\documentclass[12pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[LGR,T1]{fontenc} \usepackage[greek,frenchb]{babel} \parindent1pt \topmargin0pt\headsep0pt\headheight0pt\footskip0pt \usepackage[a4paper,margin=5mm]{geometry} \usepackage{amsmath} %American Mathematic Society \usepackage{tabularx} \usepackage{enumerate} \usepackage{color} %couleur \usepackage{textcomp} %pour des symboles suplémentaires comme ° \usepackage{fancybox} %encadrer du texte \usepackage{fancyhdr} %entête et pied de page personalisé \usepackage{lastpage} %calcul le nombre de page total dans le document \usepackage{graphicx} %insertion d'images aux formats métapost \usepackage{ifthen} %faire des tests avec la fonction ifthenelse \usepackage{ulem} %soulignement en forme de vague \usepackage{soul} %surlignage \usepackage{multicol} %multicolonnage \usepackage{picins} %insérer une image dans un texte \usepackage{mathptmx} %écriture cursive arrondie %---------------------------------------------------------------------------------- % Correction vue ou cachée %---------------------------------------------------------------------------------- \newboolean{visible} %\setboolean{visible}{true} \newcommand{\blancs}[1]{% \textcolor{red}{\ifthenelse{\boolean{visible}}{#1}{\uwave{ \phantom{\large #1}}}}% } \newcommand{\blanc}[1]{% \textcolor{red}{\ifthenelse{\boolean{visible}}{#1}{ \phantom{\large #1}}}% } \newcommand{\barem}[1]{% \textcolor{green}{\ifthenelse{\boolean{visible}}{\textsf{#1}}{}}% } %----------------------------------------------------------------------------------- %------------------------------------------------ %redefinition des listes numérotées (copie de chris5.tex) %------------------------------------------------ \def\labelenumi{{\bf \theenumi \degres)}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %macro pour exercice numéro ... %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcounter{numeroexo} \newcommand{\exo}{\par\noindent\stepcounter{numeroexo} \hspace{-.25cm}\Ovalbox{\textbf{Exercice \arabic{numeroexo}}}\;} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %macro pour le nombre de points et le titre de l'exercice %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\pts}[2]{\noindent \textcolor{red}{\textsl{(sur #1 points)}}\; %#1 pour le nombre de points \textcolor{blue}{\textsc{#2 }}} %#2 pour le titre de l'exo %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %macro pour le barem : 0,5 points %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\bardemipt}[1]{\fcolorbox{green}{white}{#1}} %#1 ce qui doit figurer dans le cadre \pagestyle{empty} \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{} \definecolor{grisclair}{gray}{0.96} %%%%%%%%%%%%%%%%% %entête du devoir %%%%%%%%%%%%%%%%% \geometry{top=.5cm,bottom=1.4cm,left=1cm,right=1cm} \pagestyle{fancy} \fancyhead{} \renewcommand\headrulewidth{0pt} %\ifthenelse{\boolean{visible}}{}{\lhead{ %{\bf Nom : \hspace*{4cm} Prénom : } %}} %\ifthenelse{\boolean{visible}}{}{ \rhead{Classe de 4$^{\textrm{e}}$\hspace*{2pc}} }%entête classe %%\hrule %\fancyfoot{} %\rfoot{Page \thepage sur \Pageref{LastPage}} \rfoot{Page \thepage\ / \pageref{LastPage}} \fancyfoot[C]{} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % le document commence réellement ici %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ %------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ \setboolean{visible}{false} %Cacher la