\documentclass[a4paper,11pt]{article} \usepackage{francois_meria} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage[dvips]{epsfig} \usepackage{graphicx} \usepackage{calc} \setlength{\parindent}{0mm} \lhead{\textsf{Collège Château Forbin} - \textit{Mathématiques} - \textsf{4\ieme 1}} \chead{} \rhead{\textit{Année} 2005/2006} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} \begin{document} \centerline{\LARGE La proportionnalité et ses premières applications} \vskip 0.5cm \begin{definition} On dit que deux listes de nombres $x$ et $y$ sont proportionnelles lorsque l'on peut passer de l'une à lautre en multipliant par un même nombre $k$ différent de $0$. Le nombre $k$ est appelé le coefficient de proportionnalité pour passer de la liste $x$ à la liste $y$. \end{definition} \begin{exemple} Les listes $x=\left\{2~;~3~;~4\right\}$ et $y=\left\{4~;~6~;~8\right\}$ sont proportionnelles. \begin{enumerate}[(a)] \item Le coefficient de proportionnalité pour passer de la liste $x$ à la liste $y$ est $2$. \item Le coefficient de proportionnalité pour passer de la liste $y$ à la liste $x$ est $0,5$. \end{enumerate} On peut alors disposer deux listes de nombres proportionnelles dans un tableau comme suit : $ \begin{array}{*{4}{|c}|} \hline x & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & 4 & 6 & 8 \\ \hline \end{array}~. $ \end{exemple} \hrule\vspace{\baselineskip} \begin{exercice} Les listes $x$ et $y$ suivantes sont-elles proportionnelles ? \begin{multicols}{2} \begin{enumerate}[(a)] \item $x=\left\{1~;~10~;~6~;~9\right\}$ et $y=\left\{3~;~30~;~18~;~27\right\}$ ; \item $x=\left\{9~;~8~;~8~;~7\right\}$ et $y=\left\{27~;~24~;~24~;~22\right\}$ ; \item $x=\left\{1~;~2~;~3~;~6\right\}$ et $y=\left\{3~;~6~;~9~;~18\right\}$ ; \item $x=\left\{7~;~1~;~3~;~4\right\}$ et $y=\left\{21~;~3~;~10~;~11\right\}$. \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercice} \begin{exercice} Recopier et compléter les tableaux de proportionnalités suivants à l'aide du coefficient $k$ donné, qui est le coefficient pour passer de la ligne $x$ à la ligne $y$. $$ \begin{array}{cc} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 2 & 12 & 7 & 8 \\ \hline y & & & & \\ \hline \end{array} & k=5\\ \end{array} \qquad \begin{array}{cc} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & -4 & 6 & 7,5 & -100 \\ \hline y & & & & \\ \hline \end{array} & k=-3\\ \end{array} \qquad \begin{array}{cc} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 12 & & & 21 \\ \hline y & & 3,5 & 28 & \\ \hline \end{array} & k=10\\ \end{array} $$ \end{exercice} \begin{exercice} Recopier et compléter les tableaux suivants pour qu'ils soient des tableaux de proportionnalité. Donner alors le coefficient de proportionnalité $k$ permettant de passer de la ligne $x$ à la ligne $y$. $$ \begin{array}{cc} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 3 & & 7 & 8 \\ \hline y & 15 & 15 & & \\ \hline \end{array} & k=\ldots\\ \end{array} \qquad \begin{array}{cc} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 4 & 10 & & 2 \\ \hline y & & 70 & 63 & \\ \hline \end{array} & k=\ldots\\ \end{array} \qquad \begin{array}{cc} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 10 & & 8 & \\ \hline y & & 3,5 & 28 & 21 \\ \hline \end{array} & k=\ldots\\ \end{array} $$ \end{exercice} \begin{exercice} Même énoncé que l'exercice précédent. $$ \begin{array}{cc} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 10 & 7 & 1 & \\ \hline y & & 364 & & 312 \\ \hline \end{array} & k=\ldots\\ \end{array} \qquad \begin{array}{cc} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & & 3 & 8 & \\ \hline y & 67,5 & 22,5 & & 15 \\ \hline \end{array} & k=\ldots\\ \end{array} \qquad \begin{array}{cc} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 8 & & 7 & 4 \\ \hline y & 8,8 & 5,5 & & \\ \hline \end{array} & k=\ldots\\ \end{array} $$ \end{exercice} \hrule\vspace{\baselineskip} Dans un tableau de