\documentclass[twocolumn,landscape]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{multicol} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{enumerate} \usepackage[dvips,hidescale]{graphicx} \input{christ5} \pagestyle{empty} \parindent0pt \topmargin0pt\headheight0pt\headsep0pt\footskip0pt \everymath{\displaystyle} \usepackage[dvips,a4paper,landscape,margin=7mm]{geometry} \begin{document} \parskip0pt \titrage{DS \no2 correction}{3\ieme{}} \begin{flushright} \textbf{Sujet B} \end{flushright} \exo 1. \\ $\begin{array}{rclrclrcl} \frac{x}{x+3} &=& \frac{5}{2}&3 x - 1 &=& -\frac{11}{2}&\frac{3x}{5}-13&=&\frac{x}{3}-5\\ &&&&&&&&\\ 2\times x &=&5\times (x+3)&3 x &=& -\frac{11}{2}+1&\frac{3x}{5}-\frac{x}{3}&=&-5+13\\ &&&&&&&&\\ 2\times x &=&5\times x+5\times 3&3 x &=& -\frac{11}{2}+\frac{2}{2}&\frac{9x}{15}-\frac{5x}{15}&=&8\\ &&&&&&&&\\ 2x -5x&=&15&3 x &=& -\frac{9}{2}&\frac{4x}{15}&=&8\\ &&&&&&&&\\ -3x&=&15&x &=& -\frac{9}{2}\div 3&x&=&8\div \frac{4}{15}\\ &&&&&&&&\\ x&=&\frac{15}{-3}&x&=& -\frac{9}{2}\times \frac{1}{3}&x&=&8\times\frac{15}{4}\\ &&&&&&&&\\ x&=&-5&x &=& -\frac{3}{2}&x&=&30\\ \end{array}$ 2.\\ a. $\begin{array}{rcl} D&=&(2x-3)(2x-3)-(5x-7)(2x-3)\\ &=&4x^2-6x-6x+9-[10x^2-15x-14x+21]\\ &=&4x^2-6x-6x+9-10x^2+15x+14x-21\\ &=&-6x^2+17x-12 \end{array}$ b. $\begin{array}{rcl} D&=&(2x-3)^2-(5x-7)(2x-3)\\&=&(2x-3)[(2x-3)-(5x-7)]\\&=&(2x-3)(2x-3-5x+7)\\&=&(2x-3)(-3x+4) \end{array}$ c. Pour $x=0$, $D=-6\times 0^2+17\times 0-12=-12$ ,\\ Pour $x=\frac{3}{2}$, $D=(2\times \frac{3}{2}-3)(-3\times \frac{3}{2}+4)=0\times(-3\times \frac{3}{2}+4)=0.$\\ \exo 1.\\ $A=\left(\frac{6}{7}-\frac{3}{4}\right)\div\frac{3}{7} =\left(\frac{24}{28}-\frac{21}{28}\right)\div\frac{3}{7} =\frac{3}{28}\times\frac{7}{3} =\frac{1}{4} $\\ 2. voir corrigé du devoir maison \no2\\ \newpage \exo \compo{1}{3-DS2-c-figure}{0.5}{ \begin{enumerate} \item \textit{La figure est à l'échelle 1/2.} \item $\left. \begin{array}{l} RS^2+RT^2=4,8^2+6,4^2=40,96+23,04=64\\ ST^2=8^2=64 \end{array} \right\rbrace$ $RS^2+RT^2=ST^2$\\ D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que le triangle $RST$ est rectangle en $R$.\end{enumerate}} \begin{enumerate}[2.] \item \begin{enumerate}[a.] \item On sait que : \begin{itemize} \item les points $R$, $T$ et $U$ d'une part et les points $R$, $S$ et $V$ d'autre part sont alignés dans le même ordre. \item $\frac{RS}{RV}=\frac{6,4}{8}=0,8$ et $\frac{RT}{RU}=\frac{4,8}{6}=0,8$ donc $\frac{RS}{RV}=\frac{RT}{RU}$. \end{itemize} On peut donc appliquer la réciproque du théorème de Thalès, et en déduire que les droites $(ST)$ et $(UV)$ sont parallèles. \item On sait que : \begin{itemize} \item $(TS)//(UV)$ \item les points $R$, $T$ et $U$ sont alignés ainsi que les points $R$, $S$ et $V$. \end{itemize} On peut donc appliquer le théorème de Thalès et on a l'égalité suivante: $$\frac{RS}{RV}=\frac{RT}{RU}=\frac{ST}{UV}$$ soit $$\frac{6,4}{8}=\frac{4,8}{6}=\frac{8}{UV}$$ d'où $$UV=\frac{6\times 8}{4,8}=10$$ \textsl{$UV$ est égal à $10cm$ ou $[UV]$ mesure $10cm$.} \end{enumerate} \end{enumerate} \exo \\ 1.Le triangle $FNM$ est rectangle en $F$ car dans le pavé droit $EFGH$ est un rectangle. Donc on a: $$A_{FNM}=\frac{h\times B}{2}=\frac{FN\times FM}{2}=\frac{4\times3}{2}=6$$ L'aire du triangle $FNM$ est $6cm^2$.\\ 2. $$V_{FMNB}=\frac{h\times B}{3}=\frac{A_{FNM}\times BF}{3}=\frac{6\times3}{3}=6$$ Le volume de la pyramide $FMNB$ est $6cm^3$.