\documentclass[twocolumn]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{amsmath} \input christ5.tex \usepackage{graphicx} \pagestyle{empty} \columnseprule0.5pt \parindent0pt \topmargin0pt\headheight0pt\headsep0pt\footskip0pt \usepackage[dvips,a4paper,landscape,margin=6mm]{geometry} \begin{document} \parskip0pt \titrage{Chapitre VIII : Géométrie Analytique}{3\ieme{}{\footnotesize Strasbourg}} \parskip0pt \section {Coordonnées du milieu d'un segment:} On considère un repère (O,$\overrightarrow{i}$,$\overrightarrow{j}$) dans lequel on a deux points : $A(x_{A},y_{A})$ et $B(x_{B},y_{B})$. \par Les coordonnés du milieu $M(x_{M},y_{M})$ du segment $[AB]$ sont définies par: $$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}\qquad y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}$$ \begin{remar}$x_{M}$ est donc la moyenne arithmétique des abscisses $x_{A}$ et $x_{B}$, de même que $y_{M}$ est celle des ordonnées $y_{A}$ et $y_{B}$ de $A$ et $B$.\end{remar} \begin{exem}On donne $A(-4;1)$ et $B(2;4)$, on veut calculer les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$.$$x_{M}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}=\frac{-4+2}{2}=-1$$ $$y_{M}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}$$ $M$ a donc pour coordonnées $\displaystyle{M(-1;\frac{5}{2}})$, ce qu'on vérifie immédiatement sur la figure.\end {exem} \compo{1}{geoana}{1}{$M$ est le milieu de $[AB]$} \newpage \section {Coordonnées d'un vecteur:}On considère un repère (O,$\overrightarrow{i}$,$\overrightarrow{j}$) dans lequel on a deux points : $A(x_{A},y_{A})$ et $B(x_{B},y_{B})$. \par Les coordonnées du vecteur $\vecteur{AB}$ sont: $$\vecteur{AB}(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A})$$ \begin{exem}On donne $A(7;-1)$ et $B(-3;2)$, on veut calculer les coordonnées du vecteur $\vecteur{AB}$. $$\vecteur{AB}(-3-7;2+1)$$ $$\vecteur{AB}(-10;3)$$\end {exem} \compo{2}{geoana}{1}{}$A$ et $B$ sont placés, et le vecteur $\vecteur{AB}$ représenté par une flèche allant de $A$ à $B$.\newpage \section {Coordonnées d'un vecteur somme:}On considère un repère (O,$\overrightarrow{i}$,$\overrightarrow{j}$) dans lequel on a deux vecteurs $\vecteur{u}(a;b)$ et $\vecteur{v}(c,d)$. Le vecteur $\vecteur{w}=\vecteur{u}+\vecteur{v}$ a pour coordonnées $\vecteur{w}(a+c;b+d)$ \begin{exem}On donne $\vecteur{u}(2;-3)$ et $\vecteur{v}(-5;2)$.On a alors les coordonnées du vecteur $\vecteur{w}=\vecteur{u}+\vecteur{v}=(2-5;-3+2)=(-3;-1)$\end {exem} \compo{3}{geoana}{1}{} \newpage \section {Distance entre deux points:}On considère un repère orthonormal (O,$\overrightarrow{i}$,$\overrightarrow{j}$), c'est à dire un repère dans lequel les axes des abscisses et des ordonnées sont perpendiculaires et les unités sur ces axes sont les mêmes.On suppose qu'on a deux points : $A(x_{A},y_{A})$ et $B(x_{B},y_{B})$ dans ce repère. La distance $AB$ est alors égale à : $$AB=\sqrt{{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}}$$ Il est très facile de retrouver ce résultat, qui n'est en fait qu'une application du théorème de Pythagore (voir la figure suivante). On construit un point $C$ de sorte que le triangle $ABC$ soit rectangle en $C$ (il y a donc deux possibilités), on a d'après le théorème de Pythagore : $\displaystyle {AB^2=AC^2+CB^2}$, donc $\displaystyle {AB=\sqrt{AC^2+CB^2}}$. Comme $\displaystyle {AC^2=(x_{B}-x_{A})^2}$ et que $\displaystyle {CB^2=(y_{B}-y_{A})^2}$, on en déduit la formule donnée. \compo{1}{geoana}{1}{} \begin{exem}On donne $A(-4;1)$ et $B(2;4)$, on veut calculer la distance$AB$.\par $\displaystyle{AB=\sqrt{{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2}}}$ soit $\displaystyle{AB=\sqrt{(2-(-4))^2+(4-1)^2}}=\sqrt{36+9}=3\sqrt{5}.$ \end {exem} \begin{remar} C'est bien parce que le repère est orthonormal que l'on peut appliquer cette formule, s'il ne l'était pas, $ABC$ ne serait pas un triangle rectangle et on ne pourrait plus aplliquer le théorème de Pythagore. \end {remar} \end{document}