\documentclass[12pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[LGR,T1]{fontenc} \usepackage[greek,frenchb]{babel} \parindent1pt \topmargin0pt\headsep0pt\headheight0pt\footskip0pt \usepackage[a4paper,margin=5mm]{geometry} \usepackage{amsmath} %American Mathematic Society \usepackage{tabularx} \usepackage{enumerate} \usepackage{color} %couleur \usepackage{textcomp} %pour des symboles suplémentaires comme ° \usepackage{fancybox} %encadrer du texte \usepackage{fancyhdr} %entête et pied de page personalisé \usepackage{lastpage} %calcul le nombre de page total dans le document \usepackage{graphicx} %insertion d'images aux formats métapost \usepackage{ifthen} %faire des tests avec la fonction ifthenelse \usepackage{ulem} %soulignement en forme de vague \usepackage{soul} %surlignage \usepackage{multicol} %multicolonnage \usepackage{picins} %insérer une image dans un texte \usepackage{mathptmx} %écriture cursive arrondie %---------------------------------------------------------------------------------- % Correction vue ou cachée %---------------------------------------------------------------------------------- \newboolean{visible} %\setboolean{visible}{true} \newcommand{\blancs}[1]{% \textcolor{red}{\ifthenelse{\boolean{visible}}{#1}{\uwave{ \phantom{\large #1}}}}% } \newcommand{\blanc}[1]{% \textcolor{red}{\ifthenelse{\boolean{visible}}{#1}{ \phantom{\large #1}}}% } \newcommand{\barem}[1]{% \textcolor{green}{\ifthenelse{\boolean{visible}}{\textsf{#1}}{}}% } %----------------------------------------------------------------------------------- %------------------------------------------------ %redefinition des listes numérotées (copie de chris5.tex) %------------------------------------------------ \def\labelenumi{{\bf \theenumi °)}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %macro pour exercice numéro ... %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcounter{numeroexo} \newcommand{\exo}{\par\noindent\stepcounter{numeroexo} \hspace{-.25cm}\Ovalbox{\textbf{Exercice \arabic{numeroexo}}}\;} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %macro pour le nombre de points et le titre de l'exercice %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\pts}[2]{\noindent \textcolor{red}{\textsl{(sur #1 points)}}\; %#1 pour le nombre de points \textcolor{blue}{\textsc{#2 }}} %#2 pour le titre de l'exo %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %macro pour le barem : 0,5 points %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\bardemipt}[1]{\fcolorbox{green}{white}{#1}} %#1 ce qui doit figurer dans le cadre %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %macro pour le barem : 0,25 points %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\barquartpt}[1]{\fcolorbox{blue}{white}{#1}} %#1 ce qui doit figurer dans le cadre \pagestyle{empty} \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{} \definecolor{grisclair}{gray}{0.96} %%%%%%%%%%%%%%%%% %entête du devoir %%%%%%%%%%%%%%%%% \geometry{top=.5cm,bottom=1.4cm,left=1cm,right=1cm} \pagestyle{fancy} \fancyhead{} \renewcommand\headrulewidth{0pt} %\ifthenelse{\boolean{visible}}{}{\lhead{ %{\bf Nom : \hspace*{4cm} Prénom : } %}} %\ifthenelse{\boolean{visible}}{}{ \rhead{Classe de 4$^{\textrm{e}}$\hspace*{2pc}} }%entête classe %%\hrule %\fancyfoot{} %\rfoot{Page \thepage sur \Pageref{LastPage}} \rfoot{Page \thepage\ / \pageref{LastPage}} \fancyfoot[C]{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % le document commence réellement ici %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ %------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ \setboolean{visible}{false} %Cacher la correction en mettant "false" pour la variable "visible" %------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ %------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ %°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° % Entête du devoir avec nom et prénom + nom du devoir % ou % correction du devoir si visible=true %°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° {\large \ifthenelse{\boolean{visible}}{}{ {\bf Nom : \hspace*{5cm} Prénom : \hfill{4$^{e}$}\hspace*{1pc}\\} \vspace{-.3cm} \hrule } \begin{center} \ifthenelse{\boolean{visible}}{ \fcolorbox{red}{grisclair}{{\bf \strut \qquad Correction du devoir sur le théorème de Pythagore et sa réciproque \qquad \strut}}\par} {\fcolorbox{blue}{grisclair}{{\bf \strut \qquad Devoir sur le théorème de Pythagore et sa réciproque \qquad \strut}}\par} \textbf{\textsf{\dotfill La calculatrice est autorisée\dotfill}}\par \ifthenelse{\boolean{visible}}{}{\textsf{\textbf{\hrulefill La rédaction sera évaluée dans tout le devoir \hrulefill}}} \end{center} %\parskip3pt %°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° % FIN Entête du devoir %°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %exercice suivant %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \ifthenelse{\boolean{visible}}{ \hrulefill \fbox{\textcolor{green}{Barem sur} \bardemipt{0,5 points} \textcolor{green}{ou} \barquartpt{0,25 points}}\hrulefill \par }{} \exo\pts{3}{Calcul de longueur} \noindent Dans le triangle ABC rectangle en A on a : $AB=6\,cm$ et $AC=8\,cm$. \\ Calculer la longueur du coté $[BC]$.\ifthenelse{\boolean{visible}}{\\[.3cm]}{\vspace{-1cm}} \blanc{\bardemipt{Le triangle ABC est rectangle en A} donc \bardemipt{l'hypoténuse est le coté [BC]}.\\ \textit{\bardemipt{Le théorème de \textsc{Pythagore}}} donne : \bardemipt{$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$}\\} \blanc{\phantom{\textit{Le théorème de \textsc{Pythagore}} donne : } $BC^{2}=6^{2}+8^{2}$\\} \blanc{\phantom{\textit{Le théorème de \textsc{Pythagore}} donne : }\bardemipt{$BC^{2}=36+64=100$}\\} \blanc{\phantom{\textit{Le théorème de \textsc{Pythagore}} don}donc \bardemipt{$BC=\sqrt{100}=10\,cm$}\\} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %exercice suivant %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \exo\pts{3}{Calcul de longueur bis} Dans le triangle IJK rectangle en I on a : $IJ=12\,cm$ et $JK=13\,cm$.\\ Calculer la longueur du coté $[IK]$.\ifthenelse{\boolean{visible}}{\\[.3cm]}{\vspace{-.8cm}} \blanc{\bardemipt{Le triangle IJK est rectangle en I} donc \bardemipt{l'hypoténuse est le coté [JK]}.\\ \textit{\bardemipt{Le théorème de \textsc{Pythagore}}} donne : \bardemipt{$JK^{2}=IJ^{2}+IK^{2}$}\\} \blanc{\phantom{\textit{Le théorème de \textsc{Pythagore}} donne : }$13^{2}=12^{2}+IK^{2}$\\} \blanc{\phantom{\textit{Le théorème de \textsc{Pythagore}} donne }$169=144+IK^{2}$\\} \blanc{\phantom{\textit{Le théorème de \textsc{Pythagore}} don}soit \bardemipt{$IK^{2}=169-144=25$}\\} \blanc{\phantom{\textit{Le théorème de \textsc{Pythagore}} don}donc \bardemipt{$IK=\sqrt{25}=5\,cm$}\\} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %exercice suivant %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \exo\pts{3}{Triangle rectangle ?} Dans le triangle RAS on a : $AR=6\,cm$, $RS=3,2\,cm$ et $AS=6,8\,cm$.\\ Démontrer que le triangle RAS est rectangle. On précisera en quel point.\ifthenelse{\boolean{visible}}{\\[.3cm]}{\vspace{-.8cm}} \blanc{\bardemipt{[AS] est le plus grand coté du triangle RAS} ; \bardemipt{$AS^{2}=6,8^{2}=46,24$}.\\} \blanc{\bardemipt{$RS^{2}+AR^{2}=3,2^{2}+6^{2}=10,24+36=46,24$}.\\} \blanc{\bardemipt{On constate qu'on a \textbf{l'égalité} : $AS^{2}=RS^{2}+AR^{2}$}. \\ \bardemipt{Donc d'après \textit{la réciproque du théorème de \textsc{Pythagore}}}, \bardemipt{le triangle RAS est rectangle en R}.