\documentclass[twocolumn,landscape]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{multicol} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{enumerate} \usepackage{graphicx} \input{christ5.tex} \pagestyle{empty} \parindent0pt \topmargin0pt\headheight0pt\headsep0pt\footskip0pt \everymath{\displaystyle} \usepackage[dvips,a4paper,landscape,margin=7mm]{geometry} \begin{document} \parskip0pt \titrage{Devoir Maison \no1}{3\ieme{}} \parskip6pt \exo:{ On considère:} $\begin{array}{llllllll} A&=&\frac{7}{2}-\frac{5}{2}\times\frac{1}{5}\hspace{1cm}&B&=\frac{-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}{\frac{2}{5}-\frac{5}{2}}\hspace{1cm}&C&=&\frac{12\times10^2\times(10^{-2})^3}{8\times10^{-3}} \end{array}$ \begin{enumerate}[1.] \item Donner A et B sous forme de fractions irréductibles en précisant toutes les étapes. \item Donner l'écriture scientifique de C en précisant toutes les étapes de calculs. \end{enumerate} \exo: $IJK $ est un triangle tel que: $$IJ=9,6\ cm,JK=10,4\ cm\ et\ IK=4\ cm.$$ \begin{enumerate}[1.] \item Tracer le triangle $IJK$ en vraie grandeur. \item Démontrer que le triangle $IJK$ est rectangle en $I$. \item Calculer le cosinus de l'angle $\widehat{IKJ}$; en déduire la valeur arrondie au degré près de la mesure de l'angle $\widehat{IKJ}.$ \item Tracer la médiatrice du segment [JK]; elle coupe la droite $(IJ)$ en E et la droite $(IK)$ en F. \begin{enumerate}[a)] \item Démontrer que le triangle $KEJ$ est isocèle. \item Démontrer que la droite $(KE)$ est perpendiculaire à la droite $(FJ)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \exo: \begin{minipage}{9cm} Un réservoir est constitué d'une pyramide régulière à base carrée surmontée d'un parallélépipède rectangle:\\ $AB=BC=2m\ ;\ AE=5m\ ; OI=1,5m$ \\ (OI est la hauteur de la pyramide).\\ 1. \begin{enumerate}[a)] \item Calculer le volume de la pyramide en $m^3$. \item Calculer le volume du parallélépipède rectangle en $m^3$. \item En déduire le volume du réservoir lorsqu'il est plein. \end{enumerate} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{5cm} \includegraphics{3-DM-figure1.1} \end{minipage} \begin{minipage}{5cm} \includegraphics{3-DM-figure2.1} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{9cm} 2. \begin{enumerate}[a)] \item On remplit d'eau ce réservoir. La partie pyramidale étant entièrement pleine, on appelle $x$ \underline{la hauteur d'eau dans le parallélépipède rectangle}. Quelles sont les valeurs de $x$ possibles? \item Quel est le volume d'eau dans le réservoir lorsque \mbox{$x=1,8m$}? \item Montrer que le volume d'eau dans le réservoir s'exprime en fonction de $x$ sous la forme: $V(x)=4x+2$. \item En résolvant une équation, trouver la valeur de x lorsque $V(x)=12m^3.$ \end{enumerate} \end{minipage} \newpage \setcounter{num}{0} \parskip0pt \titrage{Devoir Maison \no1}{3\ieme{}} \parskip6pt \exo:{ On considère:} $\begin{array}{llllllll} A&=&\frac{7}{2}-\frac{5}{2}\times\frac{1}{5}\hspace{1cm}&B&=\frac{-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}{\frac{2}{5}-\frac{5}{2}}\hspace{1cm}&C&=&\frac{12\times10^2\times(10^{-2})^3}{8\times10^{-3}} \end{array}$ \begin{enumerate}[1.] \item Donner A et B sous forme de fractions irréductibles en précisant toutes les étapes. \item Donner l'écriture scientifique de C en précisant toutes les étapes de calculs. \end{enumerate} \exo: $IJK $ est un triangle tel que: $$IJ=9,6\ cm,JK=10,4\ cm\ et\ IK=4\ cm.$$ \begin{enumerate}[1.] \item Tracer le triangle $IJK$ en vraie grandeur. \item Démontrer que le triangle $IJK$ est rectangle en $I$. \item Calculer le cosinus de l'angle $\widehat{IKJ}$; en déduire la valeur arrondie au degré près de la mesure de l'angle $\widehat{IKJ}.$ \item Tracer la médiatrice du segment [JK]; elle coupe la droite $(IJ)$ en E et la droite $(IK)$ en F. \begin{enumerate}[a)] \item Démontrer que le triangle $KEJ$ est isocèle. \item Démontrer que la droite $(KE)$ est perpendiculaire à la droite $(FJ)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \exo: \begin{minipage}{9cm} Un réservoir est constitué d'une pyramide régulière à base carrée surmontée d'un parallélépipède rectangle:\\ $AB=BC=2m\ ;\ AE=5m\ ; OI=1,5m$ \\ (OI est la hauteur de la pyramide).