exo{1}
$$A=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times\frac{4}{7}\kern2cm
B=\frac{6}{5}\div\left(\frac{1}{15}-\frac{1}{5}\right)$$
\begin{enumerate}
\item Calculer $A$ et écrire la réponse sous forme de fraction
  irréductible.
\item Calculer $B$ et écrire la réponse sous forme d'un entier.
\end{enumerate}
\par\exo{2} On considère l'expression $C=(3x-1)^2-(3x-1)(2x+3)$.
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $C$.
\item Factoriser $C$.
\item Résoudre l'équation $(3x-1)(x-4)=0$.
\item Calculer $C$ pour $x=\sqrt2$.
\end{enumerate}
\par\exo{3} Une fermière vend 3 canards et 4 poulets pour $70,30$\euro.
\par Un canard et un poulet valent ensemble 20,70\euro.
\par Déterminer le prix d'un poulet et celui d'un canard.
\par\exo{4} Pour le 1\ier Mai, Julie dispose de 182 brins de muguet et 78
roses.
\par Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en
utilisant toutes ses fleurs.
\par Combien de bouquets identiques pourra-t-elle faire ?
\par Quelle sera la composition de chaque bouquet ?
\section*{\underline{Activités Géométriques}\hfill 12 points}\label{geo}
\exo{1} La figure suivante est donnée à titre indicatif pour préciser
la position des points $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$. Les longueurs
représentées ne sont pas exactes.
\par
\begin{minipage}{10cm}
\includegraphics{0102brevetgrpnord.0}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{5cm}
On donne :
\par$CE=5$,
\par$CD=12$,
\par$CA=18$,
\par$CB=7,5$
\par$AB=19,5$
\end{minipage}
\par
\begin{enumerate}
\item Montrer que les droites $(ED)$ et $(AB)$ sont parallèles.
\item Montrer que $ED=13$.
\item Montrer que le triangle $CED$ est rectangle.
\item Calculer $\tan\widehat{DEC}$ puis en déduire la valeur arrondie
  au degré près de la mesure de l'angle $\widehat{DEC}$.
\end{enumerate}
\exo{2} Sachant que $O$ est le centre du cercle passant par les points
$A$, $B$, $C$, déterminer la mesure des angles du triangle $ABC$
sachant que $\widehat{AOB}=50$° et $\widehat{BOC}=150$°, en justifiant
chacune de vos réponses.
$$\includegraphics{0102brevetgrpnord.1}$$
\par\exo{3}
\begin{enumerate}
\item Tracer, sur la feuille annexe, le symétrique ${\cal P}_1$ de la
  figure $\cal P$ par rapport au point $O$.
\item Tracer, sur la feuille annexe, le symétrique ${\cal P}_2$ de la
  figure $\cal P$ par rapport à la droite $(EF)$.
\item Tracer, sur la feuille annexe, l'image ${\cal P}_3$ de la
  figure $\cal P$ par la translation de vecteur $\vecteur{AB}$.
\item Tracer, sur la feuille annexe, l'image ${\cal P}_4$ de la
  figure $\cal P$ dans la rotation de centre $E$, d'angle 90° et dans
  le sens de la flèche.
\end{enumerate}
$$\includegraphics[scale=0.8]{0102brevetgrpnord.2}$$
\section*{\underline{Problème}\hfill 12 points}
$ABCD$ est un rectangle tel que $AB=6\,cm$ et $AD=4\,cm$.
\par\underline{\bf Première Partie}
\par
\begin{minipage}{10cm}
\includegraphics{0102brevetgrpnord.3}
\end{minipage}
\hfill\begin{minipage}{10cm}
$M$ est le point du segment $[BC]$ tel que $BM=2\,cm$.
\par $N$ est le point du segment $[CD]$ tel que $CN=2\,cm$.
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur $AM$ sous la forme $a\sqrt b$ ($b$ nombre
  entier le plus petit possible).
\item Démontrer que l'aire du quadrilatère $AMCN$ est $10\,cm^2$.
\end{enumerate}
\par\underline{\bf Deuxième Partie}
\par
\begin{minipage}{10cm}
\includegraphics{0102brevetgrpnord.4}
\end{minipage}
\hfill\begin{minipage}{8cm}
Les points $M$ et $N$ peuvent se déplacer respectivement sur les
segments $[BC]$ et $[CD]$ de façon que $BM=CN=x$ ($0<x\leq4$).
\end{minipage}
\par\begin{enumerate}
\item Exprimer l'aire du triangle $ABM$ en fonction de $x$.
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer la longueur $DN$ en fonction de $x$.
\item Démontrer que l'aire du triangle $ADN$ en fonction de $x$ est
  $-2x+12$.
\end{enumerate}
\item\begin{enumerate}
\item Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ avec $OI=OJ=1\,cm$,
  représenter graphiquement les fonctions affines
$$f:x\mapsto3x\kern2cm\mbox{et}\kern2cm g:x\mapsto-2x+12$$
\item Calculer les coordonnées du point $R$, intersection de ces deux
  représentations.
\end{enumerate}
\item\begin{enumerate}
\item Pour quelle valeur de $x$, les aires des triangles $ABM$ et
  $ADN$ sont-elles égales ?\par Justifier la réponse.
\item Pour cette valeur de $x$, calculer l'aire du quadrilatère
$AMCN$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}