\\} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %exercice suivant %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \exo\pts{2,5}{Triangle rectangle ? bis} Dans le triangle RST on a : $TR=6\,cm$, $RS=2,5\,cm$ et $TS=5,5\,cm$.\\ Démontrer que le triangle RST n'est pas rectangle\ifthenelse{\boolean{visible}}{\\[.3cm]}{\vspace{-.8cm}} \blanc{\bardemipt{[TR] est le plus grand coté du triangle RST} ; \bardemipt{$TR^{2}=6^{2}=36$}.\\} \blanc{\bardemipt{$RS^{2}+TS^{2}=2,5^{2}+5,5^{2}=6,25+30,25=36,5$}.\\} \blanc{\bardemipt{On constate qu'on a \textbf{l'inégalité} : $TR^{2}\neq RS^{2}+TS^{2}$}. \\ \bardemipt{Donc le triangle RST n'est pas rectangle}.\\} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %exercice suivant %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \exo\pts{3,5}{Dans la vie courante}\\ \begin{minipage}[b]{11.5cm} On a schématiser sur la figure \ref{fig:1} ci-contre un tronc d'arbre cylindrique de longueur $3\,m$ et de diamètre $40\,cm$. \\ Peut-on à partir de ce tronc obtenir une poutre de $3\,m$ de longueur, à section carrée de $29\,cm$ de coté comme représenté sur la figure \ref{fig:2}. \textbf{Justifier la réponse}.\\ {\small (on pensera à faire apparaître sur un même schéma, les sections de la poutre et de la bûche) }\end{minipage} \begin{minipage}[b]{4cm} \includegraphics{buche}\caption{\label{fig:1}} \end{minipage} \begin{minipage}[b]{4cm} \includegraphics{poutre}\caption{\label{fig:2}} \end{minipage} \vspace{.3cm} \begin{minipage}[b]{4cm} \ifthenelse{\boolean{visible}}{\includegraphics[scale=.6]{DevPythagoreetreciproque.4}}{} \end{minipage} \ifthenelse{\boolean{visible}}{ \begin{minipage}[b]{15cm} \blanc{\bardemipt{Dans le triangle ABD, rectangle en A}, \bardemipt{l'hypoténuse est le coté [BD]}.\\ \textit{\bardemipt{Le théorème de \textsc{Pythagore}}} donne : \bardemipt{$BD^{2}=AB^{2}+AD^{2}$}\\} \blanc{ $BD^{2}=29^{2}+29^{2}$ donc \bardemipt{$BD^{2}=841+841=1682$}\\} \blanc{\phantom{\textit{Le théorème} }donc \bardemipt{$BD=\sqrt{1682}\approx41\,cm$}\\ La longueur de la diagonale du carré est supérieur au diamètre du cercle donc \bardemipt{on ne peut pas réaliser la poutre à partir de la bûche}.} \end{minipage}}{} \exo\pts{5}{Rectangle ou pas ?} Le triangle PRV est-il rectangle ? On calculera $PV^{2}$, $PR^{2}$ et $RV^{2}$ pour pouvoir conclure.\\ \begin{minipage}[b]{9cm} \includegraphics{DevPythagoreetreciproque.1} \end{minipage} \ifthenelse{\boolean{visible}}{ \begin{minipage}[b]{9cm} \blanc{\barquartpt{Dans le triangle APV, rectangle en A}, \barquartpt{l'hypoténuse est le coté [PV]}.\\ \textit{\barquartpt{Le théorème de \textsc{Pythagore}}} donne : \\ \barquartpt{$PV^{2}=AP^{2}+AV^{2}$}}\\ \blanc{$PV^{2}=4^{2}+12^{2}$}\\ \blanc{$PV^{2}=16+144$}\\ \blanc{soit \barquartpt{$PV^{2}=160$}}\\ \end{minipage} \ifthenelse{\boolean{visible}}{\\[.3cm]}{\vspace{-2cm}} \blanc{\barquartpt{Dans le triangle BPR, rectangle en B}, \barquartpt{l'hypoténuse est le coté [PR]}.\\ \textit{\barquartpt{Le théorème de \textsc{Pythagore}}} donne :\\ \barquartpt{$PR^{2}=BR^{2}+BP^{2}$}}\\ \blanc{$PR^{2}=6^{2}+5^{2}$}\\ \blanc{$PR^{2}=36+25$}\\ \blanc{soit \barquartpt{$PR^{2}=61$}}\\ \blanc{\barquartpt{Dans le triangle CRV, rectangle en C}, \barquartpt{l'hypoténuse est le coté [VR]}.\\ \textit{\barquartpt{Le théorème de \textsc{Pythagore}}} donne :\\ \barquartpt{$VR^{2}=CR^{2}+CV^{2}$}}\\ \blanc{$RV^{2}=6^{2}+9^{2}$}\\ \blanc{$RV^{2}=36+81$}\\ \blanc{soit \barquartpt{$RV^{2}=117$}}\\ \blanc{Dans le triangle PRV, \barquartpt{[PV] est le plus grand coté} ; \barquartpt{$PV^{2}=160$}.\\} \blanc{\barquartpt{$PR^{2}+RV^{2}=61+107=168$}.\\} \blanc{\barquartpt{On constate qu'on a \textbf{l'inégalité} : $PV^{2}\neq PR^{2}+RV^{2}$}. \\ \barquartpt{Donc le triangle PRV n'est pas rectangle}.} }{} \end{document}