index.tex

\documentclass[a4paper]{article}
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\usepackage{array,multicol,multirow,enumerate}
\usepackage{graphicx,pst-all,pst-eucl}
\usepackage{lscape}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm}
\usepackage{frcursive}
\usepackage{geometry}
\geometry{ hmargin=1.5cm, vmargin=1.5cm }
\setlength{\parindent}{0mm}
 
% A virer ?
\def\d{$\diamond \,$}
% le symbole de multiplication
\def\*{\times}
% le symbole Euro
\def\Euro{\textgreek{\euro}\ }
% La fameuse \trou de Olivier K qui remplace un mot par un trou de la meme taille
\def\m@th{\mathsurround=0pt}
\def\trou#1{
    \setbox0=\hbox{\textbf{#1}} \dp0=0pt \m@th
    \underline{\hbox{\hskip\wd0}}
}
% Elle ne set pas souvent mais j'en ai bavé ;o)
\newcommand{\machine}[4]{
        \begin{pspicture}
        \rput(0,0){\rnode{A}{#1}}
        \rput(3,0.11){\rnode{B}{#2}}
        \psset{nodesep=5pt}
        \ncarc[arcangleA=25,arcangleB=25]{->}{A}{B}\mput*{\ovalnode{m}{#3}}
        \ncarc[arcangleA=25,arcangleB=25]{->}{B}{A}\mput*{\ovalnode{d}{#4}}
        \end{pspicture}
        \hskip 3.1cm}
 
 
% La fameuse \qcm de Nicolas Poulain qui permet de faire des qcm
\newcommand{\QCM}[4]{
    \begin{tabular}[t]{p{13cm}c}
    #1 & \psset{xunit=1 cm}
    \begin{pspicture}(-0.3,0)(1.5,0.5)
    \pspolygon(0,0)(1.5,0)(1.5,-.5)(0,-.5)
    \psline(.5,0)(.5,-.5) \psline(1,0)(1,-.5)
    \uput[90](0.25,0){A}  \uput[90](0.75,0){B} \uput[90](1.25,0){C}
    \end{pspicture} \\
    A: #2 \qquad B: #3 \qquad C: #4 & \\
    \end{tabular}}
% Ca peut toujours servir un petit carré ! (Merci Ahmed Kadi)
\newcommand{\smallbox}{
    \begin{pspicture}(.5,.5)
    \pspolygon(0,0)(.25,0)(.25,.25)(0,.25)
    \end{pspicture}}
% Vec (Merci Ahmed Kadi)
\renewcommand{\vec}[1]
{\mathord{\setbox0\hbox{$#1$} \mathop{\smash{#1}\setbox1\copy0\ht1
0.8\ht0 \vphantom{\copy1}\mskip0.8\thinmuskip} \limits^{\hbox
to\wd0{$\mskip0.8\thinmuskip$\rightarrowfill}}\mskip-0.8\thinmuskip}}
 
% Exo
\newcounter{nexo}
\setcounter{nexo}{0}
\newcommand{\exo}{
    \stepcounter{nexo}
    {\textbf{$\triangleright$ Exercice \arabic{nexo} :}}
}
% Questions
\newenvironment{questions}{\begin{enumerate}[1 $\, \diamond$]}{\end{enumerate}}
 
     \lhead{\textit{Mathématiques}}
    \chead{}
    \rhead{\textit{Année} 2005/2006}
    \pagestyle{fancy}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt}
 
\newcolumntype{I}{!{\vrule width 1.5pt}}
\newlength\savedwidth
\newcommand\whline{\noalign{\global\savedwidth\arrayrulewidth\global\arrayrulewidth
1.5pt} \hline \noalign{\global\arrayrulewidth\savedwidth}}
 
% Début du document
 
 
 
\begin{document}
\centerline{\Large Hauteurs et médianes, quelques exercices en
classe de 4\ieme}
 
\vskip 0.5cm
 
\exo Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$,
le point $M$ est un point extérieur à $ABCD$.
 
\begin{questions}
    \item Faire une figure.
    \item Pourquoi le segment $[MO]$ est-il une médiane du
    triangle $MAC$ ?
    \item Placer sur la médiane $[MO]$ le centre de gravité du
    triangle $MAC$.
    \item Quel est le centre de gravité du triangle $MBD$ ?
    Expliquer la réponse.
\end{questions}
 
