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\newdimen\shadeshift\shadeshift=1pt
\def\shadedtext#1{{\setbox0=\hbox{#1}\leavevmode
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\title{\shadedtext{Passer de l'hexagone régulier au pentagone régulier} \shadedtext{uniquement avec un compas.}}
\author{Christophe Poulain\footnote{D'après {\sl Géométrie du nombre d'or} -- Robert {\sc Vincent} -- Chalagam}}
\date{\today}
\input christ5.tex

\begin{document}
\maketitle
\abstract{Les vacances réservent de bonnes surprises. En visitant une abbaye, je suis tombé sur le livre {\sl Géométrie du nombre d'or} de Robert {\sc Vincent}. Après une première lecture rapide mais studieuse, une autre, plus approfondie, m'a fait découvrir cette construction ; mais sans les justifications mathématiques. C'est ce \og{}manque\fg{} que je me propose de combler dans ce petit feuillet sans prétentions.}
\section{Un peu de mathématiques sur le pentagone régulier}
Considérons la figure ci-dessous où $O$ représente le centre du cercle $\cal C$. Les points $A$ et $B$ sont des points du cercle $\cal C$ tels que le segment $[AB]$ soit un côté d'un pentagone régulier inscrit dans ce cercle $\cal C$. $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur la droite $(OA)$.
$$\includegraphics{\jobname.1}$$

On cherche à obtenir une relation entre le rayon $r$ et la longueur du segment $[AB]$ notée $a$.
\\On sait\footnote{Grâce aux nombres complexes.} que
$$\cos\frac{2\pi}5=\frac{\sqrt5-1}4$$
et alors
$$OH=\frac{\sqrt5-1}4r$$
On a donc
$$\Eqalign{
AH&=AO-OH\cr
AH&=r-\frac{\sqrt5-1}4r\cr
AH&=r\left(1-\frac{\sqrt5-1}4\right)\cr
AH&=\frac{5-\sqrt5}4r\cr
}$$

Calculons $BH^2$.
$$\Eqalign{
BH^2&=r^2-\left(\frac{\sqrt5-1}4\right)^2r^2\cr
BH^2&=r^2\left(1-\frac{6-2\sqrt5}{16}\right)\cr
BH^2&=\frac{5+\sqrt5}8r^2\cr
}$$

Déterminons maintenant $a^2$.
$$\Eqalign{
a^2&=BH^2+AH^2\cr
a^2&=\frac{5+\sqrt5}8r^2+\left(\frac{5-\sqrt5}4\right)^2r^2\cr
a^2&=r^2\left(\frac{5+\sqrt5}8+\frac{30-10\sqrt5}{16}\right)\cr
a^2&=r^2\left(\frac{40-8\sqrt5}{16}\right)\cr
}$$
\begin{equation}\label{relation}
a^2=\frac{5-\sqrt5}2r^2
\end{equation}
C'est sur cette dernière relation que nous baserons la démonstration de la construction.
\section{La construction}
Avant de commencer ce paragraphe, voici la figure que l'on obtient
$$\includegraphics{\jobname.2}$$
et voici son programme de construction :
\begin{enumerate}
\item Soit un cercle $\cal C$ de centre $O$ et de rayon $OA$.
\item Tracer l'hexagone régulier $ABCDEF$ de centre $O$.
\item L'arc de cercle de centre $A$ et de rayon $AC$ coupe l'arc de cercle de centre $D$ et de rayon $DB$ en $G$.
\item Soit $H$ le milieu de l'arc $\stackrel{\rotatebox{90}{)}}{AB}$. L'arc de cercle de centre $H$ et de rayon $OG$ coupe la droite $(OG)$ en $I$.
\item L'arc de cercle de centre $A$ et de rayon $AI$ coupe le cercle $\cal C$ en $J$.
\item $AJ$ est la longueur du côté du pentagone régulier inscrit dans le cercle $\cal C$.
\end{enumerate}
\section{Démonstration}
Pour démontrer que le pentagone $AJKLM$ est régulier, on utilise la figure suivante :
$$\includegraphics{\jobname.3}$$
Soit $r$ le rayon du cercle.
\par En appliquant 2 fois le théorème de Pythagore (dans les triangles rectangles $ACD$ et $AOG$), on obtient
$$AC=r\sqrt3\kern2cm\mbox{et}\kern2cm OG=r\sqrt2$$
\par On a $\widehat{IOH}=120\degres$ et la formule d'Al-Kashi appliquée au triangle $OHI$ nous permet d'écrire
$$\Eqalign{
HI^2&=OH^2+OI^2+2.OH.OI.\cos120\cr
2r^2&=r^2+OI^2-2r.OI.\frac12\cr
}$$
La longueur $OI$ est donc solution de l'équation du second degré
$$OI^2-r.OI-r^2=0$$
de discriminant $5r^2$ et donc la seule solution positive est
$$OI=\frac{r+r\sqrt5}2=\frac{1+\sqrt5}2r=\phi r$$
où $\phi$ est la notation classique de $\dfrac{1+\sqrt5}2$, c'est à dire le nombre d'or\footnote{Rappelons que $\phi$ est solution de l'équation
$$x^2-x-1=0$$}.
\par En appliquant une nouvelle fois le théorème de Pythagore dans le triangle $AOI$, on obtient
$$\Eqalign{
AI^2&=r^2+\phi^2r^2\cr
AI^2&=r^2\left(1+\phi^2\right)\cr
AI^2&=r^2\left(2+\phi\right)\cr
AI^2&=r^2\left(\frac{5+\sqrt5}2\right)\cr
}$$
Ce qui est conforme à l'égalité \ref{relation} et prouve que $AJKLM$ est un pentagone régulier.
\end{document}
