index.tex

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage{francois_meria}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage[dvips]{epsfig}
\usepackage{multirow}
 
    \lhead{\textsf{Collège Château Forbin} - \textit{Mathématiques} - \textsf{5\ieme 5}}
    \chead{}
    \rhead{\textit{Année} 2005/2006}
    \pagestyle{fancy}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt}
 
\setlength{\parindent}{0mm}
\begin{document}
\centerline{\LARGE Couples d'angles dans le plan}
 
\section{Vocabulaire}
\begin{exercice}
\begin{multicols}{2}
Dans la figure ci-contre, citer des couples d'angles demandés.
\begin{enumerate}[(a)]
    \item Alternes-internes ;
    \item alternes-externes ;
    \item correspondants.
\end{enumerate}
 
\columnbreak
\begin{center}
    \pspicture(-2.5,-.5)(4.8,3.2)
        \pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={180,120,-120,0}](-1,0){z}(0,0){K}(4,0){t}
        \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](2,0){J}
        \pstRotation[PointSymbol=none,PosAngle=-50,RotAngle=60]{K}{J}{I}
        \pstOIJGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={180,0,60}](-1,1.25){x}{K}{J}{I}(1.5,0.75){y}(0,1.4){s}
        \pstLineAB{x}{y} \pstLineAB{z}{t}
        \pstLineAB[nodesepA=-.9,nodesepB=-.5]{I}{K}
        \endpspicture
\end{center}
\end{multicols}
\end{exercice}
 
\vskip 0.5cm
 
\begin{exercice}
\begin{multicols}{2}
Dans la configuration suivante, citer :
\begin{enumerate}[(a)]
    \item La sécante ;
    \item deux angles correspondants ;
    \item deux angles alternes-internes ;
    \item deus angles alternes-externes.
\end{enumerate}
\begin{pspicture}(-2,-2)(3,1.5)
    \psline(-1.5,0)(2,0)
    \psline(-1,0.75)(2,-1.5)
    \psline(-1.5,-1)(2.5,-1)
    \uput[213]{*0}(-1.5,0){$x$}
    \uput[176]{*0}(-1,0.75){$y$}
    \uput[33]{*0}(2,0){$t$}
    \uput[-4]{*0}(2,-1.5){$s$}
    \uput[33]{*0}(2.5,-1){$u$}
    \uput[-85]{*0}(0,0){$O$}
    \uput[-85]{*0}(1.333,-1){$I$}
    \uput[180]{*0}(-1.5,-1){$k$}
\end{pspicture}
\end{multicols}
\end{exercice}
 
\vskip 0.5cm
 
\begin{exercice}~
\begin{enumerate}[1.]
    \item Construire une figure correspondant aux données suivantes.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[i.]
    \item $(zt)$ et $(uv)$ sont deux droites ;
    \item $(xy)$ est une sécante aux droites $(zt)$ et
    $(uv)$ ;
    \item $P$ est le point d'intersection de $(zt)$ et
    $(xy)$ ;
    \item $K$ est le point d'intersection de $(uv)$ et
    $(xy)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
    \item Sur la figure construite, coder les angles
    $\widehat{xPz}$ ; $\widehat{PKv}$. Ces angles sont des angles
    \dotfill
    \item Citer deux angles alternes-internes de la configuration
    \dotfill
    \item Citer deux angles alternes-externes de la configuration
    \dotfill
\end{enumerate}
\end{exercice}
 
