\documentclass[a4paper,12pt]{article}
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\input christ5.tex
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\columnseprule0.25pt
\begin{document}
\small
\begin{minipage}{15cm}
\begin{center}
\hrule
\kern3mm
%\underline{
\bf\Large Brevet - Groupement Nord - Juin 2002%}
\par Correction\par
\kern3mm
\hrule
\end{center}
\end{minipage}
\section*{\underline{Activités Numériques}\hfill 12 points}\label{num}
\begin{multicols}{2}
\par\exo{1}
$$A=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times\frac{4}{7}\kern2cm
B=\frac{6}{5}\div\left(\frac{1}{15}-\frac{1}{5}\right)$$
\begin{enumerate}
\item{\em Calculer $A$ et écrire la réponse sous forme de fraction
    irréductible.}
\item{\em Calculer $B$ et écrire la réponse sous forme d'un entier.}
\end{enumerate}
$$\Eqalign{
A&=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times\frac{4}{7}\kern2cm&B&=\frac{6}{5}\div\left(\frac{1}{15}-\frac{1}{5}\right)\cr
A&=\frac{1}{3}-\frac{4}{21}&B&=\frac{6}{5}\div\left(\frac{1}{15}-\frac{3}{15}\right)\cr
A&=\frac{7}{21}-\frac{4}{21}&B&=\frac{6}{5}\div\frac{-2}{15}\cr
A&=\frac{3}{21}&B&=\frac{6}{5}\times\frac{15}{-2}\cr
A&=\frac{1\times3}{7\times3}&B&=\frac{90}{-10}\cr
A&=\frac{1}{7}&B&=-9\cr
}$$
\par\exo{2}\par{\em On considère l'expression\par $C=(3x-1)^2-(3x-1)(2x+3)$.}
\begin{enumerate}
\item{\em Développer et réduire $C$.}
$$\Eqalign{
C&=(3x-1)^2-(3x-1)(2x+3)\cr
C&=(3x)^2-2\times3x\times1+1^2-(6x^2+9x-2x-3)\cr
C&=9x^2-6x+1-(6x^2+7x-3)\cr
C&=9x^2-6x+1-6x^2-7x+3\cr
C&=3x^2-13x+4\cr
}$$
\item{\em Factoriser $C$.}
$$\Eqalign{
C&=(3x-1)^2-(3x-1)(2x+3)\cr
C&=\underline{(3x-1)}\times(3x-1)-\underline{(3x-1)}\times(2x+3)\cr
C&=(3x-1)\times\left[(3x-1)-(2x+3)\right]\cr
C&=(3x-1)\times(3x-1-2x-3)\cr
C&=(3x-1)(x-4)\cr
}$$
\item{\em Résoudre l'équation $(3x-1)(x-4)=0$.}
\par C'est une équation-produit donc
$$\Eqalign{
3x-1&=0\kern1cm\mbox{ou}\kern1cm&x-4&=0\cr
3x&=1&x&=4\cr
x&=\frac{1}{3}\cr
}$$
\par Les solutions de cette équation sont $x=4$ et $x=\dfrac{1}{3}$.
\item{\em Calculer $C$ pour $x=\sqrt2$.}
\par On utilise l'écriture $C=3x^2-13x+4$.
$$\Eqalign{
C&=3\times\left(\sqrt2\right)^2-13\times\sqrt2+4\cr
C&=3\times2-13\sqrt2+4\cr
C&=6-13\sqrt2+4\cr
C&=10-13\sqrt2\cr
}$$
\end{enumerate}
\par\exo{3}{\em Une fermière vend 3 canards et 4 poulets pour $70,30$\euro.
\par Un canard et un poulet valent ensemble 20,70\euro.
\par Déterminer le prix d'un poulet et celui d'un canard.}
\par Soit $x$ le prix d'un poulet alors le prix d'un canard est
$20,70-x$. On obtient alors
$$\Eqalign{
3\times(20,70-x)+4x&=70,30\cr
62,10-3x+4x&=70,30\cr
x+62,10&=70,30\cr
x&=70,30-62,10\cr
x&=8,20\cr
}$$
\par Le prix d'un poulet est 8,20\euro et le prix d'un canard est $20,70-8,20=12,50$\euro.
\par\exo{4}{\em Pour le 1\ier Mai, Julie dispose de 182 brins de muguet et 78
roses.
\par Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en
utilisant toutes ses fleurs.
\par Combien de bouquets identiques pourra-t-elle faire ?