\\ 3. Le volume du solide $ABCDENMGH$ est: $$V_{solide}=V_{pav\acute{e}\ droit}-V_{pyramide}=EF\times FG\times FB-6=12\times9\times3-6=324-6=318$$ Le volume du solide $ABCDENMGH$ est $318cm^3$.\\ \columnseprule 0.25pt \newpage \columnseprule 0pt \parskip0pt \titrage{DS \no2 correction}{3\ieme{}} \begin{flushright} \textbf{Sujet A} \end{flushright} \setcounter{num}{0} \exo 1.\\ $A=\left(\frac{5}{8}-\frac{1}{3}\right)\div\frac{7}{6} =\left(\frac{15}{24}-\frac{8}{24}\right)\div\frac{7}{6} =\frac{7}{24}\times\frac{6}{7} =\frac{1}{4}\\ $ 2. voir corrigé du devoir maison \no2\\ \exo 1. \\ $\begin{array}{rclrclrcl} \frac{x}{x+5} &=& \frac{3}{2}&3 x - 2 &=& -\frac{17}{2}&\frac{3x}{5}-13&=&\frac{x}{3}-5\\ &&&&&&&&\\ 2\times x &=&3\times (x+5)&3 x &=& -\frac{17}{2}+2&\frac{3x}{5}-\frac{x}{3}&=&-5+13\\ &&&&&&&&\\ 2\times x &=&3\times x+3\times 5&3 x &=& -\frac{17}{2}+\frac{4}{2}&\frac{9x}{15}-\frac{5x}{15}&=&8\\ &&&&&&&&\\ 2x -3x&=&15&3 x &=& -\frac{13}{2}&\frac{4x}{15}&=&8\\ &&&&&&&&\\ -x&=&15&x &=& -\frac{13}{2}\div 3&x&=&8\div \frac{4}{15}\\ &&&&&&&&\\ x&=&-15&x&=& -\frac{13}{2}\times \frac{1}{3}&x&=&8\times\frac{15}{4}\\ &&&&&&&&\\ &&&x &=& -\frac{13}{6}&x&=&30\\ \end{array}$ 2.\\ a. $\begin{array}{rcl} D&=&(3x-2)(3x-2)-(7x-5)(3x-2)\\ &=&9x^2-6x-6x+4-[21x^2-14x-15x+10]\\ &=&9x^2-6x-6x+4-21x^2+14x+15x-10\\ &=&-12x^2+17x-6 \end{array}$ b. $\begin{array}{rcl} D&=&(3x-2)^2-(7x-5)(3x-2)\\&=&(3x-2)[(3x-2)-(7x-5)]\\&=&(3x-2)(3x-2-7x+5)\\&=&(3x-2)(-4x+3) \end{array}$ c. Pour $x=0$, $D=-12\times 0^2+17\times 0-6=-6$ ,\\ Pour $x=\frac{2}{3}$, $D=(3\times \frac{2}{3}-2)(-4\times \frac{2}{3}+3)=0\times(-4\times \frac{2}{3}+3)=0.$\\ \newpage \exo \\ 1.Le triangle $FNM$ est rectangle en $F$ car dans le pavé droit $EFGH$ est un rectangle. Donc on a: $$A_{FNM}=\frac{h\times B}{2}=\frac{FN\times FM}{2}=\frac{4\times3}{2}=6$$ L'aire du triangle $FNM$ est $6cm^2$.\\ 2. $$V_{FMNB}=\frac{h\times B}{3}=\frac{A_{FNM}\times BF}{3}=\frac{6\times3}{3}=6$$ Le volume de la pyramide $FMNB$ est $6cm^3$.\\ 3. Le volume du solide $ABCDENMGH$ est: $$V_{solide}=V_{pav\acute{e}\ droit}-V_{pyramide}=EF\times FG\times FB-6=12\times9\times3-6=324-6=318$$ Le volume du solide $ABCDENMGH$ est $318cm^3$.\\ \exo \\ \compo{2}{3-DS2-c-figure}{0.5}{ \begin{enumerate} \item \textit{La figure est à l'échelle 1/2.} \item $\left. \begin{array}{l} MO^2+MN^2=4,8^2+6,4^2=40,96+23,04=64\\ NO^2=8^2=64 \end{array} \right\rbrace$ $MO^2+MN^2=NO^2$\\ D'après la réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que le triangle $MNO$ est rectangle en $M$.\end{enumerate}} \begin{enumerate}[2.] \item \begin{enumerate}[a.] \item On sait que : \begin{itemize} \item les points $M$, $N$ et $S$ d'une part et les points $M$, $O$ et $R$ d'autre part sont alignés dans le même ordre. \item $\frac{MN}{MS}=\frac{6,4}{8}=0,8$ et $\frac{MO}{MR}=\frac{4,8}{6}=0,8$ donc $\frac{MN}{MS}=\frac{MO}{MR}$. \end{itemize} On peut donc appliquer la réciproque du théorème de Thalès, et en déduire que les droites $(NO)$ et $(SR)$ sont parallèles. \item On sait que : \begin{itemize} \item $(NO)//(SR)$ \item les points $M$, $N$ et $S$ sont alignés ainsi que les points $M$, $O$ et $R$. \end{itemize} On peut donc appliquer le théorème de Thalès et on a l'égalité suivante: $$\frac{MN}{MS}=\frac{MO}{MR}=\frac{NO}{SR}$$ soit $$\frac{6,4}{8}=\frac{4,8}{6}=\frac{8}{RS}$$ d'où $$RS=\frac{6\times 8}{4,8}=10$$ \textsl{$RS$ est égal à $10cm$ ou $[RS]$ mesure $10cm$.} \end{enumerate} \end{enumerate} \columnseprule 0.25pt \end{document}