proportionnalité, il y a des égalités remarquables. Par exemple, le tableau $\begin{array}{|c|c|} \hline 4 & 10 \\ \hline 20 & 50 \\ \hline \end{array} $ est un tableau de proportionnalité. On a $4\times50=10\times20$. Un cas particulier important est le calcul d'un nombre manquant dans un tableau de proportionnalité contenant quatre cases : deux lignes et deux colonnes. \begin{definition} On appelle \textit{quatrième proportionnelle} le nombre calculé dans un tableau de proportionnalité à deux lignes et deux colonnes connaissant les trois autres nombres. \end{definition} Pour calculer une quatrième proportionnelle, on procède comme sur l'exemple suivant. \begin{exemple} La quatrième proportionnelle du tableau de proportionnalité suivant est notée $x$ : $\begin{array}{|c|c|} \hline 8 & 10 \\ \hline 2 & x \\ \hline \end{array}~.$\\ On a : $x=2\times 10 \div 8=2,5$. \end{exemple} \hrule\vspace{\baselineskip} \begin{exercice} Calculer la quatrième proportionnelle dans chacun des tableaux de proportionnalité suivants : $$ \begin{array}{|c|c|} \hline 14 & 7 \\ \hline & 8 \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|} \hline 8 & 5 \\ \hline & 25 \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|} \hline 5 & \\ \hline 45 & 9 \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|} \hline 4 & 3 \\ \hline & 7,5 \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|} \hline 4 & 3 \\ \hline 12 & \\ \hline \end{array} $$ \end{exercice} \begin{exercice} Calculer la quatrième proportionnelle dans chacun des tableaux de proportionnalité suivants : $$ \begin{array}{|c|c|} \hline 5 & 10 \\ \hline & 90 \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|} \hline 3 & 7 \\ \hline 21 & \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|} \hline & 9 \\ \hline 41,6 & 46,8 \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|} \hline 4 & \\ \hline -10 & 12,5 \\ \hline \end{array} \qquad \begin{array}{|c|c|} \hline -9 & 6 \\ \hline & -60 \\ \hline \end{array} $$ \end{exercice} \hrule\vspace{\baselineskip} Essayons de généraliser cette notion de proportionnalité à un nombre plus important de points. \begin{exercice} On considère le tableau suivant : $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & -1 & -0,5 & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 & 2,5 & 3 & 3,5 & 4 & 4,5 & 5 & 5,5 & 6 & 6,5 & 7 \\ \hline y & -0,5 & -0,25 & 0 & 0,25 & 0,5 & 0,75 & 1 & 1,25 & 1,5 & 1,75 & 2 & 2,25 & 2,5 & 2,75 & 3 & 3,25 & 3,5 \\ \hline \end{array} $$ Quel est le coefficient de proportionnalité $k$ qui permet de passer de la ligne $x$ à la ligne $y$ ? \begin{multicols}{2} En observant le tableau et le graphique suivant, expliquer comment a été construit ce graphique. \vskip 0.3cm Que peut-on en déduire de la \textbf{représentation graphique} d'une situation de proportionnalité ? \begin{center} \psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture*}(-2,-2)(8,4) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,griddots=10](-1,-1.5)(8,4) \psaxes[linewidth=1.0pt]{->}(0,0)(0,0)(8,4) \psplot{-1}{7}{x 0.5 mul} \put(7.5,-0.5){$x$} \put(-0.5,3.5){$y$} \end{pspicture*} \end{center} \end{multicols} \end{exercice} \begin{exercice} Le nombre de kilimètres parcourus par une voiture varie proportionnellement à la quantité d'essence consommée. Les données de cette situation sont reportées dans le graphique ci-dessous. \begin{multicols}{2} \begin{enumerate}[(a)] \item À l'aide du graphique, déterminer la quantité d'essence utile pour parcourir 500~km. \item En calculant une quatrième proportionnelle, déterminer la quantité d'essence utile pour parcourir 100~km. \item Déterminer graphiquement la distance approximative parcourue avec 20 litres d'essence, puis la distance approximative parcourue avec 10 litres d'essence. \item Déterminer graphiquement la quantité d'essence utile pour parcourir 300~km ; puis 