\documentclass[twocolumn,landscape]{article} \usepackage[dvips]{graphics} \usepackage[francais]{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{multicol} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{enumerate} \usepackage[dvips,hidescale]{graphicx} \input{christ5.tex} \pagestyle{empty} \parindent0pt \topmargin0pt\headheight0pt\headsep0pt\footskip0pt \everymath{\displaystyle} \usepackage[dvips,a4paper,landscape,margin=7mm]{geometry} \begin{document} \parskip0pt \titrage{DS \no5 correction\hspace{1cm}\normalsize\textbf{Sujet A}}{3\ieme{}} \exo \\ 1.\\ $A=3\sqrt{54}-7\sqrt{6}-\sqrt{2}\times\sqrt{12}=3\times \sqrt{9}\times\sqrt{6}-7\sqrt{6}-\sqrt{24}=9\times \sqrt{6}-7\sqrt{6}-2\sqrt{6}=0$\\ $A$ est donc bien un nombre entier. 2.a.\\ J'applique le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$:\\ $AC^2=AB^2+BC^2$\\ soit $AC^2=(\sqrt{10}-\sqrt{8})^2+(\sqrt{10}+\sqrt{8})^2$\\ $AC^2=10+8-2\sqrt{80}+10+8+2\sqrt{80}=36$ d'où $AC=6$.\\ b.\\ $A_{ABC}=\frac{AB\times AC}{2}=\frac{(\sqrt{10}-\sqrt{8})\times(\sqrt{10}+\sqrt{8}) }{2}=\frac{10-8}{2}=1$\\ L'aire de $ABC$ est 1 unité d'aire.\\ \exo \\ 1.\\ $\begin{array}{lll} C&=&(3x-1)^2-(12x-4)(2x+5)\\ &=&9x^2-6x+1-[24x^2+60x-8x-20]\\ &=&9x^2-6x+1-24x^2-60x+8x+20\\ &=&-15x^2-58x+21\\ \end{array}$ 2.\\ On prend l'expression de départ qui fait apparaître des zéros.\\ $C=(3\times \frac{1}{3}-1)^2-(12\times \frac{1}{3}-4)(2\times \frac{1}{3}+5)=(1-1)^2-(4-4)(2\times \frac{1}{3}+5)=0$\\ 3.\\ $12x-4=4(3x-1)$\\ $\begin{array}{lll} C&=&(3x-1)^2-(12x-4)(2x+5)\\ &=&(3x-1)^2-4(3x-1)(2x+5)\\ &=&(3x-1)[(3x-1)-4(2x+5)]\\ &=&(3x-1)(3x-1-8x-20)\\ &=&(3x-1)(-5x-21)\\ \end{array}$ 4.\\ $C=0$ est équivalent à $(3x-1)(-5x-21)=0$.\\ Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.\\ $\begin{array}{lll} 3x-1=0&ou&-5x-21=0\\ 3x=1&ou&-5x=21\\ x=\frac{1}{3}&ou&x=\frac{21}{-5}=-4,2\\ \end{array}$ Les solutions de $C=0$ sont $\frac{1}{3}$ et $-4,2$.\\ \exo \\ $x^3-9x^2=0$\\ $x^2(x-9)=0$\\ Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.\\ $x^2=0$ ou $x-9=0$\\ $x=0$ ou $x=9$\\ Les solutions de l'équation sont $0$ et $9$.\\ $4x^2=36$\\ $4x^2-36=0$\\ $(2x-6)(2x+6)=0$\\ Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.\\ $2x-6=0$ ou $2x+6=0$\\ $x=3$ ou $x=-3$\\ Les solutions de l'équation sont $3$ et $-3$.\\ $\frac{25}{4}x^2-5x+1=0$\\ $(\frac{5}{2}x-1)^2=0$\\ Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.\\ $\frac{5}{2}x-1=0$ $\frac{5}{2}x=1$ $x=1\times \frac{2}{5}= \frac{2}{5}=0,4$ \\ La solution de l'équation est $0,4$.\\ \exo \\ \compo{1}{3-DS5-c-figure}{1}{ 2. Les points $A$, $E$ et $C$ sont alignés ainsi que les points $A$, $D$ et $B$. Les droites $(DE)$ et $(CB)$ sont parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thalès:\\ $$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$$ $$\frac{AE}{6}=\frac{AD}{8}=\frac{x}{4}$$} d'où $AD=\frac{x}{4}\times 8=2x$ et $AE=\frac{x}{4} \times 6=\frac{3}{2}x$.\\ 3. Les points $A$, $E$ et $C$ sont alignés ainsi que les points $A$, $D$ et $B$.\\ D'où $EC=AC-AE=6-\frac{3}{2}x$ et $DB=AB-AD=8-2x$.\\ 4.\\ $P_{ADE}=AD+DE+AE=2x+x+\frac{3}{2}x=4,5x$\\ et $P_{DECB}=DE+EC+CB+BD=x+6-\frac{3}{2}x+4+8-2x=-2,5x+18$\\ Les deux périmètres sont égaux si et seulement si:$4,5x=-2,5x+18$ . On résoud l'équation. $7x=18$ soit $x=\frac{18}{7}\approx2,6$ arrondi au dixième. \\ 5. En plaçant $D$ tel que $DE\approx 2,6$, on constate que les deux périmètres sont environ égaux à un millimètre près à $11,5cm$. \textbf{Bonus:} On appelle x le nombre de rangées faites dans le carré de Tim; Il faut résoudre alors l'équation $x^2+20=(x+1)^2-33$ soit $x^2+20=x^2+2x+1-33$ soit $20+33-1=2x$ soit $x=52\div2=26$. Ils ont chacun $26$ jetons. \columnseprule 0.25pt \newpage \columnseprule 0pt \parskip0pt \titrage{DS \no5 correction\hspace{1cm}\normalsize\textbf{Sujet B}}{3\ieme{}} \setcounter{num}{0} \exo \\ 1.