\par Quelle sera la composition de chaque bouquet ?}
\par On doit déterminer le plus grand nombre qui divise à la fois les
brins de muguets et les roses : il faut donc calculer le
$\pgcd(182,78)$.
$$\begin{tabular}{cccc}
$a$&$b$&$r$&\\
182&78&26&car $182=2\times78+26$\\
78&26&0&car $78=3\times26+0$\\
\end{tabular}
$$
\par Par conséquent, Julie pourra faire 26 bouquets composés de
$182\div26=7$ brins de muguets et $78\div26=3$ roses.
\end{multicols}
\section*{\underline{Activités Géométriques}\hfill 12 points}\label{geo}
\exo{1}{\em La figure suivante est donnée à titre indicatif pour
  préciser la position des points $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$. Les
  longueurs représentées ne sont pas exactes.}
\par
\begin{minipage}{10cm}
\includegraphics{0102brevetgrpnord.0}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{5cm}
{\em On donne :
\par$CE=5$,
\par$CD=12$,
\par$CA=18$,
\par$CB=7,5$
\par$AB=19,5$}
\end{minipage}
\par
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item{\em Montrer que les droites $(ED)$ et $(AB)$ sont parallèles.}
\par Dans le triangle $ABC$, $E$ est un point de la droite $(CB)$ et
$D$ est un point de la droite $(AC)$.
\par
$$\left.
\begin{tabular}{l}
$\dfrac{CA}{CD}=\dfrac{18}{12}=\dfrac{3}{2}$\\
\\
$\dfrac{CB}{CE}=\dfrac{7,5}{5}=\dfrac{3\times2,5}{2\times2,5}=\dfrac{3}{2}$\\
\end{tabular}
\right\}\frac{CA}{CD}=\frac{CB}{CE}
$$
\par De plus, les points $A,\,C,\,D$ sont alignés dans
le même ordre que les points $B,\,C,\,E$. Donc les droites $(ED)$ et
$(AB)$ sont parallèles d'après la réciproque du théorème de Thalès.
\item{\em Montrer que $ED=13$.}
\par Dans le triangle $ABC$, $E$ est un point de la droite $(CB)$ et $D$
est un point de la droite $(AC)$ tels que les droites $(ED)$ et $(AB)$
soient parallèles. Le théorème de Thalès permet d'écrire :
$$\Eqalign{
\frac{CA}{CD}&=\frac{CB}{CE}=\frac{AB}{ED}\cr
\frac{18}{12}&=\frac{7,5}{5}=\frac{19,5}{ED}\cr
}$$
\par On utilise
$$\Eqalign{
\frac{18}{12}&=\frac{19,5}{ED}\cr
ED\times18&=19,5\times12\cr
ED\times18&=234\cr
ED&=\frac{234}{18}\cr
ED&=13\cr
}$$
\par La longueur $ED$ mesure donc bien 13.
\item{\em Montrer que le triangle $CED$ est rectangle.}
\par Dans le triangle $CED$, $[ED]$ est le plus grand côté.
$$\begin{tabular}{l}
$ED^2=13^2=\underline{169}$\\
\\
$EC^2+CD^2=5^2+12^2=25+144=\underline{169}$\\
\end{tabular}
$$
\par Comme $ED^2=EC^2+CD^2$, le triangle $ECD$ est rectangle en $C$
d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
\item{\em Calculer $\tan\widehat{DEC}$ puis en déduire la valeur
    arrondie au degré près de la mesure de l'angle $\widehat{DEC}$.}
\par Dans le triangle $CED$, rectangle en $C$, on a
$$\Eqalign{
\tan\widehat{DEC}&=\frac{CD}{CE}\cr
\tan\widehat{DEC}&=\frac{12}{5}\cr
\widehat{DEC}&\simeq67°\cr
}$$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\pagebreak
\exo{2}{\em Sachant que $O$ est le centre du cercle passant par les
  points $A$, $B$, $C$, déterminer la mesure des angles du triangle
  $ABC$ sachant que $\widehat{AOB}=50$° et $\widehat{BOC}=150$°, en
  justifiant chacune de vos réponses.}
$$\includegraphics{0102brevetgrpnord.1}$$
\begin{multicols}{2}
L'angle $\widehat{BCA}$ est un angle inscrit associé à l'angle au
centre $\widehat{AOB}$. D'après le théorème de l'angle inscrit, on a
$$\Eqalign{
\widehat{BCA}&=\frac{1}{2}\times\widehat{AOB}\cr
\widehat{BCA}&=\frac{1}{2}\times50\cr
\widehat{BCA}&=25\cr
}$$
\par L'angle $\widehat{BCA}$ mesure 25°.
\par L'angle $\widehat{CAB}$ est un angle inscrit associé à l'angle au
centre $\widehat{COB}$. D'après le théorème de l'angle inscrit, on a
$$\Eqalign{
\widehat{CAB}&=\frac{1}{2}\times\widehat{COB}\cr
\widehat{CAB}&=\frac{1}{2}\times150\cr
\widehat{CAB}&=75\cr
}$$
\par L'angle $\widehat{CAB}$ mesure 75°.