\vskip 0.5cm
 
\begin{exercice}
Sur cette figure, les droites $(xy)$ et $(tz)$, ainsi que les droites $(su)$ et $(fg)$, sont parallèles.
Compléter le tableau suivant (certaines cases devront être laissées vides).\\%[.5em]
 
\begin{multicols}{2}
 
\begin{tabular}{|*{4}{c|}}
\hline
 
\multirow{2}{2cm}{\centering Angle} & \multirow{2}{2.5cm}{\centering Angle alterne-interne} & \multirow{2}{2.5cm}{\centering Angle alterne-externe} & \multirow{2}{2.5cm}{\centering Angle correspondant} \\
& & & \\
\hline
\multirow{2}{2cm}{\centering $\widehat{yBg}$ } & & & \\
& & & \\ \hline
\multirow{2}{2cm}{\centering $\widehat{zCi}$ } & & & \\
& & & \\ \hline
\multirow{2}{2cm}{\centering $\widehat{fBi}$ } & & & \\
& & & \\ \hline
\multirow{2}{2cm}{\centering $\widehat{uCi}$ } & & & \\
& & & \\ \hline
\end{tabular}
 
\columnbreak
 
\begin{flushright}
\psset{xunit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(3,2)%
    %\psgrid
    \rput{0}(0.3,.6){
    \psline(-1,0)(2,0) \psline(-1,-1)(2,-1)
                      \psline(-1,1)(1,-2)
                      \psline(0,1)(2,-2)
                      \psline(0,-2)(1,1)
                      \uput[180]{*0}(-1,0){$x$}                     \uput[0]{*0}(2,0){$y$}
                      \uput[180]{*0}(-1,-1){$z$}                    \uput[0]{*0}(2,-1){$t$}
                      \uput[0]{*0}(-1,1){$s$}                       \uput[0]{*0}(1,-2){$u$}
                      \uput[0]{*0}(0,1){$f$}                        \uput[0]{*0}(2,-2){$g$}
                      \uput[0]{*0}(0,-2){$h$}                       \uput[0]{*0}(1,1){$i$}
                      \uput[45]{*0}(-.5,0){$A$}                     \uput[45]{*0}(.66,0){$B$}
                      \uput[-135]{*0}(0.33,-1){$C$}                 \uput[-135]{*0}(1.5,-1){$D$}
                     }
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{multicols}
\end{exercice}
 
\newpage
\section{\'Egalités d'angles et calculs}
 
\begin{multicols}{2}
\begin{propriete} Dans la configuration suivante,\\
si les droites $(xy)$ et $(zt)$ sont parallèles alors les angles
$\left\{
\begin{array}{l} \textrm{alternes-internes} \\ \textrm{alternes-externes} \\ \textrm{correspondants}\\ \end{array} \right\}$ sont égaux.
\end{propriete}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-2)(3,1)
    \psline(-1.5,0)(2,0)
    \psline(-1,0.75)(2,-1.5)
    \psline(-1.5,-1)(2.5,-1)
    \uput[213]{*0}(-1.5,0){$x$}
    \uput[176]{*0}(-1,0.75){$s$}
    \uput[33]{*0}(2,0){$y$}
    \uput[-4]{*0}(2,-1.5){$s'$}
    \uput[33]{*0}(2.5,-1){$t$}
    \uput[-85]{*0}(0,0){$A$}
    \uput[-85]{*0}(1.333,-1){$B$}
    \uput[180]{*0}(-1.5,-1){$z$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{multicols}
 
\begin{multicols}{2}
\begin{propriete} Dans la configuration suivante,\\
si deux angles $\left\{
\begin{array}{l} \textrm{alternes-internes} \\ \textrm{ou alternes-externes} \\ \textrm{ou correspondants}\\ \end{array} \right\}$ sont égaux alors,
les droites $(xy)$ et $(zt)$ sont parallèles.
\end{propriete}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-2)(3,1)
    \psline(-1.5,0)(2,0)
    \psline(-1,0.75)(2,-1.5)
    \psline(-1.5,-1)(2.5,-1)
    \uput[213]{*0}(-1.5,0){$x$}
    \uput[176]{*0}(-1,0.75){$s$}
    \uput[33]{*0}(2,0){$y$}
    \uput[-4]{*0}(2,-1.5){$s'$}
    \uput[33]{*0}(2.5,-1){$t$}
    \uput[-85]{*0}(0,0){$A$}
    \uput[-85]{*0}(1.333,-1){$B$}
    \uput[180]{*0}(-1.5,-1){$z$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{multicols}
 
