\documentclass[twocolumn,landscape]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{pstricks} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{multicol} \usepackage{pst-text} \usepackage{enumerate} \usepackage[dvips,hidescale]{graphicx} \usepackage{lmodern} \input{christ5.tex} \pagestyle{empty} \columnseprule0.25pt \parindent0pt \everymath{\displaystyle} \usepackage[dvips,a4paper,landscape,margin=6mm]{geometry} \begin{document} \parskip0pt \titrage{Devoir Maison \no2 correction}{3\ieme{}} \parskip6pt \exo:\\ $\begin{array}{lllllllll} A&=&\left(\frac{3}{5}-\frac{1}{2}\right)\times\frac{5}{2}\hspace{0.5cm}&B&=&\frac{1}{3}+\frac{5}{6}\div\frac{3}{2}\hspace{0.5cm}&C&=&\frac{16\times10^1\times2}{(10^3)^2\times10^{-8}\times 80}\\ &&&&&&&&\\ A&=&\left(\frac{6}{10}-\frac{5}{10}\right)\times\frac{5}{2}\hspace{0.5cm}&B&=&\frac{1}{3}+\frac{5}{6}\times\frac{2}{3}\hspace{0.5cm}&C&=&\frac{8\times2\times2\times10^1}{8\times2\times5\times10^{6}\times10^{-8}}\\ &&&&&&&&\\ A&=&\frac{1}{10}\times\frac{5}{2}\hspace{0.5cm}&B&=&\frac{1}{3}+\frac{5\times2}{2\times3\times3}\hspace{0.5cm}&C&=&\frac{2\times10^1}{5\times(10^{6-8})}\\ &&&&&&&&\\ A&=&\frac{1\times5}{2\times5\times2}\hspace{0.5cm}&B&=&\frac{1}{3}+\frac{5}{9}\hspace{0.5cm}&C&=&\frac{2\times10^1}{5\times10^{-2}}\\ &&&&&&&&\\ A&=&\frac{1}{4}\hspace{0.5cm}&B&=&\frac{3}{9}+\frac{5}{9}\hspace{0.5cm}&C&=&\frac{2\times10^{1-(-2)}}{5}\\ &&&&&&&&\\ &&\hspace{0.5cm}&B&=&\frac{8}{9}\hspace{0.5cm}&C&=&\frac{2}{5}\times10^{3}\\ &&&&&&&&\\ &&\hspace{0.5cm}&&&&C&=&400\\ \end{array}$ $A$ n'est pas l'opposé de $C$ car la somme des deux ne fait pas $0$ mais $400+0,25=400,25$. \\ \exo:\\ 1.\\ \begin{tabular}{|l|l|l|} \hline $x=0$& $E=-4$& $F=(0+2)\times(0+1)-(0+2)\times(0+3)=2-6=-4$\\ \hline $x=1$& $E=1^2-4=-3$& $F=(1+2)\times(1+1)-(1+2)\times(1+3)=6-12=-6$\\ \hline \end{tabular} \newline 2.\\ $\begin{array}{lll} F&=&(x+2)(3x+1)-(x+2)(2x+3)\\ F&=&x\times3x+x\times1+2\times3x+2\times1-[x\times2x+x\times3+2\times2x+2\times3]\\ F&=&3x^2+x+6x+2-[2x^2+3x+4x+6]\\ F&=&3x^2+x+6x+2-2x^2-3x-4x-6 \hspace{1cm}\textsl{on\ a\ pris\ l'opposé\ des\ nombres}\\ F&=&x^2+0x-4 \hspace{1cm}\textsl{on a regroupé\ les\ termes\ en\ $x^2$\ puis\ en\ $x$\ puis\ les\ constantes}\\ F&=&x^2-4\\ \end{array}$ \newline 3. $E=0$ soit $x^2-4=0$ si et seulement si : $x^2=4$ d'où $x=2$ ou $x=-2$.\\ \exo:\\ 1. Comme $ABCD$ est un rectangle alors $ACD$ est un triangle rectangle en $D$ et les côtés $AB$ et $DC$ sont de même longueur ainsi que $BC$ et $AD$. D'où on a:\\ $A_{ACD}=\frac{AD\times DC}{2}=\frac{9\times 12}{2}=54$.\hspace{1cm} L'aire du triangle $ACD$ est $54\ cm^2$.\\ 2. Dans le triangle $ACD$ rectangle en $D$, j'applique le théorème de Pythagore:\\ $\begin{array}{lll} AC^2&=&AD^2+DC^2\\ AC^2&=&9^2+12^2\\ AC^2&=&81+144\\ AC^2&=&225\\ AC&=&15\\ \end{array}$ $AC$ est égal à $15\ cm$. 3. On sait que les points $D,E,A$ et $D,F,C$ sont alignés dans le même ordre. De plus,on a:\\ $\frac{DE}{DA}=\frac{12-4}{12}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$ \hspace{1cm} et \hspace{1cm} $\frac{DF}{DC}=\frac{9-3}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$ \hspace{1cm} Donc $\frac{DE}{DA}=\frac{DF}{DC}.$\\ \textit{\underline{Remarque:} on pouvait inverser les fractions, on aurait obtenu l'écriture décimale $1,5$.} Ainsi d'après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que les droites $(EF)$ et $(AC)$ sont parallèles.\\ 4. Comme $ABCD$ est un rectangle alors $EDF$ est un triangle rectangle en $D$ et on a: $DF=DC-CF=9-x$ et $DE=DA-AE=12-4=8$. D'où on a:\\ $A_{EDF}=\frac{DE\times DF}{2}=\frac{8\times (9-x)}{2}=4\times(9-x)=36-4x$.\\ L'aire du triangle $DEF$ est $36-4x$.\\ 5.\\ $\begin{array}{lll} A_{EDF}&=&24\\ 36-4x&=&24\\ 36-24&=&4x\hspace{1cm}\textsl{on a ajouté aux deux menbres $4x$ et $-24$}\\ 12&=&4x\\ 12\div4&=&x\\ 3&=&x\\ x&=&3\hspace{1cm} \textsl{Pour $x=3$, l'aire du triangle est $24cm^2$}\\ \end{array}$ \newline 6. \\ $A_{ACFE}=A_{ACD}-A_{DEF}=54-(36-x)=54-36+x=18-x$\\ L'aire du quadriltère $ACFE$ qui d'ailleurs est un trapèze! a pour expression en fonction de $x$:\ $A_{ACFE}=18-x$. \begin{flushright} \begin{pspicture}(3,1.5) \psset{linestyle=none} \pstextpath[c]{\pscurve(0,0)(1,1)(2,0.7)(3,1.5)}{\textbf{\emph{The End}}} \end{pspicture} \end{flushright} \end{document}