450~km. \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=0.9cm} \begin{pspicture*}(-1,-1)(9,7) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,griddots=10](0,0)(9,7) \psaxes[linewidth=1.0pt,labels=none]{->}(0,0)(0,0)(9,7) \newcounter{cpt} \multido{\i=1+1}{6}{\put(-0.8,\i){\i00}} \multido{\i=0+1}{9}{\setcounter{cpt}{\i} \put(\i,-0.5){\setcounter{cpt}{\value{cpt}*5} \thecpt} } \psplot{0}{9}{5 7 div x mul} \put(6.8,1.1){{\small \begin{tabular}{l} quantité \\ d'essence \\(en $\ell$)\\ \end{tabular}}} \put(0.5,6){{\small \begin{tabular}{l} distance \\ parcourue \\ (en km) \end{tabular}}} \end{pspicture*} \end{center} \end{multicols} Compléter le tableau ci-dessous avec la donnée de la question (a), puis vérifier les résultats des questions suivantes à l'aide de ce tableau de proportionnalité. \begin{center} \begin{tabularx}{\textwidth}{*{7}{|X}|} \hline Quantité & & & & & & \\ d'essence & & & & & & \\ (en km) & & & & & & \\ \hline Distance & & & & & & \\ parcourue & & & & & & \\ (en $\ell$)& & & & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{exercice} \newpage \begin{exercice} Quel graphique représente une situation de proportionnalité ? Justifier. \begin{multicols}{3} \begin{pspicture}(-1,0)(2,2.2) \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(2,2) \psline(0,0.5)(2,1.5) \end{pspicture} \begin{pspicture}(-1.5,0)(2,2.2) \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(2,2) \psline(0,0)(2,1) \end{pspicture} \begin{pspicture}(-1.5,0)(2,2.2) \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(2,2) \pscurve(0,0)(0.5,0.3)(1,0.4)(1.5,1)(2,2) \end{pspicture} \end{multicols} \end{exercice} Trois compagnies de taxi proposent des tarifs (en euros) proportionnels à la distance parcourue (en km). \bigskip \bigskip \begin{tabular}{|l|c|c|} \hline \multicolumn{3}{|c|}{Compagnie Bleue} \\ \hline Distance & 50 & 120 \\ \hline Tarif & 10 & 24 \\ \hline \end{tabular} \medskip \begin{tabular}{|l|c|c|} \hline \multicolumn{3}{|c|}{Compagnie Rouge} \\ \hline Distance & 50 & 120 \\ \hline Tarif & 6 & 14,4 \\ \hline \end{tabular} \medskip \begin{tabular}{|l|c|c|} \hline \multicolumn{3}{|c|}{Compagnie Verte} \\ \hline Distance & 40 & 100 \\ \hline Tarif & 3,2 & 8 \\ \hline \end{tabular} \pspicture(13,1.5) \rput[b](4.2,0.5){ \psgrid[subgriddiv=10, gridlabels=0, gridwidth=1pt, gridcolor=gray, subgridwidth=0.1pt, subgridcolor=gray](13,6) \psset{unit=1}% \psaxes[labels=none]{->}(13,6)} \endpspicture \begin{enumerate}[1.] \item En utilisant des couleurs, représenter les données sur le papier milimétré ci-dessus. \item Pour chacune des trois compagnires, lire sur le graphique le tarif d'une course de 110~km. \item Pour chacune des trois compagnires, lire sur le graphique la distance parcourue pour une somme de 20~\euro. \end{enumerate} Appliquons les résultats trouvés sur la représentation graphique d'une situation de proportionnalité en considérant des points du plan. Dans un plan, un point est repéré par deux nombres : son \textbf{abscisse} notée $x$ et son \textbf{ordonnée} notée $y$. Ainsi, le point $A$ d'abscisse 1 et d'ordonnée 2 se note $A(1~;~2)$. On dit alors que $(1~;~2)$ est le couple de \textbf{coordonnées} du point $A$. \begin{exercice}~ \begin{multicols}{2} \begin{enumerate}[1.] \item Recopier et compléter le tableau suivant à l'aide du graphique suivant. $$ \begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Point} & A & B & C & D & E & F & G & H \\ \hline x \text{(abscisse)} & & & & & & & & \\ \hline y \text{(ordonnée)} & & & & & & & & \\ \hline \end{array} $$ \item Donner les couples de coordonnées des points $A$ à $H$ comme sur l'exemple $A(-5~;~-2)$. \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture*}(-5.5,-5)(5.5,5) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,griddots=10](-5,-5)(5,5) \psaxes[linewidth=1.0pt,labels=none]{->}(0,0)(-5,-5)(5,5) \pstGeonode[PointSymbol=+](-5,-2){A}(-2,2){B}(4,-4){C}(4.5,1.5){D}(4,3){E}(1,-2){F}(-3,-2){G}(-2,-1){H} \put(4.5,-0.5){$x$} \put(-0.5,4.5){$y$} \end{pspicture*} \end{center} \end{multicols} \end{exercice} \newpage \textit{Appliquons à présent une situation de proportionnalité au calcul d'un pourcentage.