\vskip 0.5cm
 
\exo Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$,
le point $E$ est le centre de gravité du triangle $ABD$ et le
point $F$ est le centre de gravité du triangle $CBD$.
\begin{questions}
    \item Faire une figure.
    \item Expliquer pourquoi on a $OA=OC$.
    \item Expliquer pourquoi on a $OE=OF$.
    \item En déduire que l'on a $AE=EF=FC$.
\end{questions}
 
\vskip 0.5cm
 
\exo Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$,
le point $E$ est le symétrique de $C$ par rapport au point $A$.
\begin{questions}
    \item Faire une figure.
    \item Expliquer pourquoi on a $AE=2\times AO$.
    \item Quel est le centre de gravité du triangle $EBD$ ?
    Expliquer.
    \item Expliquer pourquoi la droite $(AD)$ coupe le segment
    $[EB]$ en son milieu.
\end{questions}
 
\vskip 0.5cm
 
\exo
\begin{multicols}{2}
Les segments $[NE]$ et $[DP]$ sont des hauteurs du triangle
$MNP$ ; le point $I$ est l'orthocentre du triangle $MNP$.\\
Quel est l'orthocentre du triangle $MIN$ ? Expliquer pourquoi.
\begin{center}
% Généré par 0.9.2
\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt
4}\psset{unit=0.7500cm} \pspicture(-0.5000,-0.5000)(6.0000,4.0000)
\pspolygon(2.2500,3.6742)(0.0000,0.0000)(6.0000,0.0000)
\uput{0.3000}[115.0000](2.2500,3.6742){$M$}
\uput{0.3000}[215.0000](0.1000,0.0000){$N$}
\uput{0.3000}[-25.0000](5.9000,0.0000){$P$}
\uput{0.3000}[45.0000](2.9388,2.9994){$E$}
\uput{0.3000}[180.0000](1.6364,2.6722){$D$}
\psline(6.0000,0.0000)(1.6364,2.6722)
\psline(0.0000,0.0000)(2.9388,2.9994)
\uput{0.3000}[270.0000](2.2500,2.2964){$I$}
\psline(2.7288,2.7851)(2.9431,2.5751)(3.1531,2.7894)
\psline(1.8922,2.5155)(1.7355,2.2597)(1.4797,2.4163)
\endpspicture
\end{center}
\end{multicols}
 
\vskip 0.5cm
 
\exo
\begin{multicols}{2}
Les triangles $ABC$ et $ADE$ sont des triangles rectangles, les
points $A$, $D$, $B$ sont alignés, ainsi que les point $A$, $C$,
$E$. Le point $F$ est l'intersection des droites $(BC)$ et
$(ED)$.\\
 
Démontrer que les droites $(EB)$ et $(AF)$ sont perpendiculaires.
\begin{center}
    \psset{unit=0.80cm}
    \pspicture(4,4) %\psgrid
    \pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={-135,-90,-45,90}](0,0){B}(1.5,0){D}(4,0){A}(1.5,3.5){E}
    \pstLineAB{B}{A} \pstLineAB{A}{E} \pstLineAB{E}{D}
    \pstProjection[PointSymbol=none]{A}{E}{B}{C}
    \pstLineAB{B}{C}
    \pstRightAngle[PointSymbol=none,RightAngleSize=0.2]{B}{C}{A}
    \pstRightAngle[PointSymbol=none,RightAngleSize=0.2]{E}{D}{A}
    \pstInterLL[PointSymbol=none,PosAngle=160]{B}{C}{E}{D}{F}
    \endpspicture
\end{center}
\end{multicols}
 
\vskip 0.5cm
 
\exo Le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle de centre $O$. La
perpendiculaire à la droite $(AC)$ passant par $O$ coupe la droite
$(DC)$ en $N$ et la droite $(AD)$ en $M$.
\begin{questions}
    \item Faire une figure.
    \item Quel est l'orthocentre du triangle $AMC$ ?
    \item Tracer la troisième hauteur de ce triangle.
\end{questions}
\end{document}