Pour résoudre les exercices suivants, utiliser les propriétés 1, 2
et 3.
 
\begin{multicols}{2}
\begin{propriete}
Dans la configuration suivante, on dit que les angles grisés sont
opposés par le sommet. Ils ont alors la même mesure.
\end{propriete}
 
\columnbreak
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
    \psline(-1,-1)(1,1)
    \psline(-1,0)(1,0)
    \pswedge[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid](0,0){0.45}{0}{45}
    \pswedge[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid](0,0){0.45}{180}{225}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{multicols}
 
\vskip 0.5cm
 
\begin{exercice}
\begin{multicols}{2}
Concernant la figure ci-contre, on sait que les droites $(xy)$ et
$(tz)$ sont parallèles et que $\widehat{tJr}=120^{\circ}$. En
utilisant les données de la figure,
\begin{enumerate}[1.]
    \item Donner en justifiant bien, la mesure en degrés de
    l'angle $\widehat{IJK}$.
    \item Donner en justifiant bien, la mesure en degrés de l'angle $\widehat{IKJ}$.
    \item Donner en justifiant bien, la mesure en degrés de l'angle $\widehat{JIK}$.
    \item Quelle est la nature du triangle $IJK$? Justifier.
\end{enumerate}
\columnbreak
    \psset{unit=1cm}
    \pspicture(-2.5,-.5)(4.8,3.2)
        \pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={180,120,-120,0,180,0}](-1,0){z}(0,0){K}(2,0){J}(4,0){t}
        \pstRotation[PointSymbol=none,PosAngle=150,RotAngle=60]{K}{J}{I}
        \pstOIJGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={180,0,60,120}](-1,1){x}{K}{J}{I}(1.5,1){y}(0,1.4){s}(-.4,1.4){r}
        \pstLineAB{x}{y}         \pstLineAB{z}{t}         \pstLineAB[nodesepA=-.9,nodesepB=-.5]{I}{K}
        \pstLineAB[nodesepA=-.9, nodesepB=-.5]{I}{J}
        \pstMarkAngle[Mark=pstslash]{I}{J}{K}{}
        \pstMarkAngle[Mark=pstslash]{y}{I}{s}{}
    \endpspicture
\end{multicols}
\end{exercice}
\begin{exercice}
Sur cette figure, les droites en pointillés sont parallèles. Sans
effectuer de mesures,
 
\begin{pspicture}(0,0.6)
\rput{33}(12.6,-0.9){ \psline[linestyle=dashed](-1.5,0)(2,0)
\psline(0,0)(0,1) \psline(0.2,0)(0.2,0.2) \psline(0.2,0.2)(0,0.2)
\psline(-1,0.75)(2,-1.5) \psline[linestyle=dashed](-1,-1)(2.5,-1)
\pswedge(1.333,-1){0.3}{0}{143.13}
\uput{11pt}[90]{*0}(1.333,-1){$140^{\circ}$}
\uput[213]{*0}(-1.5,0){$x$} \uput[176]{*0}(-1,0.75){$y$}
\uput[123]{*0}(0,1){$z$} \uput[33]{*0}(2,0){$t$}
\uput[-4]{*0}(2,-1.5){$s$} \uput[33]{*0}(2.5,-1){$u$}
\uput[-85]{*0}(0,0){$O$} \uput[-85]{*0}(1.333,-1){$I$} }
\end{pspicture}
\begin{enumerate}[1.]
    \item Calculer en justifiant bien la mesure de l'angle $\widehat{uIs}$.
    \item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{yOx}$.
    \item Calculer en justifiant bien la mesure de l'angle $\widehat{yOz}$.
    \item Donner, en justifiant bien, la mesure de l'angle $\widehat{xOs}$.
\end{enumerate}
\end{exercice}
 
\end{document}