\documentclass[twocolumn]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{lastpage} \usepackage{picins} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{color} \usepackage{ulem} \usepackage{amsfonts} \usepackage{makeidx} \input christ5.tex \usepackage{amsmath,amssymb,pst-all,framed,calc,multicol,lscape,fancybox} \pagestyle{empty} \parindent 0pt\topmargin 0pt\headheight 0pt\headsep 0pt\footskip 0pt \usepackage[dvips,a4paper,landscape,margin=6mm]{geometry} %----------------------------------------------------------------------- % Macro encadrement en couleurs %----------------------------------------------------------------------- \definecolor{fond1}{rgb}{1,1,.8}%jaune clair--Propriétés \definecolor{fond2}{rgb}{.8,.9,1}%bleu clair-- \definecolor{fond3}{rgb}{.9,.9,.9}%gris clair--Définitions \definecolor{fond4}{rgb}{0.55,1,0.6}%vert clair \definecolor{fond5}{rgb}{1,0.6,0.55}%rouge clair--Théorèmes \definecolor{fond6}{rgb}{1,0.8,0}%orange \newcommand{\encadrecouleur}[2]{\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=#1,framearc=0.15]{\begin{minipage}{\columnwidth-25\fboxsep}#2 \end{minipage}}} %----------------------------------------------------------------------- % Début du document %----------------------------------------------------------------------- \date{Septembre 2004} \author{} \title{\textbf{Triangle rectangle et cercle circonscrit.}} \begin {document} \maketitle \tableofcontents %----------------------------------------------------------------------- % I. Rappels %----------------------------------------------------------------------- \color{red} \section {Rappels} \color{black} %----------------------------------------------------------------------- % 1. Médiatrice d'un segment %----------------------------------------------------------------------- \subsection{Médiatrice d'un segment} \compo{2}{\jobname}{1} {\textit{$M$ et $N$ appartiennent tous les deux à la médiatrice de $[AB]$, ils sont \textbf{équidistants} de $A$ et $B$.}} \encadrecouleur {fond3}{\begin {defi} La médiatrice $(d)$ d'un segment $[AB]$ est la droite qui coupe $[AB]$ perpendiculairement en son milieu $I$. \end {defi}} \par \vspace {3mm} \newpage La médiatrice d'un segment peut se construire de deux façons : \begin{enumerate} \item A l'equerre et à la règle graduée. \item Au compas et à la règle non graduée. \end{enumerate} \encadrecouleur {fond2}{\begin {ppte} Si un point $M$ appartient à la médiatrice de $[AB]$, il est équidistant des extrêmités $A$ et $B$ du segment $[AB]$. \end {ppte}} \par \vspace {3mm} \encadrecouleur {fond2}{\begin{ppte} \textbf{(\textit{Réciproque})} Si un point $M$ est équidistant des extrêmités d'un segment, alors il appartient à la médiatrice de celui-ci. \end{ppte}} %----------------------------------------------------------------------- % 2. Cercle circonscrit à un triangle %----------------------------------------------------------------------- \subsection {Cercle circonscrit à un triangle} \compo {3}{\jobname}{1}{\textit{Le cercle circonscrit au triangle ABC et son centre $O$ point de coucours des médiatrices.}} \vspace {3mm} \par \encadrecouleur {fond2}{\begin {ppte} Les médiatrices des côtés d'un triangle sont concourantes. Le point d'intersection de celles-ci est le centre du cercle circonscrit au triangle. Il est équidistant des trois sommets du triangle. \end {ppte}} \par \vspace {3mm} \textbf{\textit{Démonstration:}} Soit $M$ un point appartenant aux médiatrices de $[AB]$ et $[AC]$ (noter qu'il existe un tel point, sinon le triangle $ABC$ serait plat). $M$ vérifie les deux relations : $MA=MB$ et $MA=MC$. Par conséquent, $MB=MC$, ce qui prouve que $M$ appartient à la médiatrice de $[BC]$. $M$ est donc le point d'intersection des trois médiatrices et est à égale distance des sommets $A$,$B$ et $C$ du