\documentclass[twocolumn,landscape]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{multicol} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{enumerate} \usepackage[dvips,hidescale]{graphicx} \input{christ5.tex} \pagestyle{empty} \parindent0pt \everymath{\displaystyle} \usepackage[dvips,a4paper,landscape,margin=7mm,noheadfoot]{geometry} \usepackage{lmodern} \begin{document} \parskip0pt \titrage{DS \no1 correction}{3\ieme{}} \begin{flushright} \textbf{Sujet B} \end{flushright} \exo \begin{multicols}{2} 1. \\ $\begin{array}{llllll} A &=&\frac{1}{6}-\frac{15}{6}\times \frac{1}{9}&\vspace{1cm} B &=& \frac{2+\frac{1}{3}}{\frac{7}{3}\times 4}\\ A &=&\frac{1}{6}-\frac{3\times 5}{ 3\times 2\times9 }&\vspace{1cm} B &=& \frac{\frac{6}{3}+\frac{1}{3}}{\frac{28}{3}}\\ A &=&\frac{1}{6}-\frac{ 5}{18}&\vspace{1cm} B &=& \frac{\frac{7}{3}}{\frac{28}{3}}\\ A &=&\frac{3}{18}-\frac{ 5}{18}&\vspace{1cm} B &=& \frac{7}{3}\times \frac{3}{28}\\ A &=&-\frac{2}{18}&\vspace{1cm} B &=& \frac{7}{28}\\ A &=&-\frac{1}{9}&\vspace{1cm} B &=& \frac{1}{4} \end{array}$ 2.\\ $C=\frac{1,8\times 10^2\times 3\times (10^{-6})^2}{10^{-7}\times 0,3} $\\ $C=\frac{3\times 18}{3} \times \frac{10^2\times 10^{-12}}{10^{-7} } $\\ $C=18 \times 10^{-12+2-(-7)} $\\ $C=18 \times 10^{-3} $\\ $C=0,018$ \textit{écriture décimale}\\ $C=1,8 \times 10^{-2} $ \textit{écriture scientifique} \end{multicols} \exo \begin{enumerate} \item $\left. \begin{array}{l} CD^2+DE^2=9,6^2+4^2=92,16+16=108,16\\ CE^2=10,4^2=108,16 \end{array} \right\rbrace$ $CD^2+DE^2=CE^2$\\ D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que le triangle $CDE$ est rectangle en $D$. \item On sait que: $(AB)\bot(BD)$ et $(DE)\bot(BD)$ (d'après question 1.). \\ Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles. Donc on en déduit que : $(AB)//(DE)$. \item On sait que : \begin{itemize} \item $(AB)//(DE)$ \item les points $A$, $C$ et $E$ sont alignés ainsi que les points $B$, $C$ et $D$. \end{itemize} On peut donc appliquer le théorème de Thalès et on a l'égalité suivante:\newpage $$\frac{CB}{CD}=\frac{CA}{CE}=\frac{AB}{DE}$$ soit $$\frac{12}{9,6}=\frac{CA}{10,4}=\frac{AB}{4}$$ d'où $$AB=\frac{12\times 4}{9,6}=5$$ $AB$ est égal à $5cm$. \end{enumerate} \exo \\ 1.\\ \begin{center} \includegraphics{3-DS1-c-figure.1} \end{center} 2. Le triangle $SUT$ est inscrit dans un cercle de diamètre son hypoténuse $[ST]$ donc il est rectangle en $U$. \\ Dans le triangle $SUT$ rectangle en $U$, on a: $$\cos \widehat{UST}=\frac{US}{ST}=\frac{3}{7}$$ donc $$\widehat{UST}=\cos^{-1}\frac{3}{7}\approx64,6\degres\ arrondi\ au\ dixi\grave{e}me$$ 3. $SUO$ est un triangle isocèle en $O$ car $OS$ et $OU$ sont des rayons du cercle. D'où les deux angles à la base, ont la même mesure.