\\ 1. \begin{enumerate}[a)] \item Calculer le volume de la pyramide en $m^3$. \item Calculer le volume du parallélépipède rectangle en $m^3$. \item En déduire le volume du réservoir lorsqu'il est plein. \end{enumerate} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{5cm} \includegraphics{3-DM-figure1.1} \end{minipage} \begin{minipage}{5cm} \includegraphics{3-DM-figure2.1} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{9cm} 2. \begin{enumerate}[a)] \item On remplit d'eau ce réservoir. La partie pyramidale étant entièrement pleine, on appelle $x$ \underline{la hauteur d'eau dans le parallélépipède rectangle}. Quelles sont les valeurs de $x$ possibles? \item Quel est le volume d'eau dans le réservoir lorsque \mbox{$x=1,8m$}? \item Montrer que le volume d'eau dans le réservoir s'exprime en fonction de $x$ sous la forme: $V(x)=4x+2$. \item En résolvant une équation, trouver la valeur de x lorsque $V(x)=12m^3.$ \end{enumerate} \end{minipage} \newpage \parskip0pt \titrage{Devoir Maison \no1 correction}{3\ieme{}} \parskip6pt \exo:\\ $\begin{array}{lllllllll} A&=&\frac{7}{2}-\frac{5}{2}\times\frac{1}{5}\hspace{1cm}&B&=&\frac{-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}{\frac{2}{5}-\frac{5}{2}}\hspace{1cm}&C&=&\frac{12\times10^2\times(10^{-2})^3}{8\times10^{-3}}\\ &&&&&&&&\\ A&=&\frac{7}{2}-\frac{1}{2}\hspace{1cm}&B&=&\frac{-\frac{3}{4}+\frac{2}{4}}{\frac{4}{10}-\frac{25}{10}}\hspace{1cm}&C&=&\frac{3\times10^2\times10^{-6}}{2\times10^{-3}}\\ &&&&&&&&\\ A&=&\frac{6}{2}\hspace{1cm}&B&=&\frac{-\frac{1}{4}}{-\frac{21}{10}}\hspace{1cm}&C&=&1,5\times10^{2-6+3}\\ &&&&&&&&\\ A&=&3\hspace{1cm}&B&=&-\frac{1}{4}\times-\frac{10}{21}\hspace{1cm}&C&=&1,5\times10^{-1}\\ &&&&&&&&\\ &&\hspace{1cm}&B&=&\frac{5}{2\times 21}\hspace{1cm}&&&\\ &&&&&&&&\\ &&\hspace{1cm}&B&=&\frac{5}{42}\hspace{1cm}&&&\\ \end{array}$ \exo: \begin{multicols}{2} \begin{enumerate}[1.] \item échelle 1/2 \includegraphics{3-DM-c-figure1.1} \item $JK^2=10,4^2=108,16$ et \mbox{$IJ^2+IK^2$}$=9,6^2+ 4^2=92,16+16=108,16$ \\ donc \mbox{$ JK^2=IJ^2+IK^2$}. \\ D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que le triangle $IJK$ est rectangle en $I$. \item Dans le triangle $IJK$ rectangle en $I$, on a: $\cos \widehat{IKJ}=\frac{IK}{KJ}=\frac{4}{10,4}\approx0,3846...$ donc $\widehat{IKJ}\approx67\degres$ au degrès près. \item% cf figure. \begin{enumerate}[a)] \item $E$ est sur la médiatrice de $[JK]$. Or, tout point situé sur la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment. Donc on déduit que: $EJ=EK$ soit le triangle $KEJ$ est isocèle en $E$. \item On sait que $(KF)\bot(EJ)$ et $(KJ)\bot(FE)$ car $IJK$ est rectangle en $I$ et $(FE)$ est la médiatrice de $[KJ]$. Donc dans le triangle $KFJ$, chacune des droites $(FE)$ et $(JE)$ passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé donc est une hauteur du triangle. On en déduit que $E$ est l'orthocentre et $(KE)$ la 3ème hauteur. D'où $(KE)$ est perpendiculaire par définition à $(FJ)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{multicols} \exo: $AB=BC=2m\ ;\ AE=5m\ ; OI=1,5m$ \\ 1. \begin{enumerate}[a)] \item \underline{Volume de la pyramide en $m^3$:} $$ V_{pyramide}=\frac{1}{3}\times Base \times hauteur=\frac{1}{3}\times 2\times2\times1,5=2m^3$$ Donc le volume de la pyramide est $2m^3$. \item \underline{Volume du parallélépipède rectangle en $m^3$:} $$V_{parall\acute{e}l\acute{e}pip\grave{e}de}=AB\times BC\times AE=2\times 2\times5=20m^3$$ Donc le volume du parallélépipède rectangle est $20m^3$. \item \underline{Volume du réservoir:} $$V_{r\acute{e}servoir}=20+2=22m^3$$ Donc le volume du réservoir plein est $22m^3$. \end{enumerate} \hfill 2. \begin{enumerate}[a)] \item L'eau dans le parallélépipède rectangle peut monter d'une hauteur de $5m$ donc les valeurs pour $x$ possibles sont comprises entre $0$ et $5$ soit $0\leq x\leq 5.$ \item $$V_{eau}=V_{pyramide}+2\times2\times1,8=2+7,2=9,2m^3$$ Le volume d'eau dans le réservoir lorsque $x=1,8m$ est $9,2m^3$. \item Le volume d'eau $V(x)$ en fonction de $x$ est: $$V(x)=V_{pyramide}+AB\times BC\times x=2+2\times2\times x=2+4x=4x+2.$$ \item $V(x)=12$ est équivalent à $4x+2=12$. On résoud cette équation: $4x=10$ soit $x=\frac{10}{4}=2,5$. Ainsi, la valeur de $x$ lorsqu'il y a $12m^3$ est de $2,5m^3$.\\ \textit{Cette valeur est cohérente avec l'encadrement de $x$ donnée à la question 2.a)} \end{enumerate} \end{document}