\par Dans le triangle $ABC$, on a
$$\Eqalign{
\widehat{ABC}+\widehat{BCA}+\widehat{CAB}&=180\cr
\widehat{ABC}+25+75&=180\cr
\widehat{ABC}+100&=180\cr
\widehat{ABC}&=80\cr
}$$
\par L'angle $\widehat{ABC}$ mesure 80°.
\end{multicols}
\par\exo{3}
\begin{enumerate}
\item Tracer, sur la feuille annexe, le symétrique ${\cal P}_1$ de la
  figure $\cal P$ par rapport au point $O$.
\item Tracer, sur la feuille annexe, le symétrique ${\cal P}_2$ de la
  figure $\cal P$ par rapport à la droite $(EF)$.
\item Tracer, sur la feuille annexe, l'image ${\cal P}_3$ de la
  figure $\cal P$ par la translation de vecteur $\vecteur{AB}$.
\item Tracer, sur la feuille annexe, l'image ${\cal P}_4$ de la
  figure $\cal P$ dans la rotation de centre $E$, d'angle 90° et dans
  le sens de la flèche.
\end{enumerate}
$$\includegraphics[scale=0.8]{0102brevetgrpnordc.0}$$
\section*{\underline{Problème}\hfill 12 points}
{\em $ABCD$ est un rectangle tel que $AB=6\,cm$ et $AD=4\,cm$.}
\par\underline{\bf Première Partie}
\par
\begin{minipage}{10cm}
\includegraphics{0102brevetgrpnord.3}
\end{minipage}
\hfill\begin{minipage}{10cm}
{\em $M$ est le point du segment $[BC]$ tel que $BM=2\,cm$.
\par $N$ est le point du segment $[CD]$ tel que $CN=2\,cm$.}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item{\em Calculer la longueur $AM$ sous la forme $a\sqrt b$ ($b$ nombre
  entier le plus petit possible).}
\par Dans le triangle $ABM$, rectangle en $B$, le théorème de
Pythagore permet d'écrire :
$$\Eqalign{
AM^2&=AB^2+BM^2\cr
AM^2&=6^2+2^2\cr
AM^2&=36+4\cr
AM^2&=40\cr
AM&=\sqrt{40}\cr
AM&=\sqrt{4\times10}\cr
AM&=2\sqrt{10}\,cm\cr
}$$
\item{\em Démontrer que l'aire du quadrilatère $AMCN$ est $10\,cm^2$.}
\par Calculons l'aire des triangles $ABM$ et $ADN$.
\par $N$ appartient au segment $[CD]$ donc $DN=DC-CN=6-2=4\,cm$.
$$\Eqalign{
{\cal A}_{ABM}&=\frac{AB\times BM}{2}\kern2cm&{\cal  A}_{ADN}&=\frac{AD\times DN}{2}\cr
{\cal A}_{ABM}&=\frac{6\times 2}{2}&{\cal A}_{ADN}&=\frac{4\times 4}{2}\cr
{\cal A}_{ABM}&=\frac{12}{2}&{\cal A}_{ADN}&=\frac{16}{2}\cr
{\cal A}_{ABM}&=6\,cm^2&{\cal A}_{ADN}&=8\,cm^2\cr
}$$
\par Comme ${\cal A}_{AMCN}={\cal A}_{ABCD}-{\cal A}_{ABM}-{\cal
  A}_{ADN}$, n obtient alors
$$\Eqalign{
{\cal A}_{AMCN}&={\cal A}_{ABCD}-{\cal A}_{ABM}-{\cal A}_{ADN}\cr
{\cal A}_{AMCN}&=AB\times BC-6-8\cr
{\cal A}_{AMCN}&=6\times 4-6-8\cr
{\cal A}_{AMCN}&=24-6-8\cr
{\cal A}_{AMCN}&=10\,cm^2\cr
}$$
\end{enumerate}
\par\underline{\bf Deuxième Partie}
\par
\begin{minipage}{10cm}
\includegraphics{0102brevetgrpnord.4}
\end{minipage}
\hfill\begin{minipage}{8cm}
{\em Les points $M$ et $N$ peuvent se déplacer respectivement sur les
segments $[BC]$ et $[CD]$ de façon que $BM=CN=x$ ($0<x\leq4$).}
\end{minipage}
\par\begin{enumerate}
\item{\em Exprimer l'aire du triangle $ABM$ en fonction de $x$.}
\par On a
$$\Eqalign{
{\cal A}_{ABM}&=\frac{AB\times AM}{2}\cr
{\cal A}_{ABM}&=\frac{6\times x}{2}\cr
{\cal A}_{ABM}&=\frac{6x}{2}\cr
{\cal A}_{ABM}&=3x\cr
}$$
\item
\begin{enumerate}
\item{\em Calculer la longueur $DN$ en fonction de $x$.}
\par $N$ appartient au segment $[CD]$ donc $DN=DC-CN=6-x$.