correction en mettant "false" pour la variable "visible" %------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ %------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ %°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° % Entête du devoir avec nom et prénom + nom du devoir % ou % correction du devoir si visible=true %°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° {\large \ifthenelse{\boolean{visible}}{}{ {\bf Nom : \hspace*{5cm} Prénom : \hfill{4$^{e}$}\hspace*{1pc}\\} \vspace{-.3cm} \hrule } \begin{center} \ifthenelse{\boolean{visible}}{ \fcolorbox{red}{grisclair}{{\bf \strut \qquad Correction du devoir sur le théorème de Pythagore et sa réciproque \qquad \strut}}\par} {\fcolorbox{blue}{grisclair}{{\bf \strut \qquad Devoir sur le théorème de Pythagore et sa réciproque \qquad \strut}}\par} \textbf{\textsf{\dotfill La calculatrice est autorisée\dotfill}}\par \textsf{\textbf{\hrulefill La rédaction sera évaluée dans tout le devoir \hrulefill}} \end{center} %\parskip3pt %°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° % FIN Entête du devoir %°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %exercice suivant %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \exo\pts{3}{Triangle rectangle ?} Dans le triangle RAS on a : $AR=13,5\,m$, $RS=8,1\,m$ et $AS=10,8\,m$.\\ Démontrer que le triangle RAS est rectangle. On précisera en quel point. \ifthenelse{\boolean{visible}}{\\[.3cm]}{\vspace{-.8cm}} \blanc{\bardemipt{[AR] est le plus grand coté du triangle RAS} ; \bardemipt{$AR^{2}=13,5^{2}=182,25$}.\\} \blanc{\bardemipt{$RS^{2}+AS^{2}=8,1^{2}+10,8^{2}=65,61+116,64=182,25$}.\\} \blanc{\bardemipt{On constate qu'on a \textbf{l'égalité} : $AR^{2}=RS^{2}+AS^{2}$}. \\ \bardemipt{Donc d'après \textit{la réciproque du théorème de \textsc{Pythagore}}}, \bardemipt{le triangle RAS est rectangle en S}.\\} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %exercice suivant %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \exo\pts{2,5}{Triangle rectangle ? bis} Dans le triangle RST on a : $TR=6,6\,cm$, $RS=5,3\,cm$ et $TS=4\,cm$.\\ Démontrer que le triangle RST n'est pas rectangle.\ifthenelse{\boolean{visible}}{\\[.3cm]}{\vspace{-.8cm}} \blanc{\bardemipt{[TR] est le plus grand coté du triangle RST} ; \bardemipt{$TR^{2}=6,6^{2}=43,56$}.\\} \blanc{\bardemipt{$RS^{2}+TS^{2}=5,3^{2}+4^{2}=28,09+16=44,09$}.\\} \blanc{\bardemipt{On constate qu'on a \textbf{l'inégalité} : $TR^{2}\neq RS^{2}+TS^{2}$}. \\ \bardemipt{Donc le triangle RST n'est pas rectangle}.\\} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %exercice suivant %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \exo\pts{3}{Calcul de longueur} Dans le triangle ABC rectangle en A on a : $AB=7,6\,cm$ et $AC=5,7\,cm$. \\ Calculer la longueur du coté $[BC]$.\ifthenelse{\boolean{visible}}{\\[.3cm]}{\vspace{-1cm}} \blanc{\bardemipt{Le triangle ABC est rectangle en A} donc \bardemipt{l'hypoténuse est le coté [BC]}.\\ \textit{\bardemipt{Le théorème de \textsc{Pythagore}}} donne : \bardemipt{$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$}\\} \blanc{\phantom{\textit{Le théorème de \textsc{Pythagore}} donne : } $BC^{2}=7,6^{2}+5,7^{2}$\\} \blanc{\phantom{\textit{Le théorème de \textsc{Pythagore}} donne : }\bardemipt{$BC^{2}=57,76+32,49=90,25$}\\} \blanc{\phantom{\textit{Le théorème de \textsc{Pythagore}} don}donc \bardemipt{$BC=\sqrt{90,25}=9,5\,cm$}\\} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %exercice suivant %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \exo\pts{3}{Calcul de longueur bis} Dans le triangle IJK rectangle en I on a : $IJ=45\,mm$ et $JK=75\,mm$.