triangle, c'est donc le centre du cercle circonscrit à celui-ci. \par \vspace {3mm} \textbf{Remarque:} En pratique, pour trouver le centre du cercle circonscrit à un triangle quelconque, on ne trace que deux des trois médiatrices (puisqu'on sait qu'elles sont concourantes). \par \newpage \textbf{Exercices d'application:} \begin{enumerate} \item Deux cercles $\mathcal{C}(O,R)$ et $\mathcal{C}'(O,R')$ sont sécants en deux points $A$ et $B$. Prouver que $(OO')$ est la médiatrice de $[AB]$. \item Tracer un cercle $C$ à l'aide d'un verre ou d'une pièce de monnaie. Expliquer la construction du centre $O$ du cercle $C$. \end{enumerate} %----------------------------------------------------------------------- % II. Triangle rectangle et cercle circonscrit %----------------------------------------------------------------------- \color{red} \section {Triangle rectangle et cercle circonscrit} \color{black} \encadrecouleur {fond3}{\begin {defi} Dans un triangle rectangle, l'\textbf{hypoténuse} est le côté opposé à l'angle droit. C'est aussi le plus grand côté d'un triangle rectangle. \end {defi}} \par \vspace {3mm} \encadrecouleur {fond5}{\begin {theo} Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse. \end {theo}} \par \compo {1}{\jobname}{1}{Cercle circonscrit à un triangle rectangle centré en $I$, milieu de l'hypoténuse.} \textbf{\textit{Démonstration:}}\par Soit $ABC$ un triangle rectangle en $C$. $I$ est le milieu de $[AB]$. Soit $M$ le symétrique de $C$ par rapport à $I$. Par symétrie, $I$ est le milieu des diagonales du quadrilatère $ACBM$. Il s'agit donc d'un parallélogramme. Comme il a un angle droit, $ACBM$ est un rectangle. On en déduit que les diagonales $[AB]$ et $[CM]$ sont de même longueur et que les segments, $[IA]$, $[IB]$, $[IM]$ et $[IN]$ sont de même longueur. Il existe donc un cercle de centre $I$ et de rayon $[IA]$ qui passe par les points $A$, $B$, $M$ et $C$. Le cercle circonscrit à $ACB$ a donc pour centre $I$ et pour diamètre $[AB]$. \par \vspace {3mm} \textbf{Remarque:}\par Le théorème, attribué à Thalès, est utilisé pour calculer des distances, pour tester si des points sont cocycliques, c'est à dire si plusieurs points se trouvent ou non sur un même cercle. \par \vspace {3mm} \textbf{Conséquences:} \begin{itemize} \item \textit{Si un triangle est rectangle, son hypoténuse est le diamètre de son cercle circonscrit. Le rayon du cercle circonscrit est donc égal à la moitié de la longueur de l'hypoténuse}. \item \textit{La médiane issue de l'angle droit du triangle rectangle est égale à la moitié de l'hypoténuse.} \item \textit{Dans un triangle rectangle, les médiatrices des trois côtés se coupent au milieu del'hypoténuse} \end{itemize} \encadrecouleur {fond5}{\begin {theo}\textbf{(Réciproque)} Si un triangle est inscrit dans un (demi) cercle ayant pour diamètre un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle.\end {theo}} \vspace {3mm} \textbf{\textit{Remarque pratique:}} \par Ce théorème permet de montrer qu'un triangle est rectangle.\par On ne doit pas écrire "Comme le triangle $ABC$ est inscrit dans le demi cercle de diamètre l'hypoténuse $[BC]$ alors..." puisque, dans les hypothèses , nous n'avons pas encore établi que $ABC$ est un triangle rectangle. Il faut écrire: "Comme le triangle $ABC$ est inscrit dans le demi cercle de diamètre $[BC]$, alors $ABC$ est rectangle en $A$." \par \textbf{Conséquence:} \textit{Si le milieu d'un côté d'un triangle est équidistant des trois sommets, alors ce triangle est rectangle.} \par \textbf{\textit{Démonstration:}} Il suffit de reprendre la démonstration du théorème précédent à l'envers. \par %----------------------------------------------------------------------- % Fin du document %----------------------------------------------------------------------- \end {document}