\item{\em Démontrer que l'aire du triangle $ADN$ en fonction de $x$ est
  $-2x+12$.}
\par On a
$$\Eqalign{
{\cal A}_{ADN}&=\frac{AD\times DN}{2}\cr
{\cal A}_{ADN}&=\frac{4\times(6-x)}{2}\cr
{\cal A}_{ADN}&=\frac{24-4x}{2}\cr
{\cal A}_{ADN}&=12-2x\cr
{\cal A}_{ADN}&=-2x+12\cr
}$$
\end{enumerate}
\item\begin{enumerate}
\item{\em Dans un repère orthonormé $(O,I,J)$ avec $OI=OJ=1\,cm$,
  représenter graphiquement les fonctions affines}
$$f:x\mapsto3x\kern2cm\mbox{et}\kern2cm g:x\mapsto-2x+12$$
\begin{multicols}{2}
La fonction $f$ est une fonction linéaire : sa représentation
graphique est une droite qui passe par l'origine du repère.
\par De plus, pour $x=2$, on a $f(2)=3\times2=6$. La droite passe
également par le point de coordonnées $(2,6)$.
\par La fonction $f$ est une fonction affine : sa représentation
graphique est une droite qui passe par le point $(0,b)$, c'est-à-dire $(0,12)$.
\par De plus, pour $x=2$, on a $f(2)=-2\times2+12=-4+12=8$. La droite passe
également par le point de coordonnées $(2,8)$.
\end{multicols}
$$\includegraphics{0102brevetgrpnordc1.1}$$
\item{\em Calculer les coordonnées du point $R$, intersection de ces deux
  représentations.}
\par On a
$$\Eqalign{
&\left\{\begin{tabular}{l}
$y=3x$\\
$y=-2x+12$\\
\end{tabular}
\right.\cr
&\left\{\begin{tabular}{l}
$y=3x$\\
$0=3x-(-2x+12)$\\
\end{tabular}
\right.\cr
&\left\{\begin{tabular}{l}
$y=3x$\\
$0=3x+2x-12)$\\
\end{tabular}
\right.\cr
&\left\{\begin{tabular}{l}
$y=3x$\\
$0=5x-12$\\
\end{tabular}
\right.\cr
&\left\{\begin{tabular}{l}
$y=3x$\\
$12=5x$\\
\end{tabular}
\right.\cr
&\left\{\begin{tabular}{l}
$y=3x$\\
$\dfrac{12}{5}=x$\\
\end{tabular}
\right.\cr
&\left\{\begin{tabular}{l}
$y=3\times\dfrac{12}{5}$\\
$\dfrac{12}{5}=x$\\
\end{tabular}
\right.\cr
&\left\{\begin{tabular}{l}
$y=\dfrac{36}{5}$\\
$\dfrac{12}{5}=x$\\
\end{tabular}
\right.\cr
}$$
\par Les coordonnées du point $R$ sont $\left(\dfrac{12}{5};\dfrac{36}{5}\right)$
\end{enumerate}
\item\begin{enumerate}
\item{\em Pour quelle valeur de $x$, les aires des triangles $ABM$ et
  $ADN$ sont-elles égales ?\par Justifier la réponse.}
\par Les aires des ces deux triangles sont égales lorsque leurs
représentations graphiques sont sécantes, c'est-à-dire au point
$R$. Par conséquent, la valeur de $x$ cherchée est l'abscisse du point
$R$ ; $x=\dfrac{12}{5}$.
\item{\em Pour cette valeur de $x$, calculer l'aire du quadrilatère
$AMCN$.}
\par Pour cette valeur de $x$, on a ${\cal A}_{ABM}={\cal
  A}_{ADN}=\dfrac{36}{5}$ (c'est l'ordonnée de $R$).
\par On a
$$\Eqalign{
{\cal A}_{AMCN}&={\cal A}_{ABCD}-{\cal A}_{ABM}-{\cal A}_{ADN}\cr
{\cal A}_{AMCN}&=24-\frac{36}{5}-\frac{36}{5}\cr
{\cal A}_{AMCN}&=24-\frac{72}{5}\cr
{\cal A}_{AMCN}&=\frac{120}{5}-\frac{72}{5}\cr
{\cal A}_{AMCN}&=\frac{48}{5}\,cm^2\cr
}$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}