}\\ Un pourcentage est un quotient dont le dénominateur est égal à $100$. Par exemple, $3$ pour cent se note $3~\%$ et vaut $\dfrac{3}{100}$.\\ \begin{exemple} Dire que $15~\%$ des $1000$ électeurs d'une commune ont voté pour le candidat $C$ signifie que $15$ électeurs sur $100$ ont voté pour le candidat $C$ ; autrement dit $150$ électeurs ont voté pour le candidat $C$. \end{exemple} \begin{tabularx}{\textwidth}{|X|} \hline \\ En pratique pour calculer un pourcentage de $t~\%$ d'une quantité $X$, on multiplie le quotient $\dfrac{t}{100}$ par $X$.\\ \\ \hline \end{tabularx} \vskip 0.5cm Dans l'exemple précédent, le calcul est le suivant : $\dfrac{15}{100}\times 1000=\dfrac{15\times 1000}{100}=150.$\\ On peut également utiliser un calcul de quatrième proportionnelle pour calculer un pourcentage oupour déterminer une donnée à partir d'un pourcentage. On peut alors écrire cela de plusieurs manières : \begin{multicols}{3} \setlength{\columnseprule}{0.75pt} \begin{center} \fbox{\textbf{Première méthode}}\\ \end{center} $$ \left\{ \begin{array}{c@{\pspicture(2.2,0) \psline{->}(0.5,0)(2,0) \endpspicture}c} 15 & 100\\ x & 1000\\ \end{array} \right. $$ La \textbf{flèche} signifie alors : \og \textit{correspond à}. \fg\\ \columnbreak \begin{center} \fbox{\textbf{Deuxième méthode}}\\ \end{center} $$ \left\{ \begin{array}{c@{~~~~\textbf{pour}~~~~}c} 15 & 100\\ x & 1000\\ \end{array} \right. $$ Il faut ensuite passer proportionnellement de 100 à 1000 et de la même manière de 15 à $x$. \columnbreak \begin{center} \fbox{\textbf{Troisième méthode}}\\ \end{center} \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|} \hline \textbf{Part} & \textbf{Total} \\ \hline 15 & 100 \\ \hline $x$ & 1000\\ \hline \end{tabular} \end{center} Et ensuite, on calcule une quatrième proportionnelle. \end{multicols} \vskip 0.5cm \begin{exercice}~ \begin{multicols}{2} \begin{enumerate}[1.] \item Que représente $25~\%$ de 1600 ? \item Parmi les 160 invités de l'ambassadeur, $25~\%$ n'ont pas mangé de rocher au chocolat. Quel est le nombre d'invités ayant boudé les sucreries de leur hôte ? \item Une chaîne hi-fi coûte 170\ \euro hors taxes auxquels il faut ajouter 9,35\ \euro de TVA. Quel est le pourcentage de TVA ? \item Dans un musée, sur une collection de 30 tableaux, 17 sont des tableaux du dix-huitième siècle. Quel est le pourcentage de tableaux du dix-huitième siècle. \item Dans un fromage de 140 grammes, il y a $45~\%$ de matière grasse. Quelle est la quantité de matière grasse dans ce fromage ? \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercice} \vskip 0.5cm \begin{exercice} Sur mon lecteur MP3, il y a 72 morceaux qui peuvent se classer dans les catégories suivantes : $40~\%$ de variété ; $25~\%$ de Rn'B et $20~\%$ de Rap. \begin{enumerate}[1.] \item Calculer le nombre de morceaux pour chaque catégorie. \item Combien y a-t-il de morceaux qui ne figurent dans aucune des trois catégories. \end{enumerate} \end{exercice} \vskip 0.5cm \begin{exercice} Dans le stylo quatre couleurs de Sarah, il reste : $10~\%$ de bleu ; $50~\%$ de rouge ; $23~\%$ de noir et $78~\%$ de vert. Sachant qu'avec un stylo neuf on peut tracer un segment de 2,5~km avec chaque couleur, calculer la longueur totale du segment que Sarah pourrait tracer avec son stylo. \end{exercice} \vskip 0.5cm \begin{exercice} En moyenne, dans un collège, 19 élèves sur cent portent des lunettes. \begin{enumerate}[1.] \item Combien y a-t-il (en moyenne) d'élèves portant des lunettes dans un collège de 850 élèves ? \item Combien y a-t-il (en moyenne) d'élèves portant des lunettes dans un collège de 190 élèves ? \item Combien y a-t-il (en moyenne) d'élèves dans un collège où 57 élèves portent de lunettes ? \end{enumerate} \end{exercice} \end{document}