\\ Calculer la longueur du coté $[IK]$.\ifthenelse{\boolean{visible}}{\\[.3cm]}{\vspace{-1cm}} \blanc{\bardemipt{Le triangle IJK est rectangle en I} donc \bardemipt{l'hypoténuse est le coté [JK]}.\\ \textit{\bardemipt{Le théorème de \textsc{Pythagore}}} donne : \bardemipt{$JK^{2}=IJ^{2}+IK^{2}$}\\} \blanc{\phantom{\textit{Le théorème de \textsc{Pythagore}} donne : }$75^{2}=45^{2}+IK^{2}$\\} \blanc{\phantom{\textit{Le théorème de \textsc{Pythagore}} donne }$5625=2025+IK^{2}$\\} \blanc{\phantom{\textit{Le théorème de \textsc{Pythagore}} don}soit \bardemipt{$IK^{2}=5625-2025=3600$}\\} \blanc{\phantom{\textit{Le théorème de \textsc{Pythagore}} don}donc \bardemipt{$IK=\sqrt{3600}=60\,mm$}\\} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %exercice suivant %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \exo\pts{3,5}{Dans la vie courante}\\ \begin{minipage}[b]{13cm} Un écran plasma a pour largeur $61,9\,cm$ et pour diagonale $71\,cm$. \begin{enumerate} \item Calculer sa hauteur (arrondi au millimètre).\ifthenelse{\boolean{visible}}{}{\vspace{-2cm}} \blanc{Le triangle formé par la largeur, la hauteur et la diagonale de l'écran est \bardemipt{un triangle rectangle} donc :\\ \textit{\bardemipt{Le théorème de \textsc{Pythagore}}} donne : \\ $Diagonale^{2}=largeur^{2}+hauteur^{2}$\\} \blanc{\phantom{\textit{Le théo}}$71^{2}=61,9^{2}+hauteur^{2}$\\} \blanc{\phantom{\textit{Le th}} $5041=3831,61+ hauteur ^{2}$\\} \blanc{soit \bardemipt{$hauteur ^{2}=5041-3831,61=1209,39$}\\} \blanc{donc \bardemipt{$hauteur =\sqrt{1209,39}\approx34,8\,cm$}} \item La documentation publicitaire de cet écran précise qu'il est au format $16/9$. Expliquer et vérifier cette information.\\[.1cm] \end{enumerate} \end{minipage} \begin{minipage}[b]{4cm} \ifthenelse{\boolean{visible}}{\includegraphics[scale=.6]{DevPythagoreetreciproque.3}\\[.1cm] \includegraphics{ecranplat}}{\includegraphics{ecranplat}} \end{minipage} \ifthenelse{\boolean{visible}}{\\}{\vspace{-.8cm}}\blanc{\bardemipt{Le format $16/9$ veut dire que le rapport $largeur/hauteur$ est égale à $16:9\approx1,78$}.\\ \bardemipt{Or $largeur/hauteur = 61,9/34,8\approx1,78$} donc \bardemipt{l'information est vrai}.} \vspace{.3cm} \exo\pts{5}{BC\up{2} puis BD ?} Avec les données de la figure ci-dessous, calculer $BC^{2}$ puis en déduire $BD$.\\ \begin{minipage}[b]{9cm} \includegraphics[scale=.6]{DevPythagoreetreciproque.2} \end{minipage} \begin{minipage}[b]{9cm} \blanc{\bardemipt{Le triangle ABC est rectangle en A} donc \bardemipt{l'hypoténuse est le coté [BC]}.\\ \textit{\bardemipt{Le théorème de \textsc{Pythagore}}} donne : \\\bardemipt{$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$}}\\ \blanc{$BC^{2}=11^{2}+10^{2}$}\\ \blanc{$BC^{2}=121+100$}\\ \blanc{soit \bardemipt{$BC^{2}=221$}}\\ \end{minipage} \ifthenelse{\boolean{visible}}{\\[.3cm]}{\vspace{-2cm}} \blanc{\bardemipt{Le triangle BCD est rectangle en D} donc \bardemipt{l'hypoténuse est le coté [BC]}.\\ \textit{\bardemipt{Le théorème de \textsc{Pythagore}}} donne :\\ \bardemipt{$BC^{2}=DC^{2}+BD^{2}$}}\\ \blanc{$221=5^{2}+BD^{2}$}\\ \blanc{$221=25+BD^{2}$}\\ \blanc{soit \bardemipt{$BD^{2}=221-25=196$}}\\ \blanc{donc \bardemipt{$BD=\sqrt{196}=14\,cm$}}\\ \end{document}