\\ $A=7\sqrt{6}-3\sqrt{54}+\sqrt{12}\times\sqrt{2}=7\times \sqrt{6}-3\times\sqrt{9}\sqrt{6}+\sqrt{24}=7\sqrt{6}-9\times \sqrt{6}+2\sqrt{6}=0$\\ $A$ est donc bien un nombre entier. 2.a.\\ J'applique le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$:\\ $AC^2=AB^2+BC^2$\\ soit $AC^2=(\sqrt{12}-\sqrt{6})^2+(\sqrt{12}+\sqrt{6})^2$\\ $AC^2=12+6-2\sqrt{72}+12+6+2\sqrt{72}=36$ d'où $AC=6$.\\ b.\\ $A_{ABC}=\frac{AB\times AC}{2}=\frac{(\sqrt{12}-\sqrt{6})\times(\sqrt{12}+\sqrt{6}) }{2}=\frac{12-6}{2}=3$\\ L'aire de $ABC$ est 3 unités d'aire.\\ \exo \\ 1.\\ $\begin{array}{lll} C&=&(4x-1)^2-(12x-3)(2x+5)\\ &=&16x^2-8x+1-[24x^2+60x-6x-15]\\ &=&16x^2-8x+1-24x^2-60x+6x+15\\ &=&-8x^2-62x+16\\ \end{array}$ 2.\\ On prend l'expression de départ qui fait apparaître des zéros.\\ $C=(4\times \frac{1}{4}-1)^2-(12\times \frac{1}{4}-3)(2\times \frac{1}{4}+5)=(1-1)^2-(3-3)(2\times \frac{1}{4}+5)=0$\\ 3.\\ $12x-3=3(4x-1)$\\ $\begin{array}{lll} C&=&(4x-1)^2-(12x-3)(2x+5)\\ &=&(4x-1)^2-3(4x-1)(2x+5)\\ &=&(4x-1)[(4x-1)-3(2x+5)]\\ &=&(4x-1)(4x-1-6x-15)\\ &=&(4x-1)(-2x-16)\\ \end{array}$ 4.\\ $C=0$ est équivalent à $(4x-1)(-2x-16)=0$.\\ Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.\\ $\begin{array}{lll} 4x-1=0&ou&-2x-16=0\\ 4x=1&ou&-2x=16\\ x=\frac{1}{4}&ou&x=\frac{16}{-2}=-8\\ \end{array}$ Les solutions de $C=0$ sont $\frac{1}{4}$ et $-8$.\\ \exo \\ $x^3-16x^2=0$\\ $x^2(x-16)=0$\\ Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.\\ $x^2=0$ ou $x-16=0$\\ $x=0$ ou $x=16$\\ Les solutions de l'équation sont $0$ et $16$.\\ $9x^2=25$\\ $9x^2-25=0$\\ $(3x-5)(3x+5)=0$\\ Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.\\ $3x-5=0$ ou $3x+5=0$\\ $x=\frac{5}{3}$ ou $x=-\frac{5}{3}$\\ Les solutions de l'équation sont $\frac{5}{3}$ et $-\frac{5}{3}$.\\ $\frac{49}{4}x^2-7x+1=0$\\ $(\frac{7}{2}x-1)^2=0$\\ Un produit de facteurs est nul si et seulement si un de ses facteurs est nul.\\ $\frac{7}{2}x-1=0$ $\frac{7}{2}x=1$ $x=1\times \frac{2}{7}= \frac{2}{7}$ \\ La solution de l'équation est $\frac{2}{7}$.\\ \exo \\ \compo{2}{3-DS5-c-figure}{1}{ 2. Les points $M$, $B$ et $O$ sont alignés ainsi que les points $M$, $A$ et $N$. Les droites $(AB)$ et $(ON)$ sont parallèles. On peut donc appliquer le théorème de Thalès:\\ $$\frac{MB}{MO}=\frac{MA}{MN}=\frac{AB}{NO}$$ $$\frac{MB}{6}=\frac{MA}{8}=\frac{x}{4}$$} d'où $MA=\frac{x}{4}\times 8=2x$ et $MB=\frac{x}{4} \times 6=\frac{3}{2}x$.\\ 3. Les points $M$, $B$ et $O$ sont alignés ainsi que les points $M$, $A$ et $N$.\\ D'où $BO=MO-MB=6-\frac{3}{2}x$ et $AN=MN-MA=8-2x$.\\ 4. $P_{MAB}=MA+AB+MB=2x+x+\frac{3}{2}x=4,5x$\\ et $P_{ABON}=AB+BO+ON+NA=x+6-\frac{3}{2}x+4+8-2x=-2,5x+18$\\ Les deux périmètres sont égaux si et seulement si:$4,5x=-2,5x+18$ . On résoud l'équation. $7x=18$ soit $x=\frac{18}{7}\approx2,6$ arrondi au dixième. \\ 5. En plaçant $D$ tel que $DE\approx 2,6$, on constate que les deux périmètres sont environ égaux à un millimètre près à $11,5cm$. \textbf{Bonus:} On appelle x le nombre de rangées faites dans le carré de Tim; Il faut résoudre alors l'équation $x^2+20=(x+1)^2-33$ soit $x^2+20=x^2+2x+1-33$ soit $20+33-1=2x$ soit $x=52\div2=26$. Ils ont chacun $26$ jetons. \end{document}