\\ De plus, comme la somme des mesures des angles d'un triangle est égal à $180\degres$, on en déduit que : $$\widehat{SOU}=180-2\times \widehat{UST}\approx 50,8\degres\ arrondi\ au\ dixi\grave{e}me$$ \exo -Voir le corrigé du devoir maison\\ \columnseprule 0.25pt \newpage \columnseprule 0pt \parskip0pt \titrage{DS \no1 correction}{3\ieme{}} \begin{flushright} \textbf{Sujet A} \end{flushright} \setcounter{num}{0} \exo \begin{multicols}{2} 1. \\ $\begin{array}{llllll} A &=&\frac{1}{9}-\frac{15}{9}\times \frac{1}{6}&\vspace{1cm} B &=& \frac{3-\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}\times 7}\\ A &=&\frac{1}{9}-\frac{3\times 5}{9 \times 3\times 2}&\vspace{1cm} B &=& \frac{\frac{9}{3}-\frac{2}{3}}{\frac{28}{3}}\\ A &=&\frac{1}{9}-\frac{ 5}{18}&\vspace{1cm} B &=& \frac{\frac{7}{3}}{\frac{28}{3}}\\ A &=&\frac{2}{18}-\frac{ 5}{18}&\vspace{1cm} B &=& \frac{7}{3}\times \frac{3}{28}\\ A &=&-\frac{3}{18}&\vspace{1cm} B &=& \frac{7}{28}\\ A &=&-\frac{1}{6}&\vspace{1cm} B &=& \frac{1}{4} \end{array}$ 2.\\ $C=\frac{3\times 10^2\times 1,2\times (10^{-3})^4}{0,2\times 10^{-7}} $\\ $C=\frac{3\times 12}{2} \times \frac{10^2\times 10^{-12}}{10^{-7} } $\\ $C=18 \times 10^{-12+2-(-7)} $\\ $C=18 \times 10^{-3} $\\ $C=0,018$ \textit{écriture décimale}\\ $C=1,8 \times 10^{-2} $ \textit{écriture scientifique} \end{multicols} \exo -Voir le corrigé du devoir maison\\ \exo \begin{enumerate} \item $\left. \begin{array}{l} CD^2+DE^2=9,6^2+4^2=92,16+16=108,16\\ CE^2=10,4^2=108,16 \end{array} \right\rbrace$ $CD^2+DE^2=CE^2$\\ D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que le triangle $CDE$ est rectangle en $D$. \item On sait que: $(AB)\bot(BD)$ et $(DE)\bot(BD)$ (d'après question 1.). \\ Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles entre elles. Donc on en déduit que : $(AB)//(DE)$. \item On sait que : \begin{itemize} \item $(AB)//(DE)$ \item les points $A$, $C$ et $E$ sont alignés ainsi que les points $B$, $C$ et $D$. \end{itemize} On peut donc appliquer le théorème de Thalès et on a l'égalité suivante: $$\frac{CB}{CD}=\frac{CA}{CE}=\frac{AB}{DE}$$ soit $$\frac{12}{9,6}=\frac{CA}{10,4}=\frac{AB}{4}$$ d'où $$AB=\frac{12\times 4}{9,6}=5$$ $AB$ est égal à $5cm$. \end{enumerate} \exo \\ 1.\\ \begin{center} \includegraphics{3-DS1-c-figure.1} \end{center} 2. Le triangle $SUT$ est inscrit dans un cercle de diamètre son hypoténuse $[ST]$ donc il est rectangle en $U$. \\ Dans le triangle $SUT$ rectangle en $U$, on a: $$\cos \widehat{UST}=\frac{US}{ST}=\frac{3}{7}$$ donc $$\widehat{UST}=\cos^{-1}\frac{3}{7}\approx64,6\degres\ arrondi\ au\ dixi\grave{e}me$$ 3. $SUO$ est un triangle isocèle en $O$ car $OS$ et $OU$ sont des rayons du cercle. D'où les deux angles à la base, ont la même mesure.\\ De plus, comme la somme des mesures des angles d'un triangle est égal à $180\degres$, on en déduit que : $$\widehat{SOU}=180-2\times \widehat{UST}\approx 50,8\degres\ arrondi\ au\ dixi\grave{e}me$$ \columnseprule 0.25pt \end{document}